实验数据的处理 2

实验数据的处理方法，通常有列表法、图象法和函数法三种。三种方法各有优缺点。在处理同一个实验数据时，不一定要同时用这三种方法。可根据实验内容和实验目的，决定选用其中的一种方法或者取其中的两种方法配合使用。

一 列表法

（一）列表法

列表法是将一组实验数据中的自变量和因变量的各个数值按照一定的顺序一一对应地列出来。如

表 1 水银的密度和温度的关系

（二）列表时的注意事项1．表的名称及说明

表的名称应简明扼要。如果表名太简单不足以说明问题时，可在表下做一个附加说明。

项目

表中左边一列叫主项，一般代表自变量 x；右边一列叫副项，一般代表因变量 y。列表时可选择能直接测量的物理量（如温度、压强等） 作主项。

数值的写法

1. 表中应写数据的地方不得有空缺。数值为零时记“0”，数值空缺时记“—”。

2. 同一列的数值，小数点应该上下对齐。

3. 如果各数值的有效位数较多，但在表中只有后面几位有变化，则只需要将一列的第一个数值写完整，以下数值均可不写前面不变的几位数（例如表 1 中因变量ρ的十位数“1”和个位数“3”）。

4. 当数值过大或过小时，应以科学计数法表示。

自变量 x 间距△x 的选择

列表时，x 常取整数或其他方便值，按增大或减小的顺序排列。相邻两数值之差△x 称为间距。如果差值为恒定值，则△x 称为公差或定差。因为 x 通常为整数，故△x 一般为 1、2 或 5 乘以 10n（n 为整数）。

△x 的值不能过大或过小。

有效数字的位数

表中所有数值的有效数字位数都应根据实验中测量的精度来确定， 不能随意增加或减少。

（三）数据的分度

由实验得出的数据，由于实验条件的限制，自变量和因变量的变化， 一般是不够规则的，应用起来很不方便。数据的分度就是将实验得到的一组数据按顺序有规律地在表中排列起来，并且使自变量 x 作等间距的变化。这样列出的表，便于查阅。

最方便的数据分度方法是图解法。先按照原始数据（即未分度的数

值）作图，作出一条光滑的图线。然后从图线上一一读出所需要的值列成表格即可。图线的详细作法，将在下一节中讨论。

表 2 实验原始数据

例 在一次探索水银的密度与温度关系的实验中，得到表 2 中的一组原始数据。根据表中数据，可作出密度ρ与温度 t 的关系图。

在实验中，由于条件的限制，零下的温度只测量了一个数值。但因为图线的线性程度较高，因此可以用数据分度的方法得到零下的另外几个值，见表 3。

表 3 水银的密度和温度的关系

从表 3 可以看出图解法进行数据分度的两个作用：①可以填补一些原来空缺的项，使表格更加规则；②可以对原始实验数据进行适当的修正（与表 1 比较，表 3 的数据比表 2 的数据要好一些）。

二 图线法

（一）图线法的作用和优点

图线法的作用

物理实验中通过作图得到验结果的方法叫图线法。它是一种应用得很广泛的处理实验数据的方法。特别是在有些科学实验的规律和结果还没有完全掌握或者还没有找到明确的函数表达式时，采用作出的图线来表示实验结果，能形象直观地显示物理量变化的规律。

例 1 研究一定质量的物体，它所受的外力与它的加速度之间的关系。

可以在气垫导轨上进行实验。用一系列大小不同的力 F 依次作用在滑块上，测量得到一系列不同的加速度值 a。在坐标纸上作出 a-F 图。如果图线是一条经过原点的直线这说明 a 和 F 成正比。接着可以再求这条直线的斜率，如果斜率的倒数与滑块的质量相等（在测量误差范围内），则可总结出一个物体的加速度 a 与它所受的外力 F 成正比的结论。写成等式的话，此等式的比例系数是该物体质量的倒数。这样就验证了牛顿第二定律。

图线法除了可以寻找物理量之间的关系外，还经常用来求一些物理量。其中最多见的是用于形式为 y=kx+b 的式子。可以先从图线中求出斜率 k 和截距 b，再求其他有关的物理量。

例 2 测量一根弹簧的倔强系数和它的原始长度。

弹簧的原始长度是指弹簧在不受任何外力作用时的长度。在地面上做实验，如将弹簧坚直挂起来，弹簧会因本身的重力而伸长；如果将弹簧放置在水平桌面上，则会因摩擦力的影响而造成较大的误差。因此要创造一个不受任何外力作用的环境实在不容易。但用图线法处理上述实验中的实验数据，就可以同时得到弹簧的倔强系数和原始长度。具体做法：

1. 将待测弹簧坚直悬挂起来，下端吊一只质量为 m0 的小盘。

2. 在小盘中加入质量为 m

   的砝码，要求这个砝码能使弹簧有一个明显的伸长，然后测量出弹簧的长度 l，如图。

3. 增加小盘中砝码的质量，再测量弹簧的长度。重复七到八次（注意：弹簧的伸长不能超过它的弹性限度。）

4. 以横坐标表示 F=（m+m0）g，纵坐标表示弹簧的长度 l，作 l-F 图。

测出图线的斜率 k 和截距 b（具体方法后面还要介绍）。根据胡克定律可知

l = l 0

• F 。

K

式中的 l0 是是弹簧的原始长度，F 是使弹簧伸长的外力，K 是弹簧和倔强系数。

根据一次函数图象的性质

K = 1 ,

k

l 0 = b。

这样就测出了弹簧的倔强系数和原始长度。

图线法的优点

1. 直观 直观是图线法的最大优点。从图上可以清楚地看出两个变化的物理量之间的函数关系或变化规律。如从图中可以看出在 x0 附近 y 有一个极大值，当 x 趋向无穷大时，y 趋向零。

2. 简便 在测量精确度要求不高或进行粗测或在探索物理量之间的关系时，用图线法都很方便。

1. 有取平均的效果 如果图线是根据许多数据点描出的平滑曲线或直线，图线法就有多次测量取平均的作用。

2. 如果图线作得足够准确，则不必知道 x 与 y 之间的函数关系式， 即可以对变量求微分和积分。

3. 可以发现某些测量错误 如果在图线上有个别点偏离得特别远，则可能是测量或数据计算中有错误，应该重新测量或进行核对。

（二）作图线的方法

1．图纸的要求

作图线必须用坐标纸。常用的有直角坐标纸（毫米方格纸）、对数坐标纸等。在选择坐标纸时，应该注意：

1. 坐标纸要均匀准确；

2. 坐标纸的大小要合适，太小会影响数据的有效位数；

   (3)坐标纸的纸质要好，要能经得起长久使用；

(4)如所作图形用于复印时，还要考虑坐标纸的颜色。2．坐标的分度

选好坐标纸以后，可根据以下规则进行分度：

x 轴代表自变量，y 轴代表因变量。所谓分度就是确定每条坐标线所代表的数值。分度的选择，应以图中每一点的坐标都能方便地读出为原则。例如，图中(a)和(b)都表示某种玻璃的折射率与折射光的波长的关系，图(a)分度较合适，图(b)分度就不太好。譬如要从图中读取波长分别为 0.470 微米及 0.650 微米的光的折射率时，图(a)就比图(b)方便得多。

1. 坐标分度值不一定自零起。在一组数据中，自变量与因变量均有最低值和最高值。分度时，可以用低于最低值的某一整数作起点，高于最高值的某一整数作终点。分度时力求使图线比较匀称地分布在整幅坐标纸上，不要偏在一角或一边。

2. 坐标分度的大小要根据实验数据的有效位数来确定。一般的原则是：测量数据中的可靠数字在图纸中也应该是可靠的；测量数据中的存疑数字在图线中可以是估画的。图线中坐标的最小分格应该对应测量值中可靠数字的最后一位。

1. 在选择分度时，要尽可能使图线与 x 轴成 45°角。图中的(a)和(b)是根据同一组实验数据画出的两幅图线。图(b)由于分度选得比较适当，因此曲线的主要部分与 x 轴的夹角接近 45°，各曲线变化规律的差别也表现得比较明显。如果图线是一根直线，用图解法来求这根直线的斜率和截距，那么也是当图线与 x 轴成 45°角的时候误差较小。

2. 确定了分度线之后，要在每根分度线旁标上数值，在坐标轴的末

端或坐标轴近旁标明所代表的物理量及单位。3．根据数据描点

描点时，只要根据实验数据将各点画到坐标纸上即可。但如果要根据图线来进行一些较准确的测量，描点的要求就较高了。

1. 每个点都要有一个中心和一个边框，中心点代表数据的最佳值， 而边框则表示数据的误差。

2. 如果自变量与因变量误差相等，可用圆“⊙”作数据点。其圆心代表最佳值，其半径代表两个变量相同的误差。

3. 如果自变量与因变量的误差不相等，可用矩形“ ”作数据点。矩形的中心代表最佳值，矩形的横边代表自变量的误差，竖边代表因变量的误差。下图用两倍的标准误差作为误差的合理范围作图。这样，理想曲线介于 ab、a’b’两曲线之间的概率有 95%。

在同一坐标纸上，如果有不同的图线，应该用不同的符号，如“⊙”、“+”等来标点。

4．根据数据点拟合曲线

数据点作好以后，用直尺或曲线板等作图工具，拟合出一根直线或光滑的曲线。直尺或曲线板一定要透明，这样便于兼顾图线两边所有的点。除特殊情况（如校准曲线）外，绝不允许连成折线，也不允许连成“蛇线”。图线不一定通过每一个数据点，但要求数据点较均匀地分布在图线两旁。一般来讲，由于仪器及方法等原因，两端各点的精度可能较差，因此作图时可适当少考虑这些点。

根据数据点拟合图线是一件十分细致的工作，一定要有足够的耐心。要反复寻找最理想的图线，否则将使整个实验功亏一篑。如果作的是曲线，可按下列步骤进行：

(1)用肉眼或三角尺确定曲线应通过或靠近的一些点； (2)通过所选各点，用铅笔轻轻将各点连接起来；

(3)作一些必要的修正，画出曲线的最后形式。

在用曲线板画出曲线时，应注意避免在连接处有突出的变化。检查连接点的好坏，最方便的方法是斜视法。将眼睛靠近图纸，顺着曲线看去，如接点处连接得不好，就会发现在连接处曲线的方向有明显的变化。

（三）用图解法求直线的斜率

1．图线的斜率和截距

如果图线为直线，其函数形式为 y=kx+b，那么可以从图线上解出其

斜率 k 和截距 b。

1. 在直线上任意取两点 p1(x1,y1)和 p2(x2,y2)。为了减小读数误差，p1 和 p2 不能靠得太近，一般取在靠近直线两端的地方。

2. 根据斜率的定义，求出直线的斜率。

k = y2 − y1

x2 − x1

如果 x 坐标轴的起点为零，可直接从图线上读取直线与 y 轴的交点的 y 坐标，这个数值就是直线的截距 b。如果 x 坐标轴的起点不为零， 则可以在图线上再取一点 p3(x3,y3)，有

y = y2 − y1 ·x

• b，

x2 − x1

b = y

− y 2 − y1 ·x

x 2 − x1

要注意的是，这三个点 p1、p2、p3 都要从图线上取得，不可用原来的实验数据。为了减小误差，这三个点的 x 坐标可取整数，读坐标时只要读取它们的 y 坐标即可。

例 研究匀变速直线运动，测得一组实验数据如下，用图线法求物体的加速度和初速度（t =0 时的速度）。

解：因为匀变速直线运动的速度 v=v0+at，所以 v-t 图线的斜率可表示运动的加速度，图线的截距可表示运动的初速度。作 v-t 图，在图线上选取 p1(11.00,5.61)，p2(1.00,9.14)两点，算出图线的斜率即物体的加速度。

a = y2 − y1

x2 − x1

= 9.14 − 5.61

16.00 − 11.00

米 / 秒²

= 0.706米 / 秒²

因为图线的 x 坐标轴起点不为零，所以在求截距时要再取一点p3(14.00，7.72)，算出图线的截距即物体的初速度。

v = y

− y2 − y1 ·x

0 3 x

₂ − x1

= 7.72米 / 秒− 0.706 × 14.00米 / 秒

= −2.16米 / 秒。

负号表示初速度方向与加速度方向相反。2．斜率和截距的误差

图线法是用眼睛看的方法拟合图线，在拟合过程中，人的因素难免要起作用。同一组实验数据，两个人拟合的结果一般不可能完全一样。也就是说拟合的过程又会给实验结果带来一些新的“误差”。因此，用图线法处理实验数据不是一种很严格的方法，对它的误差也只以作一个粗略的估计。

