研究牛顿第二定律 63

研究牛顿第二定律，是研究一个多变量函数的问题。处理这类问题的常用途径有两条：一是用多变量组合法；二是用多元回归法。本实验的五种方法都用第一条途径。五种方法采用相同的研究思想不同的实验方法测量物体的加速度。第一种方法用简式计时器计时；第二、三种方法用打点计时器计时；第四种方法用数字毫秒计计时，第五种方法用秒表计时。

△多变量的组合法

依次研究每一个变量的变化规律后，要将几个单变量函数组合成一个多变量函数，此过程可称为“多变量的组合”。

  1. 如果有二元函数 f(x,y)，当 x 不变时，f∝y，当 y 不变时，f∝x， 那么一定有 f∝x·y。

由 x 不变时，f∝y 可得

f1 = f1 ①

y1 y2

由y不变时，f∝x可得

将①式代入②式消去f ′

f ′ = f2 ②

x1 x2

f1

x1 y1

= f 2 ，

x2 y2

即 f∝xy。

  1. 如果有 f(x,y,z)，当 y,z 不变时，f∝x；当 x,z 不变时，f∝y； 当 x,y 不变时，f∝1/z，那么一定有 f∝xy/z。

由 y,z 不变时，f∝x 可得

由 x、z 不变时，f∝y 可得由 x、y 不变时，f∝1/z 可得将①式代入②式消去 f′：

f1/x1=f′/x2 ①

f′/y1=f″/y2 ②

f″/z2=f2/z1 ③

f1 x2

x1y1

= f ′′ ④

y 2

将③式代入④式消去 f″：

f1 = f 2 ，

即 f∝x·y/z。

(x1 y2 / z1 ) ( x2 y2 / z2 )

其他多变量的函数关系可用类似方法组合。

方法一

器材 带定滑轮的木板，小车，简式计时器，滑轮，天平，弹簧秤， 砝码盘，砝码，米尺，细绳，钩码等。

操作

在木板的后端垫上一块适当厚度的小木块。前后调节小木块的位置，使小车能在木板上匀速（目测）滑下（图 a）。

研究牛顿第二定律 63 - 图1

  1. 在一般情况下，简式计时器是和斜槽轨道配套使用的，但也可对简式计时器作简单的改制，让它在其他实验中作计时器用。实验装置如图(b)所示。在小车尾部设法固定一个遮光片，当小车经过光电门时能遮断光线。再设法将光电门、电磁铁与简式计时器连通，使计时器能产生与在斜槽上工作时相同的功能。

研究牛顿第二定律 63 - 图2

  1. 操纵简式计时器释放小车，在小车作加速运动的过程中，迅速读出弹簧秤的读数 F。当小车遮断光电门的光线时，简式计时器能记下小车运动的时间 t。用米尺测量出从电磁铁到光电门的距离 s，由 a=2s/t2 算出小车的加速度 a，即可得到一组(F,a)的值。

  2. 改变砝码盘中砝码的质量，重复操作(3)。共需要得到7—9 组(F,a) 值。

  3. 以横轴代表拉小车的力 F（在不考虑滑轮的质量和摩擦时，弹簧秤上读出的就是拉小车的力），以纵轴代表小车的加速度 a，作出 a-F 图。如果图线是一条过原点的直线，说明加速度和力成正比。也可以用线性回归法来证实 a 与 F 成正比（详见基础篇章 57 页有关内容）。

  4. 固定砝码盘中砝码的质量数，用操作(3)的方法测出小车的加速度 a。用天平称出小车和砝码盘、砝码的总质量 m，即可得到一组(m,a) 的值。

  5. 在小车上放置适量的砝码，改变小车的质量，重复操作(6)7—9 次。得到 7—9 组(m,a)值。实验中应随时注意弹簧秤的读数有无变化。如果略有变化，可增减砝码盘中的砝码，使其恢复原来的值。

  6. 以横轴代表小车的质量 m，纵轴代表小车的加速度 a，作 a-m 图。将所得图线与基础篇第 49、50 页中各种关系图线比较，可以发现本图线与上述图中的 A 曲线比较相象，因此可估计 a·m=k。

  7. 以横轴代表 1/m，纵轴仍代表 a，作 a-1/m 图。如果图线是一条过原点的直线，说明加速度和质量的倒数成正比，即与质量成反比。也可以用线性回归法来证实 a 与 1/m 成正比（详见基础篇第 57 页有关内容）。

  8. 证实当 m 不变时 a∝F；当 F 不变时 a∝1/m 之后，用多变量组合的方法即可得出 a∝F/m（详见本实验按语）。

方法二

器材 打点计时器，纸带及复写纸，小车，附有定滑轮的长木板，

槽码和槽码钩，细绳，低压交流电源，导线，托盘天平（带有一套砝码）， 刻度尺等。

操作

  1. 在长木板的一端下面垫一块木块，反复移动木块的位置，直至小车可以拖着纸带在斜面上作匀速运动。这时，小车受到的摩擦阻力恰好与小车所受的重力沿斜面方向的分力相等。

  2. 如图安装实验器材。接通电源后释放小车，打点器在纸带上打出一系列点子。

研究牛顿第二定律 63 - 图3

  1. 用天平测出悬挂的槽码钩和槽码的总质量 m，使系统产生加速度的力 F=mg。从纸带上求出系统的加速度 a（具体方法见实验 54 方法四）， 得到一组(F,a)值。

