验证向心力公式 85

本实验用四种方法来验证向心力的公式，前三种方法都要求测量对象作匀速圆周运动，因此怎样尽量保持物体作匀速圆周运动并准确地测量其周期，是实验成功的关键。第四种方法巧妙地用变速圆周运动的瞬时状态来验证向心力公式，利用机械能守恒定律很方便地解决了测量速度的问题。

方法一

器材 向心力实验器，250g 测力计，刻度尺，秒表，天平，砝码等。

操作

  1. 调节底座上的三个螺丝，使底座水平，立柱竖直。

  2. 调节横杆右端的配重物，使横杆平衡，转动灵活（具体方法参阅仪器说明书）。

  3. 用手捻动转轴使立柱带着横杆旋转。当立柱旋转得比较快时，重物由于离心作用向外偏，指针偏下。由于仪器自身的阻力，转动速度逐渐减小，可看到指针渐渐上升。当指针进入两根标志线内时，启动秒表记下仪器转 n 圈的时间 t，则它转动的周期 T=t/n，转动的角速度ω=2π

/T=2nπ/t。

验证向心力公式 85 - 图1

  1. 底盘 2．重物 3．指针

4．捻轴 5．横杆 6．配重

  1. 使仪器停止旋转，用测力计沿水平方向拉着重物向外偏，使指针进入两根标志线内，此时测力计的读数就是重物作圆周运动的向心力 F。

  2. 用手将指针维持在两根标志线内，然后用刻度尺量出从立柱中心到重物中心线的距离，就是重物作圆周运动的轨道半径

    r。

  3. 将重物卸下，用天平测出它的质量 m。根据圆周运动向心力的公式 F’=mω2r。如果 F′与测力计测量的 F 基本相同，即可验证圆周运动的向心力公式。

  4. 改变ω、r 或 m，重复以上实验，可验证其他情况。

分析 本实验中 m、ω、r 等量的测量都是可以作得比较准确的，实验误差主要来源于仪器的摩擦等因素引起的向心力的测量误差，因此可以这样规定验证的标准：用测力计沿水平方向向外拉重物，先使指针指着上标志线，测力计读数为 Fi；然后使指针指着下标志线，测力计读数

为 F2。F1 到 F2 就是 F 的误差范围，因此如果 F1＜mω2r＜F2，即可认为验证了向心力公式。

如果 mωr 等量的测量也有一定的误差，则可算出 F′=mω2r 的误差

△F' = （ △m + 2 △t + 2 △n + △r ）·mω2 r，

m t n r

如果F1

  • △F' ＜mω 2r＜F

  • △F' ，即可认为验证成功。

方法二

原理 小球作圆锥摆运动，如图(a)所示。小球共受到重力和绳的拉力两个力，合力为 F 合，

验证向心力公式 85 - 图2

F = mgtgθ = mg r 。

圆锥摆运动物体因圆周运动所需的向心力值为 F 心，如果小球作圆周运动的周期为 T，那么

2

F 心 = m r

4π 2 r

m T2 。

因为 F 合=F 心， 所以，

mg = m l 2 − r 2

4π2 r

T2 。 ①

在实验中若能分别独立地测得上式左右两边数值相等的话，就验证了向心力公式。

器材 米尺（尺端钻有一很小的穿细线的小孔），天平、蜡线、带洞的小铁球、秒表等。

操作

  1. 将蜡线或丝线系好小铁球，再将线头穿过离尺端 2cm 处的针头细孔后打结固定。

  2. 两手捏住尺，在贴住桌面的情况下，同时运转尺身，带动小球由静止开始做圆锥摆运动。动作不要太急，应顺势使其幅度逐渐增加。一旦达到幅度适当的较理想的圆周运动时，即用力压住米尺，尺身不能摇晃，以确保圆周运动稳定。

  3. 事先确定需测圆周运动半径 r 的值，视线应沿所需 r 值之刻度处竖直地向下看去，耐心等待摆幅逐渐自然减小。在圆周运动半径还稍大于 r 之时开始计数和计时，用秒表记下锥摆运动 20 圈的时间 t。圆周运