设有一组实验数据点如图所示。AA’是根据这一组数据点拟合出来的一条直线，其斜率是 kA’截距 bA。作梯形 BB’C’C 时，要将所有数据点都包含在内且梯形作得越小越好。连接对角线 BC’和 B’C，并延长 B’B、C’C 与 y 轴相交。求出 BC’和 CB’的斜率 kB 和 kC，BB’和 CC’的截距分别是为 bB和 bC。可以粗略地认为[kB，kC]就是 kA 的误差范围，[bC，bB]就是 bA 的误差范围。

（四）改曲线图成直线图

在实验中，会遇到各种各样的函数形式。其中一次函数的图线是直线最容易精确绘制，而且可以从中直接求出它的参数（例如斜率和截距）。因此经常通过一些变换，将其他形式的函数化成一次函数（当然， 在此过程中自变量和因变量的意义也发生了变化），也就是使函数的图象由曲线变成直线，简称“化直”。

物理实验中常用的图线，如上表所列的几种。

下面举例说明怎样将上表中的后三种曲线化为直线。例 1 测定弹簧的倔强系数 K。

解：由弹簧振子振动周期公式T = 2π

m 可知K

T² =

4π ²

K

• m。

在实验中改变振子的质量 m，依次测得一系列不同的周期 T。然后作T2- m 图（这样，因变量由 T 变成了 T2），拟合出一条直线，并测量出直线的斜率 k。

4π²

K

= k，则

4π²

K = 。

k

例 2 测定摩尔气体恒量。

解：由克拉珀珑方程 p·V=n·R·T， 可知

p = n·R·T· 1 。

V

在实验中，保持温度为 T，改变 n 摩尔气体的体积 V，依次测得一系列不同的压强 p。

然后作P − 1 图（自变量由V变成了 1 ），拟合得到一条直线，并测量

V

出直线的斜率 k。

V

nRT = k， 则

R = k 。

nT

例 3 测定某一振动的阻尼因子。

解：将阻尼振的振幅与时间的关系 A=A0·e-βt 两边取对数可得InA=-βt+InA0。

在实验中测出不同时间 t 的不同的振幅 A。然后作出 lnA-t 图（因变量由 A 变成了 lnA），拟合得到一条直线。测量出直线的斜率 k。即有

β=−k。

从以上三个例子中可以看到，用图线法处理实验数据，一般总是要设法把原来的函数式变换成 y=kx+b 型的一次函数。式中 x 和 y 分别是实验中得到的自变量和因变量，k 和 b 经常是表达式。而实验需要的测量的量总是包含在这两个表达式中。下面再通过一个例子来说明图线法的用法。

例 4 从教室顶上垂下一根细绳，下面吊一个形状不规则的重物。测量工具只有一把米尺和一只秒表。根据以上所给的条件测出当地的重

力加速度及教室的大约高度。

参考答案：用单摆测重力加速度的方法来处理这个实验，但测量摆长的困难是教室顶太高；重物形状又不规则。为了避开这两个困难，可以采取如下方法：在细绳下部确定两个点 A 和 B，AB 的长度为 l。设 OA 和 BC 的总长为 l0。在实验中，改变 AB 的长度 l，（在此过程中 l0 不变），测得一系列不同的周期 T。

根据单摆周期公式

将上式写成

T = 2π·

l 0 + l 。

g

4π² 4l π²

T² =

• l + ⁰ ，

g g

4π²

4l π²

这是一个y=kx+b型的一次方程,式中y=T² , x=l, k=

g

因为 T2 与 l 成线性关系，所以应该作 T2-l 图。

,b = ⁰ 。

g

在图线上取 p1(0.100,10.47)和 p2(0.900,13.70)两点，算出直线的斜率

k = y 2 − y1

x 2 − x1

= 4.04。

4π²

= 13.70 − 10.47

0.900 − 0.100

因为 k =

g 4π²

，

4 × 3.14² ₂

所以 g = =

k

4.04

米 / 秒

= 9.76米 / 秒²。

从图上可以看出直线的截距 b=10.09。

4l π ²

因为b = ⁰ ,

g

所以 l = bg

⁰ 4π ²

= 10.09 × 9.76 米 = 2.50米。4.00 × 3.14²

将 l0 加上 AB 和重物到地面距离便可以估算出教室的大约高度。

（五）图线法处理实验数据的局限性

用图线法处理实验数据有一定的局限性。

1. 它受图纸大小的限制，所以一般只有三到四位有效数字； (2)图纸因印刷会存在误差，图线法因此也受影响；

1. 在描点过程中会引出新的“误差”；

2. 在图纸上拟合图线，有较大的主观随意性；

3. 图线法不是建立在严格的统计理论基础上的数据处理方法。

三 实验结果的函数表示法

实验数据还可以用函数式（经验公式）表示。用经验公式表示有以下几大优点。①经验公式形式紧凑，适用范围大；②经验公式将物理现象表示成了数学关系式，从而使一大批初等数学的运算方法都可以得到应用；③用了经验公式，就可以对它进行微分、积分、内插、外推等数学处理方法。但是，由一组实验数据得到一个经验公式却不是一件容易的事情，本节主要讨论怎样完成这一工作。

（一）选择经验公式

一个理想的经验公式，既要形式简单（公式中的常数一般不要多于两个），又要能尽量准确地代表一组实验数据。

1. 用图象估计经验公式的形式

用图象估计的方法是先根据实验数据作出图线，然后按图线的形状，用解析几何的知识，估计经验公式的形式。

下面举了五种常见的函数图象，供读者选择参考。

(A)y=0.5x2，

(B)y=x+0.2x2， (C)y=x−0.2x2， (D)y=−x−0.2x2。

(A)y=x+0.2x2+0.1x3; (A)x·y=2;

(B)y=x−0.2x2+0.1x3; (B)x2·y=2

(C)y = x + 0.2x²－ 0.1x³; 1

1 )。

(D)y=−x+0.2x2+0.1x3。

(C)y = 0.5( x + x2

1. y=0.5ex; (A)y=2lnx;

2. y=0.5e−x (B)y=x·lnx;

(C)y = 0.5xex; (C)y = 2 · lnx; x

(D)y = x·e^-x

(D)y = (x -

1)·lnx。x

用图线检验估计的经验公式是否正确

在初步估计出一个经验公式的形式后，还需要检验自己的估计是否正确。如果检验下来发现不够理想，就要重新估计，并再次检验，直至获得满意的结果为止。下面先介绍图象检验法。

图象检验法可分成三步：

1. 将估计的经验公式 f (x，y，A，B)=0（其中 x、y 是实验中测得的变量，A、B 是经验公式中的常数）变成 Y=kX+b 的形式，其中 X、Y 中只能包含实验中测得的变量 x 和 y，而 k、b 是常数 A、B 的函数。

2. 选择四到五对（x，y）值，代入 X、Y 中，求出四到五对（X，Y） 值。选择（x，y）时，尽量使得到的（X，Y）值差得远一点。

3. 作 Y-X 图，如果得到的是一条直线，则证明原先所估计的函数形式是正确的。

例 1 试检验下列实验数据是否可用 y=A·eBx 来表达。

将原来估计的经验公式两边取对数

lny=Bx+lnA。

lny 相当于 Y，x 相当于 X，B 和 lnA 分别相当于 k 和 b。选四点作lny-x 图。

所得图象是一条直线，说明用 y=A·exBx 来表达原实验数据是正确的。

例 2 试检验下列实验数据是否可以用 xA·y=B 来表达。

将原来估计经验公式两边取对数

A·lnx+lny=lnB, lny=-Alnx+lnB。

lny 相当于 Y，lnx 相当于 X，（−A）和 lnB 分别相当于 k 和 b。选四点作 lny-lnx 图。

所得图线为一直线，说明用 xA·y=B 来表达原实验数据是正确的。例 3 试检验下列实验数据是否可用 y=x+A+Bx3 来表达。

将原来估计的经验公式变形：

y = 1 + Ax + Bx ² ,

x

y − 1 = Ax + Bx ²

x

y − 1 = A + Bx 。x² x

( y − 1)相当于Y，x相当于X，B和A分别相当于k和b。选择四x² x

点作图( y

x2

• 1) − x 图。

x

所得图线为一直线，说明用 y=x+ax2+bx3 来表达原实验数据是正确的。

1. 用逐差法检验估计的经验公式是否正确

设一组实验数据可以用一个幂级数来表示，那么要确定幂级数的次数不是一件容易的事。而且从上面的例 3 中可以看到，用图象法来检验幂级数是比较麻烦的。特别是在常数较多情况的下，这个问题就更为突出。下面介绍一种适用于检验多项式的方法——逐差法。

设有幂级数 y=A+Bx+Cx2+Dx3，且自变量 x 等间距变化。那么， y+△y=A+B(x+△x)+C(x+△x)2+D(x+△x)3

=A+Bx+B·△x+Cx2+2Cx·△x+Cx·△x2+Dx3+3Dx2·△x+3Dx·△x2+D·△

x3,

△y=(B·△x+C·△x2+D·△x3)+(2C·△x+3D·△x2)x+3D·△x·x2。因为△x 是常数，所以上式可以写成

△y=A’+B’x+C’x2；

式中 A’、B’、C’为新的常数。重复上面的步骤

△2y=A''+B''x，

△3y=A'''。

由此可见，若△x 为常数，幂级数的次数为 3 时，3 级逐差值△3y 为一常数。反过来，如果某一组实验数据 3 级逐差值为一常数，则可断

定这一组实验数据可以用 3 次幂级数来表示。用同样的方法，可以得到更一般的结论：如果一组数据的 n 次逐差值是一个常数，那么这组数据可以用一个 n 次幂级数来表示。

例 4 试确定下列实验数据的经验公式的形式。

1. 画出 y-x 图。图线比较像抛物线，因此初步判断用幂级数来表达。

2. 因为自变量 x 的间距△x 是不相等的，因此要从图线上重新取出一组固定的△x 数据。

求逐差

在求第一组逐差△y 的时候，将所有数据分成上下两个半组：y1 到y5 为上半组，y6 到 y10 为下半组。然后将下半组中的每一个数减去上半组中相应的数，y6—y1，y7—y2，⋯⋯，y10—y5，求出△y 值。这样的做的目的是使△y 有较多的有效位数，以便使最后的结果明显一些。如果数据组数足够多，那么求△2y、△3y 时也可以分组进行。

因为第三级逐差基本相等了，因此经验方程应该是个三次幂级数， 可写成

y=A+Bx+Cx2+Dx3。

（二）确定经验公式中的常数

确定了经验公式的形式之后，接下来的工作就是确定经验公式中的常数。

1．图象法

在用图象检验法证实了经验公式的形式是正确的以后，即可接着用图象法来确定经验公式的中的常数。

例 1 确定上节中例 1 经验公式 y=A·eBx 中的常数。

解：求出 lny-x 图线的斜率 k 和截距 b。

k=0.70, b=0.500;

则 B=k=0.70,

InA=b, A=e0.70x 。因此经验公式是：y=1.65e0.70x。

例 2 确定上节中例 2 经验公式 xA·y=B 中的常数。解：求出 lny-lnx 图线的斜率 k 和截距 b。

k=-2.0m,b=0.69；

-A=-2.0,A=2.0； lnB=0.69,B=e0.69=2.0。

因此经验公式是：x2·0y=2.0。

例 3 确定上节中例 3 经验公式 y=x+Ax2+Bx3 中的常数。

 y 1

解：求出 x2

则

• x − x图线的斜率k和截距b。

k=0.10,b=0.19;

A==0.19，B=k=0.10。

因此经验公式是 y=x+0.19x2+0.10x3。2.选点法

确定了经验公式的形式后，如果经验公式中有 m 个常数，则可以选出 m 个数据点的数据代入经验公式中，得到 m 个方程。联立这 m 个方程， 可解出 m 个常数。

例 4 用选点法确定上节中例 4 经验公式 y=A+Bx+Cx2+Dx3 中的常数。

解：选择上节中例 4 中的四个数据点(1.00,3.7)、(2.00,7.6)、(3.00,14.9)、(4.00,26.8)代入经验公式中，可得

3.7 = A + B + C + D

7.6 = A + 2B + 4C + 8D

14.9 = A + B + C + 27D

26.8 = A4B + 16C + 64D

解此线性方程组，可得

A=2.0，B=1.0,C=0.50,D=0.20。

因此经验公式是

y=2.0+1.0x+0.50x2+0.20x3。

由于选点具有随意性，联立方程解出的常数可能因为选点的不同而不同，所以在选点的时候尽量选择那些比较靠近图线的数据点。

平均法

选点法的最大缺点是选点存在随意性。为了克服这个缺点，可以将选点法改为平均法。根据误差理论，正负偏差出现的机会是相等的，因此将几个数据相加将有可能使大部分偏差抵消。