  2. 将槽码钩上的部分槽码搬到小车上，改变 F，但保持系统的总质量不变，重复操作(2)、(3)，得到另一组(F,a)值。共重复 7—9 次。

  3. 以纵坐标表示加速度 a，横坐标表示作用力 F，作出 a-F 图。如果得到一条过原点的直线，便可证明当质量不变时，系统的加速度和它受的力成正比。也可以用线性回归法证实 a 与 F 成正比，具体方法见基础篇第 57 页的有关内容。

  4. 保持槽码钩和槽码的总质量不变（即保持 F 不变），在小车上加重物，改变系统的总质量 M，重复以上操作 7—9 次，得到 7—9 组(M,a) 值。

  5. 探索 a 和 M 的关系，方法同本实验方法一操作(8)、(9)。

  6. 用多变量组合的方法得出 a∝F/M 的结论（方法见本实验按语）。

方法三

器材 力学台车，长木板，打点计时器，加重物若干，天平，砝码， 质地相同的橡皮筋 10 根等。

操作

在长木板的一端下面垫一高度适当的小木块。反复移动小木块的位置，调节木板的倾角，直至力学台车能拖着纸带从木板上匀速滑下， 如图。

研究牛顿第二定律 63 - 图4

  1. 把一根橡皮筋挂在力学台车上，接通打点计时器的电源后，使橡皮筋保持一定的伸长，拉动小车作匀加速运动。

  2. 增加橡皮筋的根数，重复操作(2)，注意橡皮筋每次伸长要一样。(4)从纸带上求出小车各次运动的加速度（详见实验 54）。以横轴代

表橡皮筋根数，纵轴代表小车的加速度，在坐标上作出数据点，如拟合出一根过原点的直线，即可证实加速度与外力成正比（也可用线性回归法来证实，方法见基础篇第 57 页的有关内容）。

在力学台车上加重物可以改变小车的质量。用两根橡皮筋拉动不同质量的小车（每次橡皮筋的伸长要相同），从纸带上可以测量出小车

不同的加速度。

探索小车的加速度和质量的关系，步骤同方法一操作(8)、(9)。(7)用多变量组合的方法得出 a∝F/m 的结论（方法见本实验按语）。注意 本方法在接通打点计时器电源正式操作之前，要进行多次训

练，以确保橡皮筋的伸长基本相同。

方法四

器材 气垫导轨，气源，数字毫秒计，天平，砝码等。

操作

  1. 接通气源后，将滑块放在导轨上，反复调节单脚端螺丝，直至滑块能基本静止在导轨上。

  2. 在导轨上放两个光电门，滑块上安装一个最窄的挡光框，数字毫秒计置 s2 状态，时间选择开关用最小的一挡（1ms 或 0.1ms）。给滑块一个初速度，使其从导轨的无滑轮端滑向有滑轮端，记下两次挡光的时间。反复调节单脚端螺丝，使两次挡光时间基本相等（如最小计时单位为 1ms 的，应完全相等；如最小计时单位为 0.1ms 的，时间差不能大于 0.3ms）， 此时可认为导轨已调平。

  3. 在砝码盘中放进适量的砝码，拉着滑块从导轨的无滑轮端滑向有滑轮端。前后两个光电门分别记下挡光时间 t1 和 t2。测量出挡光框两个前沿之间的间距 d，从导轨标尺上读出两光电门之间的距离 s，即可求

(d / t )2 − (d / t )2

出滑块的加速度a = 2 1 。重复测量三次（滑块的初位置

2s

和初速度可变），求出加速度的平均值。记下砝码盘和其中砝码所受的总重力 F 及加速度 a。

  1. 将砝码盘中的少量砝码（例如 1g）放到滑块上（保持系统的总质量不变），重复操作(3)，可求出另一组(F,a)值。共需要求出 7—9 组(F,a)值。

  2. 以横轴表示 F，纵轴表示 a，作 a-F 图，如果图线是一条过原点的直线，可证实当质量不变时，系统的加速度与其受的合外力成正比。也可用线性回归法证实 a 与F 成正比，方法见基础篇第 57 页的有关内容。

  3. 固定砝码盘中砝码的总质量（使系统产生加速度的力不变），用加重铁块加在滑块上改变系统的质量。共改变 7-8 次，每次都从毫秒计测出的时间中算出系统的加速度 a，并用天平测出系统的总质量 M。

  4. 探索系统的加速度 a 和系统的总质量 M 之间的关系，步骤同方法一操作(8)、(9)。

  5. 用多变量组合的方法得出 a∝F/M 的结论（方法见本实验按语）。

方法五

器材 阿特武德机，测力计，砝码盘，砝码，天平，秒表等。

操作

在阿特武德机的滑轮上跨一细绳，绳的左端挂一个砝码盘，右端连接一个测力计，测力计下端挂一个砝码盘，如图所示。

研究牛顿第二定律 63 - 图5

  1. 调节左、右两个砝码盘中砝码的质量，使测力计能拉着 m1 向上作匀速运动（目测），然后将测力计的读数调成零。

  2. 在左边砝码盘中增加适量的砝码，然后将右边砝码盘从 A 处由静

止释放。用秒表记下右边砝码盘由 A 处运动到 B 处的时间 t，即可由公式a=2AB/t2 算出加速度 a。在物体系作匀加速运动的同时仔细地观察并记下测力计的读数 F，这样可得到一组(F,a)的值。

  1. 继续增加左边砝码盘中的砝码，重复操作(3)，得到另一组(F,a) 值。总共需要 9 组(F,a)值。

  2. 用方法一操作(5)相同的方法得出 a 与 F 成正比的结论。