动的周期 T=t/20。

  1. 用刻度尺测量出圆锥摆的摆长 l。将测量得到的 r、T、l 代入① 式，如果左右基本相等，就验证了向心力公式。

注意

  1. 本实验对实验者的操作技能有一定的要求，因此需要练习到熟练之后方能开始正式实验。

  2. 在小球运动半径还稍大于事先确定的 r 值时就开始计数计时，这样做是因为 20 圈下来锥摆的 r 值不断在衰减，这样取平均值较为合理。

分析

要验证 r = m l 2 − r 2

4π 2r T2

，只要验证y = g −

l 2 − r 2

4π2

T2 0

即可。

∆y =

∂y ∆l +

∂y  ∂y

·∆r + ·∆T

∂l ∂r ∂T

= gl gr

8π2

·∆l +   ·∆r +

3 ·∆T 。

(l 2 − r 2 )3 (l2 − r 2 ) 3 T

  1. 从上式不难看出，当△l、△r、△T 不变的情况下，将 l 取得大一些，有利于减小实验误差，提高验证的质量。

  2. 用上式算出△y 后，只要

−

＜△y

即可认为验证成功。

方法三

器材 自制圆型薄板，质量不同的带洞小铁球若干，钓鱼用尼龙线若干，自制测力计，手摇离心转台，自制铁管（或硬塑料管）（内径略大于弹簧直径）等。

部分仪器的制作方法(1)圆型薄板

将厚 1cm 左右的无色透明有机玻璃板做成半径约为 15cm 的圆形板， 板面沿半径方向挖一条微凹的槽（槽口要尽量光滑），槽边上固定一把刻度尺，圆心处打洞（直径刚好能放进铁管）。

  1. 测力计

在铁管两测分别开两个长约 8cm 的槽，管内装倔强系数为 10—20N/m 的弹簧，弹簧下端固定，上端连一个圆环形指针，以便观察。铁管壁上用颜色漆划上刻度（见图 a）。

  1. 铁管

将铁管上端部分用锉刀“打毛”后涂上万能胶或百得胶，紧密地嵌入圆型薄板的中心洞内。

操作

如图(b)将仪器安装在离心转台上。

验证向心力公式 85 - 图3

  1. 将尼龙线的一端打一个圆圈空心结，从铁管上端伸入套住弹簧挂钩；另一端和质量为

    m 的小铁球连结，将小铁球放在凹槽上。

  2. 转动离心转台的手摇柄，使小铁球跟着圆板在水平面内作匀速圆周运动。待转速均匀后，用秒表记出主动轮转动 10 圈的时间 t。如果主

动轮的半径是R ，从动轮的半径是r ，则小球转动的角速度ω = 20πR0 。

tr0

同时从槽边的刻度尺上读出小球作圆周运动的半径 R，从测力弹簧的圆形指针的位置读出小球的向心力。如果存在 F=mω2R 的关系，即验证了向心力公式。

  1. 换用质量不同的小铁球，或改变尼龙线的长度，或改变主动轮转动的速度，重复操作(3)，即可验证其他情况。

方法四

器材 米尺，细绳，三角木两块，质量不同的钢球若干个，天平， 砝码，量角器等。

操作

(1)用天平分别测出米尺、量角器和钢球的质量，记为 M、M0 和 m。 (2)用适当的方式将量角器和细绳的一端固定在米尺的一端，细绳的

悬挂点要与量角器的测量中心重合，然后将米尺置于桌面上的两个三角

木上（如图）。

验证向心力公式 85 - 图4

  1. 用手将钢球向右拉开一个角度θ后由静止释放，仔细观察钢球通过最低位置时米尺的 B 点是否与三角木脱离。可逐渐将米尺向右移动（两个三角木不动），或增大θ角，直到当钢球通过最低点时米尺 B 点与三角木稍有脱离为止（此时米尺以 D 点为转轴的力矩平衡）。

  2. 从米尺上读出 AD 的距离 L1 和 DC（C 为米尺的中点）的距离 L2。如果细绳的长度为 L，则使米尺顺时针转动的力矩

M1 = [(m + M 0 )g + mv 2 / L]L1，

式中v =

2gL(1 − cosθ)，使米尺逆时针转动的力矩

M2=MgL2。

如果有 M1=M2，即可验证向心力公式。

  1. 改变钢球的质量 m 或改变细绳的长度 L 或改变拉开的角度θ，重复以上实验，即可验证其他情况。

注意 米尺的 B 点与三角木是否稍有脱离需要反复实验才能确定。因为钢球对米尺的拉力达到最大值只是一瞬间，随即又减小了。值得注意，所谓“米尺与三角木稍有脱离”应表现为它们只有一点很微小的相对运动，而不应该是米尺与三角木明显地分开甚至米尺向外翻出。