设一个经验公式中有 m 个常数，用平均法求这 m 个常数的步骤如下： (1)将所有 n 个数据点的值全部代入经验公式，得到几个方程。

1. 将此 n 个方程分成 m 组，每组中所含方程个数尽量相等。

2. 将每组方程各自相加，共得到 m 个方程。(4)解 m 个联立方程，得到 m 个常数的值。

例 5 用平均法确定上节中例 4 经验公式中的常数。解：

将上节中例 4 所有数据都代入经验公式 y=A+Bx+Cx2+Dx3 中，得到十个方程：

1. 将①、②、③三个方程分作第一组，④、⑤、⑥三个方程分作第二组，⑦、⑧两个方程分作第三组，⑨、⑩两个方程分作第四组。

2. 将四个组的方程各自相加，共得到四个方程：

11.7 = 3A + 3B + 3.5C + 4.51D

33.3 = 3A + 7.5B + 19.3C + 50.6D

47 = 2A + 7.5B + 28.25C + 107D

79.4 = 2A + 9.5B + 45.3C + 216D

1. 解上面的方程组，可得：

A=2.0, B=1.0, C=0.50, D=0.20。

结果与例 4 恰好相同。实践证明，用平均法时将实验数据按顺序代入，依次将方程分为 m 组，所得的结果最好。

线性回归

前面几种确定经验公式中常数的方法，都带有一定的主观随意性， 也就是说同一组实验数据，由不同的人来处理，很可能得出不同的结果。那么能否用严格的数学的方法来确定这些常数呢？线性回归可以解决这个问题。

假定变量 x 和 y 的函数关系为

y=f (x,a0,a1,⋯⋯,am).

式中 a0 、a1 、⋯⋯、am 是 m 个常数。在实验中测得一组数据(xi,yi)(i=1，2，⋯⋯，n)，现在的问题是怎样根据这组数据确定这 m 个常数(m<n)。为了理论上计算的需要，假定(xi,yi)中只有 yi 是有误差的。在实际处理实际实验数据时，可以把这两个变量中相对来说误差较小的变量作为 x。

理想图线的要求是：从各数据点到图线的竖直距离的平方和为最小

（如图）。也就是说，需要求出经验公式中的各个常数等于什么值时，

各据点到经验公式的图线的竖直距离的平方之和(d ² + d ² + + d² )

1 2 n

最小。

1. 一次函数

设有 n 个数据点可以用经验公式 y=a0+a1x 来表达。令（xi,yi）代表某一个数据点，y’i 代表将 xi 代入经验公式之后计算出来的值，即

y’i=a0+a1xi。

测量值与计算值的偏差为

di=yi−y’i=yi−(a0+a1xi)

=yi−a0+a1xi。

令

∑d ² = Q

则 Q=(y1−a0−a1x1)2+(y2−a0−a1x2)2+⋯⋯+(yn−a0−a1xn)2。

在这个方程中，x1、x2、⋯⋯xn 以及 y1、y2⋯⋯、yn 都是已知的测量值，只有 a0、a1 两个是变量。为了求出当 a0 和 a1 等于什么时 Q 有极小值，必须求 Q 对 a0、a1 的偏导数。

∂Q = −2(y − a

− a x

) − 2(y − a

− a x )

∂a 0

1 0 1 1 2 0 1 2

− − 2( yn − a 0 − a1 xn)

= −2(∑y i − na 0 − a1·∑xi );

∂Q = −2x (y − a

− a x

) − 2x (y

− a − a x )

∂a1

1 1 0 1 1 2 2 0 1 2

− − 2xn ( yn − a0 − a1 xn )

−2(∑xi ·yi

令

• a 0

∑xi

• a1

∑x ² )

 ∂Q = 0

 ∂a 0

 ∂Q

  = 0，

 ∂a1

即

∑ yi − na 0 − a1 ∑xi = 0



x ·y

• a x

• a x² = 0 。

∑ i i

解此联立方程，可得

1. ∑ i

2. ∑ i

∑(x ·y )·∑x −∑y ·∑x²

a 0 =

i i i i i ，

(∑x ) 2 − n·∑x ²

a = ∑xi ·∑yi − n·∑(xi ·y i ) 。

1 (∑x

)2 − n·∑ 2

二次函数及其他形式的函数

设有 n 个数据点可以用经验公式 y=a0+a1x+a2x2 来表达。

令

Q = ∑d² = (y − a − a x − a x ² )² +

( y − a − a x − a x² ) +

2 0 1 2 2 2

• (y

• a − a x − a x² )² 。

n 0 1 n 2 n

∂Q = −2(y − a

• a x

− a x² ) − 2(y − a

• a x

∂a 0

1 0 1 1 2 1

2 0 1 2

− a x² ) − − 2( y − a − a x − a x ² );

2 2 n 0 1 n 2 n

∂Q = −2x

(y − a − a x − a x² ) − 2x (y

• a − a x −

∂a1

1 0 1 1 2 1

2 2 0 1 2

a x² ) − − 2x (y − a − a x − a x² )

1. 2 n n 0 1 n 2 n

= −2[∑(xi ·y i ) − a 0 ·∑x i − ai ·∑x − a

2

• ∑x ³];

∂Q = −2x² (y − a

• a x

− a x² ) − 2x ² (y

• a − a x

∂a 2

1 1 0 1 1 2 1

2 2 0 1 1

− a x² ) − − 2x² (y − a − a x − a x² )

2 2 n n 0 1 n 2 n

= −2[∑( x²·y ) − a

令

• ∑x² − a

• ∑x ³ − a

  • ∑x⁴ ]。

∂Q

∂a 0

∂Q

∂a1

∂Q

∂a 2

即

= 0

= 0

= 0．

na 0 + a1 ·∑x i



• a 2

• ∑x² = ∑y

a 0 ·∑x

_i + a i ·∑x² + a

·∑x³ = ∑( x ·y )

a 0 ·∑

x² + a ·∑

x ³ + a ·∑

⁴ (x ²·y )。

解这个有关 a0、a1、a2 的线性方程组，即可求出 a0、a1、a2。

上面介绍了用线性回归来确定一次、二次幂级数中的常数的方法， 更高次幂级数也可以用类似的方法来解决。

其他许多形式的函数可以用“化直”的方法先化成一次函数，然后再用线性回归来做。例如函数 y=a·bx，可以先对等式两边取对数，得

lny=lna+x·lnb, 用线性回归确定 a0 和 a1，可得

lna=a0,即 a=ea0； lnb=a1,即 b=ea1。

一次函数的相关系数

一组实验数据通过线性回归求出一条理想线后，这组数据点和这条直线吻合得好不好呢？统计理论中给出一个叫做相关系数的量。这主要表征 x、y 两个变量相关的程度。从图线上来看，如果 x、y 的相关程度高，那么数据点都比较靠近拟合出来的图线；如果相关程度比较低，那么数据点比较分散。

为了将相关系数 r 和前面已经求出的 a0、a1 表示得简洁一点，令

sxx = ∑x² −

syy = ∑y² −

(∑x i )

n ，

(∑y i )

，

n

s = (x ·y ) − ∑xi ·∑yi

xy ∑ i i n

那么 a0 和 a1 就可以表示为

a1

= sxy ，

s

相关系 r 可表示为

xx

a = ∑yi

0 n

• a1

∑xi 。

n

r = sxy 。

当 x 与 y 完全不相关时，|r|=0；当 x 与 y 正相关，即理想直线的斜率为正时，r>0；当 x 与 y 负相关，即理想直线的斜率为负时，r<0；当所有数据点都在理想直线上时，|r|=1。所以，r 的数值只能在（−1）与

（+1）之间。下图说明了数据点分布情况不同时的相关系数。

对一个实际问题，只有当相关系数 r 的绝对值大到一定程度时，才可以用直线来近似地表达 x 与 y 之间的关系，即可以认为 x 与 y 成线性

关系。因此，要有一个标准。相关系数在这个标准之上，就可以认为 x 与 y 线性关系显著。例如在前面验证牛顿第二定律时，在质量不变的情况下，改变作用力 F，可以测得一系列不同的加速度 a。只要 a 与 F 的相关系数达到线性关系显著的标准，就可以认为 a 与 F 成正比。

线性关系显著的标准跟数据点的个数有关，下面给出的两个变量达到线性关系显著标准的相关系数的最小值。（此值还与显著性水平有关， 这里列出显著性水平 a=0.01 时的相关系数的最小值。）下表中 n 为数据个数，r 为相关系数的最小值。

1. 一次函数中常数的误差和有效数字

由于用线性回归确定经验公式中常数的方法是建立在严格的统计理论的基础上的，因此可以用来计算经验公式的系数 a0 和 a1 的误差。这里只给出计算结果。

 1 

 2 1

a1 的相对误差Ea1 =

 r  ，

n − 2

a1 的绝对误差∆a0 = Ea 1 ·a1，

∑x 2

a 0 的绝对误差∆a 0 = n ·∆a1，

a 0 的相对误差Ea 0 = ∆a 0 / a0 。

用线性回归得出的 a0 和 a1，可以根据它们的误差△a0 和△a1 来确定它们的有效位数。a0、a1 的最低位应该分别和△a0、△a1 的最高位相对应。例如某次计算结果以分别取成 a0=14.8，a1=0.673。

例 6 在测定电池的内阻和电动势的实验中，得到如下一组数据

解：

(1)求 a0 和 a1：

sxx = ∑x² −

syy = ∑y² −

= 0.2062,

= 0.3064,

s = (x ·y ) − ∑xi ·∑yi

= 3.3565 − 3.25 × 11.1 = −0.2510。

xy ∑ i i n

10.0

a = sxy sxx

= −0.2510 = −1.2173, 0.2062

a = ∑yi

• a · ∑xi

= 11.1 + 1.2173 × 3.25 = 1.5056 。

0 n 1

n 10.1

10.0

求相关系数 r 及 a0、a1 的误差

r = sxy =

= 0.9985,

Ea =

1

= 0.9985²

− 1

= 0.02,

1

∆a1 =

∆a0 =

Ea 1 × a1

10 − 2

= 0.02 × (−1.2173) = 0.03,

× ∆a1 = × 0.03 = 0.01。

1. 根据计算，可有以下结论

①U 和 I 的相关系数为 0.9985>0.765，因此是线性相关，说明实验数据用一次函来表达是合适的。

②因为△a0=0.01，△a1=0.03，所以 a0=1.51±0.01，a1=-1.22± 0.03。

③根据公式 Uε−I ·r,可知电动势ε=a0=1.51±0.01 伏，内阻

r=−a1=1.22±0.03 欧。

以上介绍了四种确定经验公式中的常数的方法，其中以线性回归为最好。虽然线性回归的计算过程看起来比较复杂，但是在计算器使用日益普及的今天，让计自器来完成这样的工作是很方便的，

以 CASIO SUPER-FX 系列计算器（fx-100D,fx-115D,fx-570AD,fx- 570CD,fx-991D）为例，说明线性回归的做法：

(1)按 ，使计算器进入线性回归工作状态，显示屏上方显

示 LR 字样（LLNEAR）。(2)按

键后，可开始输入数据。输入 x1，按 键，

再输入 y1，最后按法输完所有数据。

(3)按

按按

键，这样便完成了输入一组数据。用同样的方

， 屏幕显示截距 b；

， 屏幕显示斜率 k；

，屏幕显示相北系数 r。

四 实验数据的内插和外推

（一）内插法

通常一组实验数据中的各个数据点之间总是有相当大的间距的，而在实际应用中常需要知道实验中未测量出的中间数据。内插的方法就是解决怎样由一些已知数据求出它们中间的数据。本书介绍两种常用的内插法：图解法和方程法。

图解法

图解法的步骤：

1. 在一组数据中选择一些比较靠近内插点的数据点画在坐标纸上，并拟合出最佳曲线。

2. 在曲线上读出内插点的函数值。

例 1 根据上表的实验数据，确定当 x=3.40 时的 y 值。

解：选择(2.00,4.62)、(3.00，8.92)、(4.00，16.7)、(5.00，29.4)

