58 测定重力加速度

本实验介绍了五种测量重力加速度的方法。做好实验的关键是减小时间测量的相对误差△t/t，方法一、二采用电子计时的方法以减小△t， 方法四、五采用累积的方法以增大 t。实验中要适当选择物体运动的距离s，过短会使△s/s 增大，过长则会增加空气阻力带来的影响。由于空气阻力无法避免，因此测量出的实验值比公认值略小是正常的。

方法一

原理 实验 57 方法一在研究自由落体运动规律的同时测出了重力加速度，实验采用增加测量次数的方法减小测量时间的偶然误差，但这种方法无法减小由于电磁铁剩磁等原因带来的系统误差。本方法的特殊设计正是为了减小这项系统误差。

实验装置如图(a)所示，计时器置“光控”位置。从标尺上可以读出钢球到光电门 G1、G2 的距离 s1、s2，计时器可以记下钢球从 G1 到 G2 的时间 t。设小球从起始位置落到 G1、G2 的时间分别为 t1、t2，由于电磁铁剩磁等原因带来的时间误差为△t，则

s = 1 g(t

1 2 1

− ∆t) ² ①

s = 1 g(t

2 2 2

− ∆t) ² ②

②式除以①式并两边开方

(t 2 − ∆t) / (t1 − ∆t) = s2 / s1 ，

(t 2 − t 1 ) / ( t1 − ∆t) = − 1。

因为 t 2 − t1 = t，

所以 t / (t 1 − ∆t) = − 1，

t1 − ∆t = t / (

将②式代入①式，可得

− 1)

2s1 (

自变量，2s1 (

s / s1 − 1) ² = gt ² ，改变s 和s ，可测得不同的t。以t 为

• 1) ² 为因变量作出图线，其斜率就是g。显然，这

种实验方法的结果是不受△t 影响的。

器材 斜槽轨道，简式计时器，砂箱等。

操作

1. 调整电磁铁的位置，使钢球的前沿对准尺的零刻度。取下轨道尾端的捕捉器，旋上固定螺丝把支架固定在轨道的尾端。然后竖起轨道将支架支柱插入三脚座的中心孔，用螺丝固定好（图 a）。

2. 把小重锤挂在电磁铁上，使其悬挂点与钢球的吸着点重合。调整三脚座上的调平螺丝，将轨道的平直部分调成竖直。然后再仔细调整光电门上的可调螺丝，使重锤线通过透光孔的中心线，确保钢球下落时其球心从光电门透光孔的中心线上通过。

3. 将光电门 G1 置于靠近标尺零刻度的地方，G2 放在标尺中部，从标尺上读出零刻度到 G1、G2 的距离 s1 和 s2。

4. 将计时器放在“光控”位置，操纵“吸放”开关释放钢球，从计时器上读出钢球从 G1 到 G2 的时间 t。共测量 8 到 10 次，取平均值。

5. 光电门 G1 的位置不变，将 G2 的位置向下移动 5.0cm，重复以上实验操作。一共获得 7 组(s1,s2,t)数据。

2 2

(6)以纵轴代表2 s1 ( − 1) ，横轴代表t ，作图线。用图解法求

出图线的斜率，此斜率就是重力加速度 g。

注意

1. 如果下落过程中钢球球心没有从透光孔的中心线上通过，将给s1、s2 带来较大的误差（如左右偏差 1cm，会给 s 带来约 0.6cm 的误差）， 因此操作(2)一定要认真做好。

2. 时间测量的误差 Et=△t/t，计时器可有±0.01s 的误差，当 t 较

大时 Et 较小，所以 G1 和 G2 的距离不能太近。但因受到轨道长度的限制， t〈0.35s，即 Et〉2.9%。因此本实验中的 t 不能用单次测量的方法，一定要多次测量以减小 t 的误差。

实例 某次实验数据如下表，s1=5.0cm。

以纵轴代表2 s1 ( − 1) ，横轴代表t 作图线（图b）。在图线上

2 2

取P1 (0.0201,0.200)，P2 (0.0650,0.635)两点，求出图线的斜率

k = 0.635 − 0.200

0.0650 − 0.0201

m / s²

= 9.7m / s²。

建议

1. 本实验上是借用了斜槽轨道的电磁铁和计时器及光电门，并没有用到轨道本身。因此也可以应用计时器独立做实验，只要用适当的夹具固定电磁铁及两个光电门即可。这样做的好处是 s1、s2 和 t 不受轨道长度的限制，这些数值可适当地取得大一些，以减小实验误差。

