算筹和筹算

算筹和筹算的发明，是中国古代数学的重大成就，其出现不会晚于西周。算筹是一种特制的小竹棍，也有用木、骨、铁等材料制做的，在中国古代曾长期作为记数和计算的工具。算筹一般都盛放在算子筒里，出外时则装在一个特制的丝袋（称为“算袋”）里，佩带于使用者的腰部。《汉书》记载： “其算用竹，径一分，长六寸”①，《隋书》则说：“其算用竹，广二分，长三寸”②，这可能说明算筹随着时代不同而变短变小，这样使用起来更加方便。 1971 年 8 月，陕西千阳西汉墓中出土了骨质算筹。这些细长圆柱形的算筹，

两头齐整，粗细比较均匀，大多长度为 13.5 厘米，直径平均为 0.3 厘米，按古尺折算，其形制与《汉书》记载基本相符。用算筹表示数字，有两种摆法：

算筹记数法则是“一纵十横，百立千僵。千，十相望，万，百相当。⋯⋯”

①，把同一个数码放在十位就代表几十，放在百位就代表几百，并且纵横两式

交错放置，以免混淆。用空位表示零。如插图上筹式表示数字 1971。这是很完备的十进位置制记数法。这种记数方法简单明确，一目了然，易于掌握，用一些竹筹即可表示任何数字，其优越性是十分明显的。到了汉代， 还出现了用红色算筹表示正数和用黑色算筹表示负数的方法。世界上一些文化发达较早的国家也分别采用过十进制和位置制。例如，古巴比伦人采用位置制，但用的是六十进制。中美洲的马雅人也知道位置制的道理，而用的是二十进制。在罗马数字中，5 的符号是Ⅴ，左边放上 1，是 4（Ⅳ），右边放上 1 是 6（Ⅵ）。10 的符号是Ⅹ，而Ⅸ表示 9，Ⅺ表示 11。至于百、千、万又各有符号。用这种记数法表示较大数目相当复杂。古希腊用 27 个希腊字母

相互配合才能表示 1000 以内的数目，也非常繁琐。古埃及使用的记数法是十进制，但不是位置制。既用十进制又用位置制的记数法，以中国为最早，据现有资料，一直到公元六七世纪，印度才采用十进位置制记数法，而其他国家更要晚得多。十世纪后，印度的十进位置制数码经阿拉伯传入地中海国家和西欧各国，并被称为“阿拉伯数码”。实际上，现在世界通用的十进位置制记数法很可能起源于中国。

用算筹进行计算，叫做筹算。算筹和筹算究竟产生于什么时代，由于缺乏资料，现在还无法肯定。甲骨文中有些记数文字类似于算筹的摆法。西周时期，数学是贵族子弟必修的科目之一。而早在春秋时期，乘法表（即古代乘法口诀，从九九八十一开始，到一一如一为止，亦称“九九”）就已经成为十分普通的常识。根据这些情况来看，算筹记数和简单的四则运算，很可能在西周时期就已产生了。一直到十三世纪的元朝，珠算法逐渐推广之前，

① 《汉书·律历志》。

② 《隋书·律历志》。

① 《孙子算经》。

筹算制度沿用了两千多年。中国古代数学的许多辉煌成就，正是在筹算的基础上取得的。