四个点作图。从图上可以看出，当 x=3.40 时，y=11.5。

1. 方程法

方程法是先找出一个适合于部分数据点的公式 y=f(x)，然后将内插点的 x 值代入这个公式，求出内插值 y。方程法步骤：

1. 确定方程形式。在一般情况下，方程都可以选成幂级数形式y=a0+a1x+a2x2+⋯⋯，

在内插范围不太大的情况下，上式一般只要取三项即可。

1. 确定公式中的常数

   a0、a1、a2。在内插点附近找三个数据点，将它们的值代入上式，即可确定 a0、a1、a2。

2. 将内插点的 x 值代入方程，求出内插值 y。例 2 用方程法求上例的内插值。

(1)选取方程的形式为

y=a0+a1x+a2x2。

(2)取(2.00,4.62)、(3.00,8.92)、(4.00,16.7)三点的数据代入方

程

4.62 = a ₀ + 2a₁ + 4a₂

8.92 = a + 3a + 9a

 0 1 2

16.7 = a + 4a + 16a

 0 1 2

解得 a0=6.54,a1=-4.40, a2=1.74,

因此方程是 y=6.54−4.40x+1.74x2。(3)将 x=3.40 代入方程，得

y=6.54-4.40×3.40+1.74×3.402=11.7。

（二）外推法

在有限的实验条件下，只能在一定的范围内取得一系列实验数据， 而有时需要研究的实验数据在这个范围之外。要获得这样的数据，可用外推法。所谓外推，就是根据已有的实验数据，去设法获得一些原来实验范围之外的数据，这样可以拓宽实验结果的意义。本书介绍两种常用的外推法：图线法和公式法。

1. 图线法

先根据实验中获得的数据作出图线，然后根据图线的发展趋势，将其外延到需要的区域，这就是图线外推法。由于直线的发展趋势最明确， 因此一般尽量用直线外推。如果原来的物理关系不是线性的，则可以先进行“化直”。

例 1 落球法测定液体的粘滞系数。

根据斯托克斯公式，在无限深广的液体中，如果小球的半径 r 和小球的速度 v 都比较小，那么液体对小球的粘滞阻力

f=6π·η·v·r。

式中η叫做液体的粘滞系数，它表征液体粘滞性的强弱。小球在液体中下落时，它在竖直方向上受到三个力：小球的重力 mg（m 是小球的质量）、液体对小球的浮力ρ液 gV(V 是小球的体积、ρ 液是液体的密度） 和粘滞阻力（其方向与小球运动方向相反）。当小球匀速下落时，上述三个力平衡，即

mg=ρ液·gV+6π·η·v·r。

可得

η = （m − Vρ液）·g

6π·v·r

只要在实验中测量出 m、V、ρ液、v、r 等量，就可以算出液体的粘滞系教η。

斯托克斯公式只适用于在无限深广的液体中运动的球，但实验却不

可能在这样一种理想的环境中进行。一般是用一只直径有限的量筒装满体，让小球在量筒中降落，因此实验结果存在一定有误差。

实验中分别用直径 d 不同的几种小球在同一个量筒中做实验。从测量结果可以看出，对不同直径的小球，由上式求出的η是不一样的。这就是因为容器壁对不同直径的小球产生的影响是不一样的。（如果是在无限深广的理想状态的液体中做实验，不论小球直径如何，测量出来的η值都是一样的。）小球的直径越小，器壁对它的影响也就越小。当小球的直径趋向零时，量筒中的液体相对小球来说，也就成了“无限深广” 的流体了。此时测量出来的η值才是准确的。尽管直径趋向零的小球是无法找到的，但外推的方法却可以帮助我们“实现”这种理想的状况。

理论推导可以证明，在不考虑量筒的深度对落球的影响时，

η = η

（1 + 2.4 d ）

0 D

其中 d 是落球的直径，D 是量筒的直径，η0 是液体的真实粘滞系数，η 是用落球法测量得到的粘滞系数。从上式可看出η和 d 成线性关系，因此可以用η-d 图线进行直线外推。当 d→0 时，可得到液体真实的粘滞系数η0。

下表是在实验中换用直径不同的小球测得的粘滞系数

作η-d 图，用图解的方法可以求出图线的截距是 0.652 帕·秒。此值就是当 d=0 时的η值。

1. 公式法

根据原有的实验数据，确定经验公式，然后应用经验公式，求出原来实验范围之外的数据，这样的方法叫公式法。

例 2 用公式法求上例的结果。 解：用最小二乘法求出直线方程。

(∑x) ²

0.7070²

sxx = ∑x² − = 0.1329 − = 0.007938,

n

(∑y) ²

4.000

3.274 2

s = ∑y² − = 2.687 − = 0.007231,

yy n

∑x·∑y

4.000

0.7070² × 3.274

sxy = ∑(x·y) − = 0.58625 −

4.000

= 0.007573。

a = sxy sxx

= 0.007573 = 0.9540,

0.007938

a = ∑y − a · ∑x = 3.274 − 0.9540 × 0.7070 = 0.650(帕·秒)。

0 n 1

n 4.000

4.000

截距 a0 的值就是当 d=0 时的η值。

相关系数r =

3xy =

= 0.9996,

r 大于线性关系显著的标准是 0.990，说明用直线来拟合是合适的。

将实验数据进行外推时，要注意一个重要的问题。读者对函数的整

个外推区间内的情况要心中有数。要知道两个变量在外推区间中确实成线性关系（或者其他关系）时，才能用线性外推（或者曲线外推）。下面用一个例子来说明这个问题。

例 3 为了测定小球滚到斜板上 O 点时的瞬时速度，在斜板上设置了六个光电门。让小球多次从斜板上滚下，毫秒计是出小球从 O 点滚到A、B、C、D、E 各点的时间 tAtBtCtDtE。

本实验用线性外推法处理实验数据，有两种方法。

用v ~ ∆s相关，求出∆s → 0时的速度就是O点的瞬时速度v 0 (s)； (2)用v ~ ∆t相关，求出∆t → 0时的速度就是O点的瞬时速度v 0 (t)。实验中测得的数据如下：

1. 用线性回归作v ~ ∆s相关，当∆s → 0时，

v0(s)=0.742 米/秒， 相关系数 r(s)=0.9993;

1. 用线性回归作v ~ ∆t相关，当∆t → 0时，

v0(t)=0.500 米/秒， 相关系数 r(t)=0.9999。

用上述两种处理方法得到的瞬时速度值 v0(s)=0.742 米/ 秒和

v0(t)=0.500 米/秒。两个数值差得较大，已超过实验的误差范围。这是因为

由运动学公式

s = v0

等式两边都除△t，有

∆ + 1 a·(∆t) ² , 2

s = v

∆t ⁰

+ 1 a·∆t, 2

则

v与∆t成线性关系

v = v 0

v − v0

+ 1 a·∆t，

2

+ 1 a·∆t,

2

等式两边乘v, 有

v(v − v

) = 1 a·∆s 。

0 2

v与∆s成非线性关系。由此可见，以v ~ ∆s作线性外推是不恰当的。

它们的相关系数 r(t)和 r(s)却相差不多，而且都超过线性关系显著的标准(r>0.959)。这说明单以几个数据点来看它们的线性程度是不行的。因为在测量范围以外函数的图象有可能发生弯曲。所以必须在采用外推方法之前，先从理论上弄清楚函数的形式。

常用物理量的测量 3 一 长度的测量

（一）长度和它的单位

测量的实质是比较。单位、测量工具和测量方法是测量的基本要素。1．从“布手知尺”说起

人类在长度测量中，最早是用身体的某一部分作为标准的。传说夏禹治水时，用自己的身高作为一丈，“男子汉，大丈夫”的说法据说就由此而来。

古代中国，用手作长度的标准，“布手知尺”即是例证。古埃及和中国一样也是用手为尺的，古埃及人将人的肘部到中指尖的长度定为一“腕尺”。埃及的胡夫金字塔，底为正方形。其底边长曾用古埃及王胡夫的腕尺测量，恰为 500 腕尺。

英国人则是手脚并用的，英文 foot 一词，脚与 同字，这是用脚为尺的佐证。而在公元九世纪时英王亨利一世将手臂平伸，从他的鼻尖到指尖距离规定为一“码”，这则是以手为尺的明证。

不管是用手还是用脚为标准，都有极大的主观随意性。我国是较早使用测量工具测量的国家之一。

远在商代，就有了制作较精细的象牙尺。现存两支，一支藏在中国历史博物馆，长为现在的 15.78cm，一支藏在上海博物馆，长为现在的15.80cm。尺上都刻 10 寸，每寸内刻有 10 分。从这两支尺的长约为 16 厘米看，这是人手的一般长度，这一事实可以看出，它所使用的标准仍未脱离人体主观标准的范畴。春秋战国时期，天下纷争，度量衡也不统一，直到秦始皇兼并六国统一天下，才统一了度量衡。秦制规定长度单位为引、丈、尺、寸、分，均为十进位。这种长度单位的 1 尺约为现在

的 23.2 厘米，沿用了两千年。

在 18 世纪法国大革命以前，世界各国的长度标准极为混乱，比如我国是市尺，日本用日尺，英国用英尺，俄国用俄尺。其长度不一致，进位制也不统一，有十进位、十二进位，还有五进位的，各行其是。这在国际经济、技术交往中，极为不便，随着科学技术的发展，交通运输工具的进步，国际交往变得日益频繁，亟城破国际间长度测量标准上的诸候割据的局面。

在 18 世纪法国大革命以后，长度测量的客观标准是“米”。在这以后的两百年中，出现了各种各样的测量长度的仪器和各种各样的测量方法，测量范围越来越广，精度也越来越高。目前，最先进的是激光测长， 精度可达 10-9 米数量级。

2．“米”的三次定义

现行的计量单位制是米制。米制是 18 世纪末由法国人创立的，它以经过巴黎的地球子午线的四千万分之一作为长度单位，定名为“米”， 并规定为十进位制。这个标准在当时是科学的。法国政府还在 1872 年和

1875 年召开了“国际米制公约”，目前已有近 50 个国家参加，我国是

1977 年 5 月 20 日参加该公约的。

1889 年，在第一次国际计量大会上，决定正式采用“米”为长度单位。1927 年第七届国际计量大会又严格确定了米的定义：“长度单位是米。它规定为国际计量局保存的铂铱尺上所刻的两条中间刻线的轴线在0℃时的距离”。这可以说是真正具有国际意义的长度单位的第一个定义。

现存巴黎国际计量局的铂铱尺叫做国际米原器，它是用含 10%铱的铂铱合金制成，横截面是“X”形，全长 1.02 米，在距两端各 1 厘米处刻有一条极细的横线，在 0℃时两横线中间的距离是 1 米。由于横线太细，寻找起来极为不便，于是在它们的外侧又刻有两道粗纹以便于寻找。各国计量局里保存的是它的复制品，复制品的复制品则存在各国的地方计量局里，并定期核定，这样一级一级地传递下去，这个标准就遍布了世界各地，全世界就有了一个统一的长度标准。

国际米原器作为米的主标准延用了七十一年之久，它的相对精度达到千万分之一，即一米的测量精度为 0.1μm 左右。这个精度到了本世纪中叶已严重影响了自然科学的发展，不能满足精密机械制造的需要，后来又发现铂铱米尺本身的长度比相应的子午线的四千万分之一长了0.23mm，因此摒弃这一实物尺寸的长度基准势在必行。用什么做新的标准呢？科学家们注意到可见光波的波长这一自然基准。

1960 年，在第十一届国际计量大会上，决定废除 1889 年生效的、

1927 年确定的“米”的定义，改为“米等于氪—86 原子的 2P10 和 5d5 能级之间跃迁所对应的辐射在真空中的光波的 1650763.73 个波长的长度”，这是米的第二次定义。

这一定义将一米的精度提高到了十亿分之四(4×10-9m)，它意味着在长为 5 厘米的固体物质中不差一个原子间的距离或者一千公里的长度

测量中误差不超过 4 毫米。这次定义的意义不仅在于将精度提高了两个数量级，而且还在于用自然基准代替了实物基准。

米的第三次定义，是在 1983 年第十七届国际计量大会上做出的，“米

是光在真空中在

1

29979258

秒的时间间隔内运行的路程的长度”。这个

米的新标准中仍保持了原来的 9 位有效数字，但准确度却提高了十倍以上。

米定义的每一次变革，都是社会生产力和科学技术发展的必然结果，都比原来的更优越，精度更高。但米定义的变化并不影响米的实际长度，这就保证了它的延续性。

3．长度阶梯（10-18m—1026m） 宇宙万物，大小千差万别。

往小处看，人体内的红血球细胞直径只有人身长的十万分之一，即10-5m 量级；组成细胞的原子、分子半径为 10-10m 量级；原子核半径为

10-15m 量级。这三个量级很有规律，都是相差十万倍。微观世界中最小的大概要算电子，尽管电子的真实大小尚未测出，但人们确信其大小不会超过 10-18m 量级。

长度阶梯图

往大处看，地球的半径在 106m 量级；日地距离称为一天文单位，为1011m 量级；光在一年内走过的路程叫光年，在 1016m 量级；银河系的尺度是 105 光年，在 1021m 量级，即光从银河系的一端传播到另一端要十万年。现代天文学估计，宇宙的大小，在 1026m 量级，以十倍为一个级差， 从最小的电子到宇宙相差 1044 量级，相差亿亿亿亿亿万倍，上页的图是把它从小到大排成一个以 10 倍为一个级差的阶梯。

