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移除书签静力称衡法测密度
静力称衡法的实质是借助阿基米德定律测量物体的体积，进而得到它的密度。它比直接用量筒测量物体的体积精确度高。本实验中不用弹簧秤而用天平来测量物体的视重，是为了提高实验结果的精确度。
本实验的结果是通过四则混合运算得到的，所以在分析误差时用了误差传递的一般公式。有关公式可查阅本书基础篇的有关部分。
方法一
目的 测量密度大于水的固体的密度。
原理 金属块所受的重力为G1，忽略空气的浮力，它在空气中的视重也是
G1=ρgV ①
如果它在水中的视重是G2，则
G2=G1−ρ水gV，
即 G1−G2=ρ水gV ②
①式除以②式，并加以整理可得
ρ=G1·ρ水／(G1−G2)。
器材 物理天平，砝码，烧杯(500ml)，细线，待测金属块等。
操作
-
用天平测出金属块在空气中的视重G1。
-
让金属块完全浸没在水中（但不能碰杯底），测出金属块在水中的视重 G2。
-
用公式ρ =
G 1
G1 − G 2
- ρ水
计算出金属的密度。
分析 本实验结果的精确度取决于测量视重的精确度和金属块的重力。根据误差传递的一般公式
E = ∂ρ
ρ ∂G
+ ∂ρ
∂G 2
+ ∂ρ · ∆ρ 水
∂ρ水 ρ
因为实验中用同一架天平，所以可以认为ΔG1=ΔG2=ΔG。如果ρ水的误差可忽略， 则
Eρ = (G
G 2
-
G )G
·∆G +
(G
G 1
-
G )G
·∆G
1 2 1
= G 1 + G 2
(G1 − G 2 )G1
-
∆G。
1 2 1
从上式可看出，在实验所用的天平已选定（即ΔG 不变）的情况下，选用质量大一些的金属块，有利于减小实验误差。证明如下：根据金属密度的计算公式
利用合比定理可得
ρ = G1
G 1 − G 2
- ρ水。
G 2 = ρ − ρ水
G 1 ρ
= 1 − ρ水 。
ρ
G 2 = G1
(1 − ρ水 )，
ρ
所以E =
G1 + G 2
·∆G = G 1 (1+ 1− ρ水／ρ) ·∆G = 2ρ − ρ水 · ∆G 。
ρ (G
- G )G
G 2 (1 − 1 + ρ
／ρ) ρ G
1 2 1 1 水 水 1
由此可见Eρ与G1 成反比。
实例
- 测一块金属的密度G1=27.02g，G2=17.06g。
ρ = G1
G 1 − G 2
- ρ水
= 27.02
27.02 − 17.06
× 0.998 × 102 kg／m3
=2.71×103kg／m3。取ΔG=0.1g。
E = G1 + G2
-
∆G
ρ (G − G )G
1 2 1
= (27 + 17)
(27 − 17) × 27
× 0.1 = 1.7%
Δρ=ρ·Eρ=2.71×103×1.7%kg／m3=0.05×103kg／m3。测量结果：ρ=(2.71±0.05)×103kg／m3。
- 将两块金属块绑在一起测量： G1=54.03g，G2=34.07g。
ρ = G1
G 1 − G 2
- ρ水
= 54.03
54.03 − 34.07
× 0.998 × 103 kg／m 3
=2.70×103kg／m3。ΔG 仍然取 0.1g，
E = G1 + G2
-
∆G
ρ (G − G )G
1 2 1
= 54 + 34
(54 − 34) × 54
× 0.1 = 0.81% 。
Δρ=ρ·Eρ=2.70×103×0.81%kg／m3=0.03×103kg／m3。测量结果：ρ=(2.70±0.03)×103kg／m3。
上述两例的结果也说明用质量较大的金属块测量出来的结果误差较小。
方法二
目的 测定密度小于水的固体的密度。
器材 物理天平，砝码，铁块，烧杯，细绳，待测石蜡块等。
操作
(1)用天平测出石蜡块在空气中的视重G1。(2)用细绳将石蜡块和铁块吊起来。
(3)用天平测出石蜡块在空气中，铁块在水中时总的视重G3（图a）。(4)用天平测出石蜡块和铁块都浸没在水中时总的视重G4（图b）
(5)设石蜡块的体积是V1，铁块的体积是V2，铁块在空气中视重是G2，则
|
①−②得 |
G3=G1+G2−ρ 水 V2g G4=G1+G2−ρ水(V1+V2)g G3−G4=ρ水V1g |
① ② ③ |
|---|---|---|
|
④÷③得 |
G1=ρV1g ρ=G1·ρ水／(G3−G4) |
④ |
即可测出石蜡的密度。
分析 根据误差传递公式，
Eρ =
∂ρ
∂G1
+ ∂ρ
∂G 3
+ ∂ρ
∂G 4
+ ∂ρ 。
∂ρ
因为实验中各个视重用同一架天平测量，所以可以认为各称量的误差相等，即ΔG1= ΔG3=ΔG4=ΔG，若ρ水值的误差可忽略，因此有
E = ∆G + ∆G
ρ G G − G
-
∆G
G − G
1 3 4 3 4
= G 3 − G 4 + 2G 1 ·∆G。
G 1 (G 3 − G 4 )
从误差分析的过程可以看出，在实验所用的天平已选定（即ΔG 不
变）的情况下，蜡块选得大一些，可以使 ∆G 和
G1
∆G G 3 − G 4
等三项都变