2. 为了提高计时的精度，可将简式计时器换用数字毫秒计（s2 计时方式），计时精度可提高 1—2 个数量级。

方法二

器材 气垫导轨，数字毫秒计，气源等。

操作

将气垫导轨放在水平桌面上。接通气源后，把滑块放在导轨上， 调节单脚支撑螺丝，直至放手后滑块基本静止不动为止（如图）。

1. 将毫秒计置于 s2 状态，轨道上安装两个光电门，在滑块上装上最窄的挡光框，时间选择开关用最小的一档（1ms 或 0.1ms）。给滑块一个初速度后，让它依靠惯性从导轨的单脚端滑向双脚端。细心地调节单脚支撑螺丝，直至毫秒计显示滑块经过两个光电门的时间之差不大于 0.3ms 为止（如果用计时精度为 1ms 的毫秒计，则时间显示应完全相同）。

2. 在单支脚下垫上高度为 h 的垫块，让滑块从导轨的单脚端滑向双脚端，毫秒计记下滑块经过两个光电门时的挡光时间 t1 和 t2。如果挡光框两个前沿之间的距离是 d，则两次挡光时间内的平均速度分别为v1=d/t1 和 v2=d/t2。因为两次挡光的距离相对整个距离来说很小，因此可以把这个速度看成是滑块经过两个光电门时的即时速度。从标尺上读出两个光

电门之间的距离s，滑块的加速度a = (v² − v² ) / 2s。

2 1

1. 保持两个光电门的位置不变，改变滑块滑行的初始位置或初速度，再重复测量一次加速度。

2. 改变两个光电门的位置，重复上述实验，共测出 8—10 个加速度值。

3. 应用公式 g=a·L/h，算出 8—10 个重力加速度的值（L 是气垫导轨单支脚与双支脚之间的距离）。

4. 求出重力加速度的平均值作为实验测出的重力加速度，并求出它的误差。

注意

1. 操作(2)中滑块只能从单脚端滑向双脚端调节，不必考虑反向滑动时的情况，这样可以抵偿滑块运动时受到的阻力。

2. 因空气对滑块的阻力与滑块的速度有关，因此实验中滑块的速度和调节时滑动的速度不要差得太大。

实例 实验数据和结果如上页列表，并可求出：

d = 0.0100m, h = 0.0300m, L = 1.40m 。g = 9.75m / s² , ∆g = 0.11m / s² ,

g = 9.75 ± 0.11m / s² , E = 1.4% 。

方法三

器材 秒表，米尺，定滑轮，铁架台，钩码，细绳，砝码，像皮泥等。

操作

如图(a)安装实验装置。跨过定滑轮的细绳两各悬挂一个质量是 M 的钩码。调节绳长，当钩码 2 接触地面时，钩码 1 在比较接近定滑轮的地方。

1. 在钩码 1 上粘适量的橡皮泥（质量为 m0），使系统获得一个初速度后能作匀速运动（目测）。

2. 用米尺测量出钩码 1 底部到地面的高度 H。

3. 在钩码 1 上加上质量为 m 的砝码，手持钩码 2 保持系统静止。(5)释放钩码

   2 的同时开启秒表，直至钩码 1 底部碰地时停表，计下

系统运动的时间 t。

1. 用 a=2H/t2 算出系统的加速度。

2. 改变 m，重复以上步骤，可测得一系列的(m,a)值。

3. 因为系统加速度 a=mg/（2M+m0+m），所以可以用 g=a(2M=m0+m)/m

   计算出一系列 g 值。求出它们的平均值作为测量的重力加速度，并求出误差。也可以用图象法处理实验数据，以纵轴表示加速度，横轴表示m/(2M+m0+m)，可得一根直线，用图解法求出直线的斜率，就是重力加速度 g。

注意

1. 要选用摩擦力小、转动稳定的定滑轮。

2. 用秒表计时较易产生误差，因此每改变一次 m 都要多次测量 t。实例 某

   次 实 验 数 据 如 下 表 ： H=1.60m，m0=0.0091kg，M=0.100kg，表中的 t 是多次测量求得的平

均值。

可得 g=9.74m/s2，△g=0.11m/s2，则 g=9.74±0.11m/s2。也可以用图象法处理实验数据：以横轴表示 m/(2M+m0+m)，以纵轴表示 a，作出的图线是一条直线（图 b），在直线上取两点 P2(0.005,0.05)，P1(0.041,0.40)，可以求出直线的斜率

k = 0.40 − 0.05

0.041− 0.005

m / s²

= 10m / s² ，即重力加速度。

方法四

器材 小钢球，贮放小钢球的倾斜玻璃管，控制释放小钢球的电磁铁（用铁氧体材料作铁芯），微动开关（常闭），碰撞开关（要求受小钢球碰撞时触点会分开，触点最好用废旧继电器上的触点制成），秒表， 钢卷尺等。