（二）测量长度的一般方法

用米尺测量长度

以米制标示分度的尺子叫米尺。米尺的分度值为 1 毫米，量程不等。常用的有木直尺、钢板尺和钢卷尺。米尺也常用作仪器的附属标尺。

在用米尺测量时，可以精确到毫米量级，读数到十分之一毫米。如： L1=15.37 厘米，L2=7.85 厘米，最后的一位 7 和 5 是估读的。

1. 用米尺测长度的注意事项

①将米尺侧立，尽量使米尺的刻度线紧贴被测物体（满足阿贝原则），阿贝原则可参阅（《长度计量》中国计量出版社 1986 年 6 第 1

版第 157 页）。这样做还可以避免视差，如图。

②如尺的端面易磨损，应以尺上的某一刻度线为测量起点，以减小误差。

③如要求较高精度，需进行多次测量时，应考虑到米尺刻度的不均匀性，可用米尺的不同部位进行测量后，再取平均值。

温度误差的消除方法

由温度引起的测量误差叫温度误差。这个误差对米尺测长影响较大，它的产生主要有两个原因：

①被测物体与米尺的温度不同。

②被测物体与米尺的线膨胀系数不同。

温度误差的计算公式△L=L[a2(t2−20℃) −a1(t1−20℃)]。式中：L 为被测长度；a1、t1 分别为米尺的线膨胀系数和温度；a2、t2 分别为被测物体的线膨胀系数和温度。式中出现 20℃，是因为我国规定以 20℃为标准温度。

从温度误差公式可见，产生误差有两个原因，因此减小误差也可以从两个方面努力。首先是选用跟被测物线胀系数尽可能相一致的米尺， 若 a1=a2=a 则，△L=L·a·(t2−t1)。如果再将米尺和被测物置于同一温度环境下（t1=t2），则△L=0。这就是一般高精度测量都要求在恒温条件下进行的原因。

用卡钳测量内、外径

卡钳是测量长度的辅助工具，它的测量精度取决于用作比较的直尺，所以也在 10-3m 量级。

内、外径的测量方法

用内卡钳测内径如图(a)，用外卡钳测外径如图(b)。

测量时先将两卡脚张开。用内卡钳测内径，开口要比被测部分略小些；用外卡钳测外径，开口要比被测部分略大些。轻轻磕击其中一个卡脚，使开口微微张大（或缩小），直至两卡脚同时贴紧被测部位为止。再用直尺量出两卡脚的距离，即得被测部分的分度。

1. 内、外径的判断

用卡钳量内、外径时，由于操作错误，量得的内、外径比实际值偏小一点，这是因为测量者错误地把弦长当作直径的缘故。

在用内卡钳量内径时，可绕一个卡脚轻轻转动另一卡脚，若出现空

隙或松动，说明量的不是直径，要略略张开卡脚，重新测量。

在用外卡钳量外径时，可沿图(b)中上下方向、前后方向移动卡钳， 若感觉阻力较大，说明量的也是弦长而不是直径，应适当放大卡脚开口， 直至只有直径处卡紧，其余地方都感觉松动为止。

用游标卡尺测量长度

在一段米尺上附加一段能够沿米尺基准轴线方向滑动的小尺，就可以准确地读出 1 毫米的若干分之一（例如十分之一，二十分之一或五十分之一）。

这段滑动的小尺就是游标。带游标的尺很多，最常用的是游标卡尺。游标也可装在仪器上。除了长度游标外还有角游标。

1. 游标原理和用游标尺测量长度的方法

使测量精确到 1/10 分格的游标称为 10 分游标，如图所示。游标 V 是可沿主尺 A 滑动的一段小尺（称为游标尺），其上只有 10 个分格，是将主尺的 9 个分格 10 等分而成，因此游标上的一个分格的间隔等于主尺一分格的 9/10。

右图是使用这个游标进行测量的示意图。测量时将被测物体 ab 的 a 端和主尺的零线对齐，若另一端 b 在主尺的第 7 第 8 分格之间，显然， 物体的长度比主尺的 7 格大△L。现将游标的零线与被测物的末端 b 相接，查出游标的第 6 条线与主尺的一条线对齐，则

∆L = 6 − 6 × 9

10

= 6 × 1

10

= 0.6主尺格，即物体长度为7.6主尺格。

从图上可以看出，游标是利用主尺和游标上每一分隔之差，达到提高测量精度的目的，此种读数法称为差示法，在测量中有普遍意义。

一般地说，游标将主尺的(n-1)个分格分成为 n 等分，称为 n 分游标。

如主尺的一分格宽为x，则游标的一分格宽为 n − 1 x，两者的差∆x = x

n n

叫游标精度。测量时，如果是游标的第 K 条线与主尺上某一刻度对齐，

则所对应的△L值为∆l = Kx − K· n − 1 x = K x 即∆l = K∆x, 所以使用游

n n

标时，先要明确其游标精度。

要提高精度，可以制造等分 n 较大的游标。但 n 过大时，主尺和游标一分格间的差值又会过小，在实测中，反而分不清到度是游标上哪条

刻线与主尺刻线对齐，读起数来非常困难。所以一般实用的游标 n 为 10， 20，50，其游标精度分别为 0.1mm，0.05mm 和 0.02mm。

1. 读数方法

使用游标测量是时，读数方法如下：

①从游标零线的位置读出主尺格数，记为 l 主；

②根据游标与主尺对齐的刻线读出不足一分格的小数，记为△l,(△ l=K·△x)，两者之和为测量值 l 测，

l 测=l 主+△l。

③用游标读数，可能出现游标的任一条线都不与主尺的某一刻度线相重合的情况。这时，我们可以认定一对最相近的线作为二者重合，这样最多只有半个分度的估计误差（对十分游标尺△x'=0.05mm）。根据仪器读数的有效数字规定，读数最后一位应读数误差所在的一位，因此， 若实例 l 测=7.6mm，用误差表示时也可写成

l 测=7.60±0.05mm=0.760±0.005cm。

游标尺的正确使用及注意事项

游标卡尺如图所示，用它可以测量物体的长度和内、外直径。

测长度或外径时，将物体卡在外卡脚之间，测内径时，使用内卡脚。不测量时，应将卡脚闭合，游标的零线这时与主尺零线是对齐的。

①在测量前，先将游标卡尺的卡脚靠拢，检查主尺零刻线与游标尺的零刻线是否重合。可能出现以下三种情况：

游标尺的零刻线与主尺的零刻线重合，无零误差。

游标尺的零刻线位于主尺的零刻线左侧，零误差为正，应加在测出数值中。

游标尺的零刻线位于主尺的零刻线右侧，零误差为负，应在测出

数值中减去。

②测量时，若用外卡脚，应使外卡脚间距略大于被测尺寸，若用内卡脚，应使内卡脚间距略小于被测尺寸，然后缓缓使卡脚与被测面贴合。

③读数时应使视线与尺垂直，避免产生视差。

④不能用卡尺进行动态测量，防止撞击。4.用螺旋测微器测量长度

1. 螺旋测微器原理和使用方法

将主尺刻度刻在一个圆柱体的母线上，而将游标尺刻在一个圆筒一端的圆周上。柱和筒（称微分筒）用螺旋吻合。如螺距为 x，每转一周， 圆筒将进（或退）一个螺距 x，如转 1/n 周，则移动 x/n。因此借助螺旋的角位移可对直线位移进行精密测量。常用的螺旋测微器量程为 25mm， 准确度为 0.01mm，即千分之一 cm，所以又称千分尺。

螺旋测微器如图所示，图中 A 为测杆，它的一部分加工成螺距为0.5mm 的螺纹，当它的固定套管 D 的螺套内转动时，会前进或后退。而 A 又是与 D 外面的活动套筒 C 连成一体，C 的周边等分为 50 个分格（C 即微分筒）。螺杆旋转的整数由固定套管 D 上间隔为 0.5mm 的刻线显示， 不足一圈的部分由活动套筒 C 的周边的刻线显示。

螺旋测微器的使用方法很简单，只要将被测物夹在测杆 A 和砧台 E 之间，拧动尾端的棘轮装置 B，使测杆移动，当测杆与被测物接触后压力达到某一数值时，棘轮将滑动而发生咔、咔的响声，活动套筒不再转动，测杆也停止前进，这时就可以读数了。

1. 读数方法

①从固定套筒 D 上的标尺（每格 0.500mm）（即螺距为 x=0.500mm） 上，用微分筒 C 的前沿作为读数准线，找出整格数 n1，得 l 主= n1x

=0.500n1(mm)；

②从固定套管上的横线所对活动套筒上的分格数 n2，读出不到一圈的小数，若活动套筒的线为 n 条等分线（比如 50 格），则得

∆l = n2

• x = n n 2

× 0.500 = 0.010n 50 ²

(mm)；

③两者相加即为被测物的长度

l测 主

+ ∆l = n x + n x = [0.500n

1 2 n

₁ + 0.010n2

]mm,

再算上 n2 的估读的一位，即可读到 0.001mm，读数为l 测=0500n1+0.010n2+0.001×估读值。

其中 n2 在估读时，若是 3/10 格，则应取估读值为 3。

④零点修正。在用螺旋测微器测长时，如遇上零点不准的情况，需要进行零点修正。

测量前要记下零点读数，做法和测量时一样轻轻地转动棘轮，让测杆 A 与砧台 E 接触，当听到一、二声咔、咔声即停，此时的读数即为零点读数。

若零点读数记为 l0，测量读数为 l 测，则被测物的实际长度 l 实为：

l 实=l 测−l0

l0 可正可负。如图(a)微分筒的零线未到固定套管上的横线，此时的读数为 0.008mm，相当于在测量前砧台和测杆间已夹入了长 0.008mm 的物体，所得 l 测比 l 实大了 0.008mm，这时 l0 为+0.008mm，应取正值。反之如图(b)，则 l0 取负值。

下面举一例说明读数方法：

在图中：n1=9（若错误地只数上排即为 8）， n2=18，估读值为 5。

所以 l 测=[0.500×n1+0.010×n2+0.001×估读数]mm

=[0.500×9+0.10×18+0.001×5]mm

=[4.500+0.180+0.005]mm

=4.685mm。

如果零点读数 l0=0.012mm，则

l 实l 测−l0=4.685mm−0.012mm=4.673mm (3)螺旋测微器的正确使用及注意事项

①零位调整

测量前，可先校对螺旋测微器的零位。校对时应使两测量面接触， 若零位不准可使用专用板手，插入固定套管小孔，板转固定套管，使其纵刻线与微分筒上零线对准。（也可不进行调整而在读数时进行零点修正）

②使用时不能直接手持活动套筒去卡被测物体，特别当测杆 A 和砧台 E 快要夹紧被测物时，避免被测物受到压力过大而发生明显形变。否则会加快螺纹的变形和磨损，降低仪器的准确度。

③螺旋测微器的测量轴的中心线要与被测物的被测长度方向相一致，不要歪斜。

④要注意防止读错整圈数。在固定套筒上表示整圈数的刻线有上下交错的两排，每排相邻的两条刻线之间相差两圈，上、下两排间的两条刻线之间是一圈。如上例中 n1 应为 9，常有人会错误地读成 8。

⑤调节测杆时要慢慢转动微分筒和棘轮装置，不要握住微分筒挥动或摇动尺架，以免精密的测微螺杆变形。

⑥一般不能进行动态测量。（在某些场合，待测物体运动得较慢， 测量者的测试技术不仅熟练而且动作迅速敏捷、从事快速测量有足够丰富的经验，那么用螺旋测微器作动态测量也是可以的。）