小，这有利于减小结果的误差。而铁块的质量只要保证石蜡能浸没有水中，其大小与结果的误差是无关的。
实例
- 测一块较小的石蜡块的密度G1=7.65g，G3=34.82g，G4=26.22g。
ρ=G1·ρ水／(G3−G4)
= 7.65 × 0.998 × 103 3
34.82 − 26.22
=0.89×103kg／m3。取ΔG=0.1g。
kg／m
Eρ=(G3? G4+2G1)·ΔG／[G1(G3? G4)]
=(35? 26+15)×0.1／[7.7(35? 26)]
=3.5%，
Δρ=ρ·Eρ=0.89×103×3.5%kg／m3
=0.04×103kg／m3， ρ=(0.89±0.04)×103kg／m3。
- 测一块较大的石蜡块的密度G1=17.86g，G3=61.36g，G4=41.20g。
ρ=G1·ρ水／(G3−G4)
= 17.86 × 0.998 × 103 3
61.36 − 41.20
kg／m
=0.88×103kg／m3。ΔG 仍然取 0.1g，
Eρ=(G3? G4+2G1)ΔG／[G1(G3? G4)]
=(61? 41+36)×0.1／[18(61? 41)]
=1.5%。
Δρ=ρ·Eρ=0.88×103×1.5%kg／m3
=0.02×103kg／m3。ρ=(0.88±0.02)×103kg／m3。
上述两例的结果也说明用较大的石蜡块测量出来的密度误差较小。
方法三
目的 测定液体的密度。
器材 物理天平，砝码，金属，烧杯，细绳，水，待测液体等。
操作
-
用天平测出金属块在空气中的视重G1。
-
用细绳吊住金属块，用天平测出金属块在水中的视重G2（如方法一）。(3)用天平测出金属块在待测液体中的视重G3。
(4)设金属块的体积是V，密度是ρ0，待测液体的密度是ρ，则
G1=ρ0gV ①
G2=ρ0gV? ρ水gV ②
G3=ρ0gV? ρgV ③
①? ②： G1? G2=ρ水gV ④
①? ③： G1? G3=ρgV ⑤
⑤÷④： ρ=(G1? G3)·ρ水／(G1? G2) 即可测出待测液体的密度。
分析 根据误差传递公式
E = (G 3 − G 2 )·∆G + ∆G + ∆G = 2·∆G 。
ρ (G − G )(G − G ) G − G G − G G − G
1 2 1 3 1 2 1 3 1 3
从分析结果可以看出，金属块选得大一些，使(G1? G3)大一些有利于减少Eρ。
实例
- 用一块较小的金属块做实验G1=27.10g，G2=17.14g，G3=18.64g， ρ=(G1? G3)·ρ水／(G1−G2)
= (27.10 − 18.64) × 0.998 × 103 3
27.10 − 17.14
=0.85×103kg／m3。Eρ=2ΔG／(G1? G3)
=2×0.1／(27? 19)=2.5%。
kg／m
Δρ=ρ·Eρ=0.85×103×2.5%kg／m3
=0.03×103kg／m3， ρ=(0.85±0.03)×103kg／m3。
- 用一块较大的金属块做实验
G1=54.14g，G2=34.20g，G3=37.20g。
ρ = (54.14 − 37.20) × 0.998 × 103 3
54.14 − 34.20
=0.85×103kg／m3， Eρ=2×0.1／(54? 37)=1.2%，
kg／m
Δρ=ρ·Eρ=0.85×103×1.2%kg／m3
=0.01×103kg／m3， ρ=(0.85±0.01)×103kg／m3。
上述两例的结果说明用体积较大的金属块来做实验误差较小。也可以从有效数字运算法则推出同样的结论：
ρ = G 1 − G 3 ·ρ 。
G 1 − G 2 水
在实验里，假定ρ水值有效数字位数足够多，当G1 值取得越大，相应的G2 和 G3 值也越大，则G1? G3 和G1? G2 的有效数字也越多，最后ρ值的有效数字位数越多。
方法四
目的 测金属块的密度。
器材 刻度尺，重物，烧杯，细绳，待测金属块等。
操作
-
用悬挂法测出刻度尺重心的位置，在重心处用细绳悬挂起来。尺的一头悬挂待测金属块G，另一边悬挂重物W。调节两侧力臂，使尺平衡（如图 a）。读出此时重物一侧力臂的长度b。
-
使待测金属块浸到水中，调节重物一侧力臂的长度，使刻度尺重新平衡（图b）。读出此时重物一侧的力臂长度b’。 -
设待测金属块一侧力臂长a，金属块体积为V，密度为ρ，则有ρgVa=Wb ①
(ρgV? ρ水gV）a=Wb’ ②
②÷①： 1? ρ 水 ／ρ=b’／b， ρ＝b·ρ水／(b? b’)。
即可测出金属块的密度ρ。
分析 根据误差传递公式，
E = ∂ρ ∆b + ∂ρ ∆b' + ∂ρ ，
ρ ∂b ρ ∂b' ρ ∂ρ
因为同一刻度尺的读数误差相同，所以Δb’=Δb，不考虑ρ水的误差。因此
Eρ =
b'
(b − b') b
∆b +
1
b − b'
∆b =
b + b'
( b − b') b
∆b。
从以上分析结果可看出：在实验中待测金属块的体积大一些，刻度尺长一些， 重物质量小一些（使b 和b’大一些），有利于减小实验的误差。