操作

接通电源，将 10 个以上小球放入玻璃管中，第一个小球即被吸住（如图）。

1. 轻触一下微动开关的同时，秒表开始计时。在线路断开的一瞬间，电磁铁失去磁性，第 1 只小球被释放自由下落，当它打击地面上的

碰撞开关时，电路迅速断开一次，使吸住的第 2 个小球又被释放⋯⋯， 直到最后一只小球碰到碰撞开关时，停止计时。

1. 将秒表记下的时间 t 除以小球的个数 n，就可得到小钢球下落的平均时间t。再用钢卷尺测量出从被吸住的小钢球的下沿到碰撞点的距 离 h，即可测到重力加速度 g=2h/t2。

注意

1. 下落高度 h 不宜小于 2m，小钢球个数不宜少于 10 个。设实验者开、停秒表各有 0.1s 的误差（必须经过一定的训练才能达到这个水平）， 即△ t=0.2s ，在上述实验条件下， t 约为 6.3s ，则计时误差Et=0.2/6.3=3.2%。

2. 电磁铁线圈的匝数和电流都要由实验测定。在能完成实验功能的前提下，磁性尽量弱一些，以减少剩磁的影响。

3. 小钢球的大小可自由选择，钢球越小，下落过程中受空气影响越明显。当 h 不大于 2m 时，只要钢球直径不小于 1mm 即可。

建议 小钢球开始下落时由于电磁铁剩磁等因素可能延滞一段时间

△t，这会造成一定的系统误差。为了消除这个系统误差，可用下述实验

方法。

改变 h 做两次实验，则

 = 1 g(t 1 − ∆t) ²

 ¹ 2

 1

 =

 ² 2

g(t 2 − ∆t) ² ，

t 1 − ∆t = 2h₁ / g

即   

t 2 − ∆t = 2h₂ / g

两式相减，并整理出 g 的表达式为

g = 2( − h ) ² / (t1 − t 2 )² 。

说明用这种方法测出的 g 与△t 无关，即消除了由△t 带来的系统误差。但值得注意的是，这种方法会增大由于计时不准带来的偶然误差。

分析如下：设 h1=2.00m，h2=1.00m，n=10，那么 t1=6.3s，t2=4.5s，计时的相对误差为 2(△t1+△t2)/(t1-t2)=2×(0.2+0.2)/(6.3-4.5)=44%， 即使不考虑测量 h 的误差，实验结果也可能有 40%以上的误差。减小这个偶然误差可以用的方法是：①同一个 h 多次测量 t，以减小△t；②增大n 的数目；③适当地增大 h1，减小 h2。

方法五

器材 长方木条（长约 1.5m），钢球（直径约 1.5cm），秒表，细绳，复写纸，米尺等。

操作

在木条上端钻孔安装一转轴，做成一个摆。细绳吊着钢球跨过定滑轮悬挂起来。调整定滑轮的位置，使钢球与竖直悬挂的木条接触时， 悬挂钢球的细绳也处在竖直位置（如图）。

1. 在木条下端也固定一根细绳，用手同时拉住两根细绳头，使木条偏离竖直位置约 20°，钢球在木条上端附近。

2. 释放后注意观察钢球与木条相撞的位置，在此附近贴上一张长20cm 的白纸条，在白纸上再覆盖一张复写纸。

3. 恢复到原来位置，在木条上记下钢球的初始位置后再次释放，钢球与木条相撞后在木条白纸上留下点迹。重复 10 次，在白纸上留下十个点。作一个能包围这十个点的最小的圆。用米尺测量出钢球初始位置和这个圆的圆心之间的距离，就是钢球下落的距离 h。

4. 测出木条在小于 10°角内摆动 10 次的时间 t，然后求出木条的摆动周期 T=t/10。

(6)由h = 1 g(T / 4)² ，可算出g = 32h / T² 。

2

分析 因为g = 3200h / t ²， 所以Eg = Eh + 2E t 。

设∆h = 1cm，h = 1.20m，∆t = 0.2s，t = 20.0s，则E

= ∆h + 2∆t

^g h t

= 1

120

• 2 × 0.2 = 2.8%，即测出的重力加速度可能有3% 的误差。

20