（三）测量长度的特殊方法

用单分子膜法测分子直径

分子、原子的直径在 10-9—10-10m 量级。体积 V 的单分子油膜，其面积若为 S，则分子直径 d=V/S。

用单分子油膜测量油分子直径

取一个扁平的长矩形容器，盛满水，在容器的一端横放一根金属丝， 使与水面接触。将一小滴油滴入该端，油就会布满这一端的整个水面。这时将金属丝向另一端缓慢地拉动，油层就会越来越薄，如图。在拉动过程中，由于光的干涉作用，我们会发现油膜的颜色按可见光谱的排列由红到紫地变化，出现紫色时，说明膜的厚度已近紫光波长，再使油层延伸下去颜色就会消失，但油面较水面为暗，仍能分辨，这时油膜的厚度已十分接近单个分子的厚度，再小心地拉动直至破裂，记下此时金属丝的位置，就可算出油膜的面积了。这种测量方法，肯定有误差，只要数量级符合就可认为测量正确了。

用单分子油酸膜测量油酸的直径

油酸，学名“十八烯—[9]—酸”，化学式为 CH3(CH2)7CH=CH(CH2)7 COOH，分子量 282 个原子质量单位，密度为 0.89 克/厘米 3，其分子直

径的理论值为 8.75×10-8 厘米。

一滴纯油酸可以在水面形成几个平方米和薄膜，不便测量。为此，

可先配制1 / 400的油酸酒精溶液, 然后用2毫注射器，安上4 1 号针头，

2

取该溶液 1 毫升。将针头向下,缓缓推出溶液，使它一滴一滴滴下，可得

约150滴，即1滴该溶液中的油酸体积V =

1 ×

150

1

400

厘米³。将一滴此溶

液加在长宽各约 20 厘米，深约 1 厘米的清水盘中央部分，让其自由扩展可得一圆形薄膜。然后，测得此圆形薄膜平均直径 D 约为 15.0 厘米，面

积S = 1 πD ²，忽略油酸分子音的音隙，因此油酸薄膜的厚度d即油酸分

4

子的直径为：

d = V =

4V =

4 × 1 ×

150

1

400 厘米

S πD ² 3.14 × 15.0²

= 9.43 × 10⁻⁸ 厘米

与理论值比较，有一定误差，但都是 10-10 米数量级。2．用激光测月地距离

用激光测月地的距离，这个原理十分简单，记下从向月球发射激光

到返回地面的时间t，则月地距离l =

1 ct

2

（c为光速）。

用光视差法测量月地距离准确度为±3.2 公里；用脉冲雷达测量准确度可达±1.1 公里；用 Q 开关红宝石激光脉冲测得的月地距离为3.84401×108 米，准确度高达±15 厘米。

这是因为激光脉冲的瞬时功率可高达 200 兆瓦，是其他器件难以企求的，激光方向性好，一束激光从地面射到月球上散开来不过一个足球场的面积，在阿波罗 11 号、14 号、15 号飞船登月后，先后在月球上不同的位置安置了成三角形的直角棱柱体的反射阵列，大大加强了回波讯号，月地距离的测量才达到如此高的精度。当然这个测量的难度是很大的，以 200 兆瓦功率计，每个激光脉冲有 1020 个光子，经过大气的吸引、反射的损失，最后能收集到的只有 25 个光子。可见要不是“大大”加强月面反射的话，要达到如此高的准确度是不可能的。可以这样说，精确测量月地距离比起阿波罗登月本身毫不逊色的。

3．用干涉法测量长度差

利用光的干涉测量长度差或长度的基本原理，是将待测的长度差或长度与一个空气膜的厚度联系起来，通过测定这个膜的等厚或等倾干涉，便可推知待测量的长度差或长度。

例如块规检测。如图所示。

在一标准平面 MN 上并排地放置标准块规 s 和待测块规 A，使它们与平面紧，并在它们上面放一块下表面 P 为标准平面的玻璃（平晶）。这样，平面 P 和 A、S 的上表面间就形成一楔形的空气膜。用单色光向下垂直照射，即可观察到气膜的等厚干涉条纹。若条纹间距为 a，由光

学知识可，a等于半个波长，即a λ ，若空气膜的楔角为α，则

2

tgα = λ / 2 = ∆h 。

a d

式中△h 表示 A、S 的长度差，d 为两块规间距离。由上式可得长度差

∆h = λ d

2 · a 。

∆h = 0.2731× 3.0μm = 0.82μm。

用这种方法可以测量小于微米级的长度差，即可精确到 10-7 米数量级。

至于哪个块规长些呢？只需轻压平板玻璃靠近 A 的一端，若条纹间距变小，说明α变大了，就是 S 比 A 长；反之，若条纹间距变大，则是A 比 S 长。

绝对长度的测量在技术上复杂一些，但同是利用光的干涉原理，所以其精确不会超过可见光波长的数量级。

二 质量的测量

（一）质量和它的单位1．从“手捧为升”到电子秤

人们对质量这一概念的认识比长度和时间更晚，直到 18 世纪，才由牛顿最后确立了质量的概念。

古代，人们只能凭借感觉定量物体的多少，如以“手捧为升”量粮食。我国直到春秋战国时期，测量粮食的多少仍是用升、斗、合等来测量其容量，再逐步过渡到用石、钧、斤、两等测量其质量。

但是，测量质量的工具——天平的出现则可远溯到 7000 多年前的古埃及，那时古埃及就有了等臂天平，它配有石灰石琢成的砝码。我国的等臂天平出现在 2000 多年前的秦朝。1964 年 6 月在西安市郊秦始皇阿

房宫遗址发掘出了一只秦代的生铁秤，当时叫秦石(d4n)权，重 301.35

牛，合为市斤 120.05 斤，正好跟秦代粮食每石规定重 120 市斤相等*，

由杠杆平衡原理可以推知，秦代的秤也是等臂天平。

经过数千年的发展演变，近代的天平要复杂得多，有底座、气泡水准仪、游码等，精度也大为提高，但其测量原理仍是沿用杠杆平衡原理， 现代最精密的质量测量工具是电子天平，它的外形和工作原理与普通天平丝毫没有相似之处。其感量可达 5×10-11kg，相当于一个红血球的质量，但称量很小，只有 2×10-4kg。

2.千克的两次定义

国际单位制中表示质量的基本单位是千克，符号是 kg，千克的现定义如下：千克是质量单位，等于国际千克原器的质量。

最初的质量单位“千克”是在 1791 年于法国做出的：1 立方分米纯水在最大密度时（4℃时）的质量为 1“千克”，在这一定义下，质量与重量区别是不严格的。1799 年在法国根据这一定义制造了一个铂圆柱体砝码，作为当时的质量单位基准，保存在巴黎法国档案局，称为“档案千克”，它比定义值大 28mg。

因为 1791 年法国定义的“千克”牵涉到长度单位“米”，而当时用来定义“米”的地球子午线长度身有一定变化量，而它的准确计量也很困难。因此在 1878 年国际米制委员会制作了三个铂铱合金圆柱体砝码， KI、KII、KIII，并于 1880 年与“档案千克”比对，得出 KIII 与“档案千克”质量最接近，即以此为“国际千克原器”。在 1901 年第三届国际计量大会上澄清了质量与重量的概念后，明确地做出了现定义。因此现定的质量标准“国际千克原器”就是 1878 年制造的铂铱圆柱体砝码KIII。其值准确到 1×10-9 数量级。

3．质量阶梯（从 0—1050 千克）

把物体的质量从小到大排成一个阶梯，如下图，在它的起点上站着一种特殊形式的物质，这就是光子。光子是一种基本粒子，它的静止质量为零。还有许多其他基本粒子，它们的质量均在阶梯的最初几级上， 如中微子静止质量为 6×1035kg，电子质量为 9.1×10-31kg，质子质量为1.66×10-27kg。各种元素的原子核质量在 10-27—10-25kg 之间，而大分子的质量则可大于 10-20kg。

人的质量在质量阶梯的中层，为 100—102kg，现代最大的动物蓝鲸， 可达 105kg。

质量天体的上层为各类天体所占据，地球的质量为 5.98×1024kg， 太阳的质量为 2.0×1030kg，更上层的是星团，毕星团的质量约 1032kg， 比星团大的是星系，其质量为 2.0×1030kg，更往上是星系团，而在质量阶梯的最上面，是目前所知宇宙中物质总量，约 1050kg 以上。由于人类对宇宙的认识还极为有限，所以质量阶梯完全可

*秦代度量衡单位置值与现代米制单位比较为：1 尺=23.2 厘米，1 升=200 毫升，1 斤=256 克。

能还要升高。

质量梯图

（二）测量质量的一般方法

1. 用托盘天平称质量

天平有两个重要技术指标：称量表示最大测量值；感量为指针从平衡位置偏转到标尺 1 分度所需的最大质量。感量与灵敏度成反比，感量越小，灵敏度越高。

托盘天平灵敏度较低，有称量 1000.0g，感量 1g；称量 500.00g，感量 0.5g；称量 200.00g，感量 0.2g 等规格。托盘天平的结构如图。配用五等砝码，标称质量为 50mg-500g，允许误差为±5mg-±120mg。

1. 横梁水平的调节：在桌面上将天平放平稳，取下两侧防止横梁摆动的垫圈，摆正托盘（有字码“1”的托盘放左边，有字码“2”的放右边）。将游码左移至刻度尺上的零处，观察横梁停止摆动时，指针是否指在标尺的正中央。如果不是，可调节横梁两端的调节螺母，直至指针停于标尺中央、或指针左、右摆动的幅度相同为止。此时可认为天平横梁已调节水平。

2. 称量：将称量物轻放在左盘，往右盘加砝码，当增减到最小的砝码也不能使天平平衡时，移动游码，使指针到标尺刻度中央或左右摆幅相等。这时，砝码的总质量和游码读数之和即为物体的质量。

3. 操作时的注意事项：

①为防止天平生锈或腐蚀，应注意：不将潮湿物品或化学药品直接放在天平盘里；不要用手摸天平。

②取放砝码或移动砝码要有镊子，称量完毕后砝码要直接放回砝码盒中原来位置，把游码移回到标尺零刻度处。

③每架天平都有一定的称量范围，加在天平上的物体质量不得超过它的称量范围。

用物理天平称质量

物理天平灵敏度较高，有称量 1000.00g ，感量 100mg 和称量500.000g，感量 20mg 等规格，其结构如图。配用四等砝码，其标称质量为 10mg-500g，允许误差为±1mg-±25mg。

天平的调节（分两步进行）

①底座水平调节：对具有重锤线和小锤的天平，可调节底座螺钉，直到重垂线上挂的小锤的尖端跟底座上的小锤体的尖端正对，这就表示底座水平了。对具有水平仪的天平，可调节底座螺钉，直到水平仪的气泡在水平仪正中，这也表示底座水平了。

②零点调节：先检查吊架是否正挂在横梁的刀口上，把称盘吊篮挂到吊架的上钩上（天平不用时，吊篮应挂在吊架的下钩里）。把游码拨回到刻度尺左边零刻度线。向右转动止动旋钮，使天平横梁慢慢升起，中央刀口要保持在浅槽内。观察横梁是否平衡，如不平衡，则向左拨动止动旋钮，放下横梁，使中央刀口离开浅槽（以免磨损刀口），再调节平衡螺母，直到横梁平衡。

1. 称量方法与托盘天平称量方法同。

物理天平较托盘天平灵敏，摆动时间较长，可用平衡点测定法进行称量，当指针摆动幅度在刻度以内时即可认为天平已经平衡。其方法如下： 记下连续三次指针摆动在标尺上的读数 L1、L2、L3，对中央刻度是“0”

的天平，通常取左“一”右“ + ”，再按公式L = L1 + 2L2 + L3 计算天

4

平的零点（平衡位置），最后将 L 乘以天平的标称分度值（即感量）换算成质量。

例如：当读数时天平指针左摆极限位置是“-3”分度，则 L1=-3；指针右摆极限位置是“5”分度，L2=5；指针再摆至“-3”分度处，

L = -3，则L = − 3 + 2 × 5 − 3 = 1( 分度)，设天平感量为100mg(标称分度

3 4

值为 100mg/分度），换算成质量 m3=L×标称分度值=1 分度×100mg/分度

=0.1g，当 L 值为负值，m3 也为负值。

被称物体的质量 M 为砝码质量 m1，游标读数 m2，零点所示质量 m3 之和，即

M=m1+m2+m3。

对质量小于 1g 的物体，可直接用游码称量。(3)操作时的注意事项：

①与托盘天平同；

②与托盘天平同；

③与托盘天平同；

④在调节天平、增减砝码、使用完毕后都必须将横梁止动，使刀口与刀承分离。旋动止动旋钮要轻、缓。

⑤各天平之间不得互换零件和砝码。

注：

1. 指针上的感量砣是用来调节天平灵敏度的，出厂时已调好，一般不用调节。上（下）移动该砣可使天平横梁的重心上（下）移动，可提高（降低）天平的灵敏度。

天平横梁的重心在其中央刀口下方，以保证横梁处于稳定平衡。天平横梁不水平时，由天平横梁自身的重力产生一个回复力矩，由两边载物的质量差产生一个偏转力矩，当这两个力矩平衡时，天平指针不再停在中央刀口的正下方，而是偏转一个角度θ。若质量差记为Δm，则θ/ Δm 叫做天平的灵敏度。在称量时，由于盘内载物和加码，致使横梁重心下移，灵敏度要相应降低，要提高天平的灵敏度，可适当上移感量砣。

