解三元一次方程组的技巧李琴堂

在解三元一次方程组的过程中，若能根据方程组中各方程的特点，应用一些技巧，可简化运算过程，提高解题速度，如下面几例。

x＋y＝12 ① 例1 解方程组y＋z＝24 ②

z＋x＝18 ③

**分析：**方程组中三个未知数轮换对称出现，而且每个方程中未知数的系 数都是 1，可先将三个方程组相加，得到一个和方程组中各个方程均相差一个未知数的方程，再利用加减法便可迅速求解。

**解：**①＋②＋③，得 x＋y＋z＝27④ 用④分别与①、②、③、相减，

x＝3

得原方程组的解为：y＝9

z＝15

x＋y－z＝11 ① 例2 解方程组y＋z－x＝5 ②

z＋x－y＝1 ③

分析：此题若运用例 1 的方法也可以求解，但根据方程的特点，相加可直接求解。

**解：**①＋②，得 y＝8；②＋③，得 z＝3；③＋①，得

x＝6

∴原方程组的解为：y＝8

z＝3

例 3 解方程组

 y＋z－x ＝ z＋x－y ＝ x＋y－z ①

 6 5 4

x＋y＋z＝30 ②

分析：此方程组用一般解法比较麻烦，注意到方程①的特点是一个连等式，可用设比值的方法求解。

解：设 y＋z－x ＝ z＋x－y ＝ x＋y－z ＝k 6 5 4

y＋z－x＝6k ③

则z＋x－y＝5k ④

x＋y − z＝4k ⑤

三式相加，得 x＋y＋z＝15k⑥

把②代入⑥得 k＝2.于是有（⑥－③）÷2 得

x＝ 9k ＝9 2

（⑥－④）÷2，得 y＝5k＝10

（⑥－⑤）÷2，得z＝ 11k ＝11

2

x＝9

∴原方程的解是y＝10

z＝11

例4 解方程组x: y: z＝2:3:4 ①

 ②

分析：此方程组按常规解法是将连比式 x：y：z＝2：3：4 写成 x：y＝2： 3，y：z＝3：4，即 3x＝2y，3z＝4y，从而转化为一般的三元一次方程组来解，方法较繁，若用设参数的方法把连比式“化开”，可化繁为简。

解：由 x：y：z＝2：3：4，可设 x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入方程②， 得 2k＋3k＋4k＝45，即 9k＝45，∴k＝5.

x＝10

∴原方程的解是y＝15

z＝20