1. 载物台的用法：有的物理天平在支柱左边有一托盘，叫载物台。这是供搁置不被称量的实验器具（如烧杯）用的。借助载物台可测浮力， 方法是将载物台移到左吊盘上方，放上盛液体的烧杯，将被测物体用细线挂在左吊钩上，调整载物台位置，使被测物体悬浮在液体中，即可用天平进行测量。

用分析天平称质量

分析天平比物理天平灵敏度更高，以

1

1000

g的为例，其称量范围为

1mg-100.000g，感量 1mg。其称量误差：在称量 20-100g 时为+1mg；称量

1-10g 时为+0.6mg；5-500mg 时为±0.3mg；1-20mg 时为±0.2mg。其结构如右图。配用三等砝码，标称质量为 10mg-500g，允许误差为±0.2mg-

±10mg。

1. 天平的调节与物理天平同， (2)称量方法与物理天平同， (3)操作规则与物理天平同。

注：化学药品的称量方法：先称量容器的质量，平衡后，如要称取5mg 药品，则在右边砝码盘中增加 5mg 砝码，然后用牛角匙轻轻将药粉慢慢撒入容器，直至天平平衡，容器中的药粉量为 5mg。

1. 横梁不等臂性所引起的误差

如果横梁不等臂，设 L1＞L2（左臂长于右臂），左盘载物 M，右盘放砝码 M1，天平平衡时，

得M1

= ML1

L

ML1=M1M2。

①

2

用ΔL 表示两臂之差，即

L1=L2+ΔL

则 M = M L2 + ∆L = M

+ ∆L

1 

2 L2 

M − M = M ∆L ③

1 L

2

③式表明不等臂性的误差跟被测物 M 及两臂差ΔL 成正比，跟臂长 L2 成反比。

设分析天平的全称量为 200g ，臂长约 70mm ，两臂长之差Δ

L=0.001mm，

附 1 天平称量范围和砝码配用表

则将不等臂当做等臂时可能引起的最大误差为

δ = M ∆L = 200× 0.001g = 0.00286g = 2.86mg 。

L2

对 于 1

1000

70

g的分析天平其感量为1mg，

1

10000

g的分析天平其感量为

0.1mg，显然这一误差过大，不能忽略不计。须用下面的精密衡量法消除

误差。

天平的精密衡量法

为消除或减小天平不等臂性造成的系统误差，可采用精密衡量法。(1)复称法：

先左盘载物，右盘加码，称量值为 M1；然后对调，使右盘载物，左盘加码，称量值为 M2。设天平左臂为 L1，右臂为 L2。

第一次平衡时：ML1=M1L2， 第二次平衡时：ML2=M2L1，

两式相乘并消去同类项（L1L2），M2=M1M2，

则 M = 。

由于 L1、L2 相差极小，所以 M1、M2 相差也极小。设 M2=M1+ΔM，

则 M =

 ∆M 1/2

= M 1 +  。

₁ 

按二项式展开由于ΔM＜＜M1，可略去高次项，

得 M = M1 + M 2 。

2

1. 交换法（高斯法）：

先左盘载物(M)，右盘加码(M1)，设天平左、右臂长分别为 L1 和 L2，

则天平平衡时有：

ML1=M1L2

然后交换 M、M1 的位置，由于 L1≠L2，故在左盘需适当添加一砝码Δ M（ΔM 为微小的正、负量值），天平才能恢复平衡，此时：

ML2=（M1+ΔM）L1

两式相乘

M2 = 2 

∆M

M1 1+



，

M1 

 ∆M 1/ 2

M = M1 1 +



 。

M1 

考虑到ΔM＜＜M，展开上式并略去高次项后

得

M = M

1. 替代法（波尔达法）：

• ∆M。

1 2

左盘载物(M)，右盘加平衡物（如废砝码等），使天平平衡；然后将M 从左盘取出，并加上砝码 M1 替代之，使天平重新平衡。显然，M=M1。

此法可直接消除不等臂性的影响。

减码法（门捷列夫法）：

将总质量等于天平全称量的一组砝码放在右盘，平衡物置于左盘， 使天平平衡。然后将被称量物体(M)放在右盘内，同时从右盘取出一部分砝码（ΔM），使天平恢复平衡，则

M=ΔM。

（三）测量质量的特殊方法1.用振动法测物体质量

取一个已知倔强系数为 K 的弹簧，将待测物体(m)固定在弹簧的一端，在自由悬挂时使它振动，用秒表测定其振动周期 T，根据一定的数据处理方法，求得待测物体的质量 m。

2.用液压法测大质量

根据帕斯卡原理，可以制成液压秤，其原理如图。图中 mQ 和 mp 分别表示被称物体和标准砝码的质量，A1 和 A2 表示两个液压活塞的有效面积，平衡时有：

m = m A1 。

Q p A

2

若使 A1/A2 做得很大，就可称量大质量。3.用弹簧秤和天平测地球质量

根据万有引力定律，地球表面的物体 m 与地球间的万有引力

= G M地m。

地

粗略地测地球质量可以用弹簧秤称出物体的重力，并认为这个大小就是 F 引，再用天平称出物体的质量 m，代入上式，则地球质量

F γ ²

= 引 地 。^地 Gm

式中：G 为万有引力恒量，G=6.67×10-11N·m2/kg。r 地为地球半径，r 地=6.37×106m。

得目前公认的地球质量为 5.977×1024kg。

三 时间的测量

（一）时间和它的单位

1. 从表圭到原子钟(1)表圭和日晷

所有计时器中，在中国最古老的要算表和圭了。

表的最原始形态就是根据日转影移的道理在地上立一根杆子，白天用它来测太阳的影长，夜晚可用来测恒星的上中天。表配上圭（就是测日影的尺）可使时间的测量更准确。后来的表圭越造越大，如郭守敬在公职元 1276 年造于河南告成镇（古阳城）的周公测量景台表高 4 丈，天

安门前的华也是一例。

日晷测时，不像表圭那样用日影的长短，而是根据日影的方向。古代日晷上奇妙的图纹留下了许多至今未解开的谜。

滴漏（水钟）

滴漏是最早不依靠太阳的测时器。我国在商初（公元前 1500 年）有了滴漏，而在此以前几百年古代巴比伦和埃及则早就有了滴漏。

滴水记时有两种办法。一种是利用特殊形式的容器，记录水漏完的时间（“泄水型”），另一种是底部无开口的容器，记录它用多少时间把水装满（“受水型”）。其后各种水钟都是在这两种类型的基础上加以改进的。图中装置，是一种级联方式。

我国古代的铜壶滴漏，用五个级联的铜水壶做成。每级的漏水速度不同，每级水面的绝对高度有其确定的意义。最后一个壶内有一根竖直的箭，箭上刻几条刻痕。根据水面对齐的刻痕可读出比时辰还小的单位， 叫做“刻”。

火钟

外出旅行的人用水钟极为不便，于是便出现了火钟。国外爱用蜡烛， 我国多用盘香。在 17 世纪我国的盘香制造技术已相当高明，燃烧速度十分均匀，用它来计时比水钟还准，18 世纪的德国，火钟计时也颇为流行。

砂钟

古代砂钟主要在国外流行。用细管连接两只容器，上面的一只装上干燥的黄砂，砂会在一定的时间内全部漏入下面的容器，漏完再翻转来。黄砂每次漏完的时间大体相等。

摆钟

机械钟出现于 16 世纪的欧洲，一开始由滴漏发展而成，只是多了一个由齿槽带动齿轮而使指针转动的装置，它以水为动力。到伽利略发现了单摆的等时性后，海根利用重锤的势能转变为动能，用单摆加上一只擒纵轮制成了真正的机械钟。

近代机械钟

海根的机械钟是一种挂钟，笨重而不便携带。将重锤换成发条，以摆轮和游丝替换单摆，用卡马换下擒纵轮，近代小巧玲珑的机械式钟表诞生了。一般来说，这种钟表每天的误差在±30 秒以内。

电子钟和原子钟

石英晶体在电脉冲刺激下的振荡频率极为稳定，每秒是 32768 次， 耗电极省。20 世纪 60 年代，用石英的电振荡代替摆轮，以液晶显示代替指针，一种无机械损耗的新型电子表问世了。一般电子表每天的误差是

±0.5 秒。

更为准确的计时器当数原子钟。铯原子钟由美国哈佛大学的拉姆齐发明，并于 1952 年由美国国家标准局利用拉姆齐的分离振荡场方法造出

了第一台铯原子钟，它的精确度极高，30 万年只差 1 秒。拉姆齐因此而获 1989 年诺贝尔物理奖。

1. 秒的三次定义

随着机械钟的出现，人们有了“分”、“秒”的概念。“秒”的第一次定义（1820 年）

“秒”最早由法国科学界在 1820 年提出，它以地球自转周期为标准。

到19世纪末，才正式规定：“秒是平太阳日^*的

界时秒（UT）。其复现精度为 10-8 秒。“秒”的第二次定义（1960 年）

1

86400

”，把此称作世

由于地球自转运动有不规则变化，如 1872 年-1903 年间，平太阳日

增长了

1

7000

秒，而在1903 − 1934年间又减少了

1

5000

秒。而且地球自转

有长期减慢的趋势，每百万年慢 16 秒，三亿年前一年约 400 天，即现在

的 10 秒是那时的 11 秒。于是在 1960 年第十一届国际计量大会上给出了

秒的第二次定义：“秒是 1900 年 1 月 0 日历书时**12 时起算的回归年的

1

31556925.9747

”，这就是回归

*地球自转一周的时间称为视太阳日（真太阳日）。一年中视太阳日的平均值定义为太阳日。

**历书时的时间单位是历书秒，它是从 1900 年初附近（年初附近是

指 1900 年 1 月 1 日零时（年初）前的 12 时，即 1899 年 12 月 31 日 12

时，记作 1900 年 1 月 0 日 12 时）。

年秒，又称历书时秒（ET），它是以地球公转为标准的。其复现精度提高到 10-9 秒。

“秒”的第三次定义（1967 年）

由于宏观天体运动规律复杂，天文观测十分困难，随着原子物理学和电子学的发展，在 1967 年第十三届国际计量大会上给出了秒的第三次定义：“秒是与铯-133 原子基态的两个超精细能级间跃迁相对应的辐射的 9192631770 个周期的持续时间。”称为原子时秒，复现精度高达

10-13 秒，即相当于 30 万年公差 1 秒

3.时间阶梯（10-23—1037 秒）

时间就是生命，时间蕴含在万事万物的生命历程之中。时间阶梯图

在时间阶梯上，人的脉搏差不多每秒一次，在 100 秒数量级上，处于阶梯的中间位置。

沿着阶梯向上走，我们看到地球自转周期 86400 秒，其公转周期则在 107—108 秒数量级之间。走到第 1013 秒数量级，是人类出现的历史年代。我们生活的地球年龄在第 17 个阶梯之上，约 50 亿岁，宇宙年龄与

之相仿约 100-200 亿岁，目前已测得质子寿命约在第 1037 秒数量级上， 这是目前已知的时间阶梯的最高级。

沿着时间阶梯往下走，我们看到的是一些寿命极短的基本粒子。寿命最短的仅仅只有 10-23 秒数量级。差不多只有千万亿亿分之一秒。在胀宇宙论中，宇宙胀是发生在小于 10-35 秒的时间内，这是目前所知的时间阶梯的最低级。

（二）测量时间的一般方法1.用机械停表测量时间

停表（秒表）是测量时间的常用仪表。机械停表表盘上有长的秒针

和短的分针如图，秒针转一圈的时间通常有 30 秒和 60 秒两种。常用的

停表最小分度值也有两种，一种是 0.2 秒，另一种是 0.1 秒。停表上端的按钮是用来旋紧发条和控制表针转动的。

停表使用方法：

用手握紧停表，大拇指按在按钮上，按停表分三步：第一次按下时， 表针开始转动（启动），第二次按，表针停止转动（停止），第三次按下，表针弹回零点（回表）。

使用停表的注意事项：

1. 使用前先上紧发条，但不宜过紧，以免损坏发条；

2. 按表不要用力过猛，以免损坏机件；通常按钮先向下按到秒表即将产生动作的位置，当需要产生动作时立即再下按，以提高计时的准确性。

3. 回表后，如秒针不指零，应记下其数值（零点读数，指针过零点其值为正，指针不到零点其值为负），实验后从测量值中将其减去。

4. 要注意防止摔碰停表，不使用时应将其放回盒内。并让其继续走动，以放松发条。

有的停表在按左侧有一个弧形的制动装置，把这个装置往上推，表针就停止，再往下推，表针又继续走动。这样可以直接测出几次时间的累加数值。

用停表计时，误差主要来源有三个： (1)秒针的初时刻不在 0.0 秒的位置。

1. 操作时，手按按钮有超前和滞后情况。

2. 当被测对象为运动物体时，判断位置时有误差。比如测量单摆的周期，对平衡点的位置判断有误。

测量时对第 1 种情况，只要在读数时减去初读数即可，而对第 2、3 种情况应特别注意，需通过反复训练、多次测量才能有效地减小这种偶然误差。

1. 用电子秒表测量时间

电子秒表走时比机械式停表更加准确，其分度值一般为 0.01 秒。但

因为手动按表的误差一般在 0.1—0.2 秒之间，所以电子秒表上 0.01 秒的读数意义是不大的。

用节拍器测量时间

机械节拍器的原理和结构

节拍器是利用摆的等时性计时的仪器。外形如图。外壳呈正四棱台状，壳的正面有一盖板。取下盖板，可见一根用扁钢片做成的倒置的摆杆。杆上有许多刻线，上密下疏，摆杆后面有一固定的刻度尺，刻度尺两边的数值与摆杆的刻度对应，用来表示拍率一每分钟的拍数。该数值的范围从 40—208，即节拍器的拍率可在 40 拍/分—208 拍/分间调节。摆杆上装有一个可上下滑动的摆块，调整摆块在摆杆上的位置，可改变摆杆摆动的拍率。摆块往下移，拍率值增大；往上移，拍率值减小。

节拍器外侧装有两个扣钮。下边的扣钮用来旋紧发条。上面的扣钮是鸣铃控制钮。把此钮拉出，可以在钮杆上看到标有“6”、“4”、“3”、“2”的刻度。若拉出钮杆，使“2”字露出，鸣铃就每 2 拍发声一次，

拉出“3”字，鸣铃就每 3 拍发声一次，以此类推。

现在还有电子节拍器，节拍调节钮可以在较大幅度内调整。节拍声

由扬声器发出，精度比机械节拍器高。测量方法：

1. 校验节拍

先上紧发条，取下盖板，调节摆块在摆杆上的位置，使其上缘或指针对齐摆杆上的某一刻线，记下该刻线所对应的刻度尺上的标称拍率 ρ0。轻轻拨动摆杆，使其起振，用停表测出 n 次全振动所需时间 t 分钟， 则每分钟的实际节拍数

ρ = n 。

t

将ρ与ρ0 对比，若ρ＞ρ0，应将摆块上移，若ρ＜ρ0，应将摆块下移， 这样反复调节，直到ρ=ρ0 为止，这时可以开始测量时间了。

拍数记时法

若标称拍率为ρ0，在某一物理过程中记录的拍数为 n 拍，则时间

值 i = n 。

ρ0

用电磁打点计时器测量时间

电磁打点记时器的外形如图。它是由底座、通电线圈、振动片、振针、永久磁铁、垫板及限位孔等组成。测量时还需附有夹具、17.5mm 电报纸带和复写纸等。

电磁打点计时器振动打点的形式有两种。如 J0203 型电磁打点计时器的振动片及振针，是在交变磁场和永磁场的共同作用下振动打点的； 而 J0203-1 型电磁打点计时器，则是在脉动直流电的磁场作用下振动打点的。

当电源频率为 50 赫时，电磁打点计时器的计时精度为 0.020 秒。测量方法：

安装调整

将纸带的一端固定在运动物体（实验小车、重锤）上，另一端通过电磁打点计时器导带槽，从振针下面的复写纸下面穿过。复写纸呈圆形， 复印面向下，在纸带移动时，上面的复写纸能随之转动。

接通电源，（J0203 型用交流 4—6V50Hz，J0203—1 型，用交流220V50Hx）。调整振动片的紧固螺丝，使振动片稳定地振动，再调节振针，以刚好能在纸带上打出点为好，尽量减少打点针与纸带的接触时间， 以减小运动物体因打点而受到的阻力。

1. 打点

让打点计时器开始稳定地打点后，释放运动物体，纸带上就可得到一连串的小点。

1. 测定时间

打点计时器打点频率 f=50 赫，即每隔 0.020 秒打一个点。因此，纸带上任意相邻的两点（除第一、二点以外）间所表示的时间间隔就是打点计时器的打点周期 T0，T0=1/f=0.020 秒。如果纸带上任意两个点之间

有 n 个打点周期，则这两点间的时间 t=nT0。注意事项：

用电磁打点计时器测量时间时，整条纸带与打点计时器的导槽一

定要尽量放平。

由于打点计时器没有同步装置，纸带上第一点与第二点间所表示的时间间隔不一定是一个打点周期，在处理纸带时，一般都避开用第一点。

1. 用简式计时器测量时间

简式计时器（J0202 型）可与 J2127 型斜槽轨道等配合，计时和计

数。其计时量程，

1

100

秒档为0.01 − 0.99s， 1 秒档为0.1− 9.9s；计数范围

10

为 0—99；工作电压 220V±10%，50Hz。简式计时器（J0202 型）外面板如图。如果显示的数是机内时钟脉冲的个数，本仪器成为计时器；如果显示的数是光电门被遮光的次数，则为计数器。

测量时间时的误差。

测量误差由不同量程的精度和测量时间长短共同决定。

简式计时器在用 0.01—0.99 秒档时，其测量时间的最大绝对误差为

Δt=0.01 秒。因为计脉冲数时，最大的误差为一个脉冲，在 0.01—0.99

秒档时，时钟脉冲周期为 0.01 秒，少计一个脉冲，时间误差为 0.01 秒。最大相对误差则为

Et = ∆t 。

t

Et 主要由测量时间 t 来决定，是一个变量，随测量时间的增大而减小。如某次测量 t1=0.35 秒，t2=0.25 秒，则

注意事项：

Et1

Et 2

= 0.01 .

0.35

= 0.01 .

0.25

1. 在许多电器一起使用时，其他电器的开关有可能干扰简式计时器的工作，因此在使用过程中要避免开关其他电器。

2. 本仪器的 1/100 秒时基信号，由 50Hz 交流电转换而来。因此， 在交流电频率波动时计时值随之产生系统性的误差。

1. 用数字计时器测量时间

数字计时器（J0201-1 型）与气垫导轨等配合，计时和计数。其计时量程，1 毫秒档为 0—0.999s，10 毫秒档为 0—9.99s。工作电压 220V± 10%，50Hz。数字计时器（J0201-1 型）面板如图。

测量的误差：

数字计时器（J0201-1 型）在测量时间时的最大绝对误差，在用 1 毫秒档时Δt1=0.001 秒，在用 10 毫秒档时为Δt2=0.01 秒，相应的，若测量的时间为t ，则最大相对误差各为

注意事项：

Et1

Et 2

= ∆t 1 ，

t

= ∆t 2 。

t

在多种电器联合使用时，其他仪器的开关可能使计数器跳字甚至瞬时间断。因此，在测量过程中，要避免开、关其他电器。

（三）测量时间的特殊方法碳钟──测定过去年代的方法

利用碳 14 测定文物的绝对年代可以测到几万年前。这是目前国内外

应用最广、技术最完善的绝对记年方法，也是利用放射性衰变原理测定年龄的最精确的方法。这项技术的发明者是美国化学家利比。他因此获得 1960 年诺贝尔化学奖。

在碳的三种同位素中，只有碳 14 是不稳定的，在β衰变后，蜕变成氮 14，它的半衰期为 5700 年。生物在活着的时候，一方面会持续不断地摄取碳 14，使体内的碳 14 得到补充；另一方面又由于生物的排泄和碳本身的衰变，体内碳 14 不断减少，达到动态平衡，所以生物活着时体内的

碳 14 含量有一个恒定的比例。生物死后体内的碳 14 按照每过 5700 年减

少一半的规律变化，据此，只要测出生物标本里的碳 14 的多少，并与现

代标准样品中的碳 14 相比较，就可推算出它的年龄。

生物死后，残留在机体的碳 14 因衰变而按指数规律减少

I = I e⁻ λt 。

式中 I0 是现代碳 14 的比度，即每克样品每分钟蜕变的次数，I 是死亡的生物中碳的放射性比度；t 是从死亡到今的年代。λ是碳 14 的衰

变常数：λ = 0.693 / T 1 ，T 1 = 5700年。

2 2

以马王堆古尸为例。测定古尸的年龄，实则是测定棺木的年龄，用放射性计数器测得棺木的放射性比度 I=15.03，而现代样品的放射性比度为 I0=19.68，代入公式，求得 t=2217 年，即古尸距今 2217 年。

“距今”的意思，按协调世界时（UTC）规定，以 1960 年 1 月 1 日

零时为世界时起点，所以距今 2217 年实则为距 1960 年是 2217 年。

最后必须指出，大气样品的碳 14 含量并非绝对恒定，特别是在 19

世纪后半叶后，由于“原子弹—氢弹效应”和“工业效应”，碳 14 的含量增多了，在计算中要加以修正。

四 密度的测量

（一）密度和它的单位

1. 密度测量和它的参考标准

密度的测量起源于冶金术和酿造业的需要，早期的测量局限于测量比重。

密度测量主要有三种方法：液体静力衡量法、比重瓶法及浮计法。在物质密度测量中，水密度的测量是最重要的，它是密度测量的第

一参考标准。

对水密度的研究已有漫长的历史，早在 1891—1907 年间，国际计量局（BIPM）使用静力称量法通过立方体浮子对纯水的最大密度ρmax（4

℃时）值作过几组精确测定。

同一时期，1900 年德国的帝国物理技术院使用两个高约两米保持于不同温度下纯水的圆柱体。装置下方连通形成 U 形，通过管内液柱静压平衡，测定两边高度差求得密度差的方法，在 0—42℃内每隔 5℃测一个点共测 9 个温度点得到 0—42℃温度范围的拟合方程，求得水的密度数据。

到了 20 世纪 70 年代，国际上对水密度值上存在的分歧十分重视， 又用绝对法（基于质量和长度绝对测量的方法），对纯水密度作为新的测定，但结果表明，在 40℃时仍有 4×10-6kg/m3 的分歧。目前水密度公认的最大值为ρmax=999.9720kg/m3。

密度测量的发展目前主要有以下几个方面： (1)密度标准参考物质的精确测量

目前在水密度测量中在 4℃或 20℃时已达到 1×10-6kg/m3 的水平， 而在 0—42℃范围内仅有 4×10-6kg/m3 水平。为了提高准确精度，除改进现有的流体静力称量方法、装置以及研究它的热膨胀特性外，还对水的同位素、溶解空气、压强对纯水密度的影响等作进一步研究。

1. 建立固体密度标准

建立固体密度标准既是研究测量液体密度和固体密度的统一基准

（现对单晶硅密度测量的准确度已达 5×10-7kg/m3），也对建立质量自然基准的研究有重要的科学价值。

密度测量的自动检测方法及检测仪器的研究

自动连续测量是科学技术和工业生产的需要。近年来，在液态金属

（高温）液态气体（低温）和二相流密度自动检测的方法和仪器研制方面等急需解决的问题都取得了明显进展。

1. 密度的定义和单位

(1)单位体积的某种物质的质量，叫做这种物质的“密度”。密度是物质质量 m 与其体积 V 的比值，定义式为

ρ = m。V

根据定义，在 SI 中，单位是千克每立方米（kg/m3），量纲为 ML-3。(2)表现密度

多孔固体（颗粒或粉末）材料质量与其表现体积（包括“孔隙”的体积）之比值。

(3)实际密度

多孔固体材料与其体积（不包括孔隙的体积）之比值。(4)堆积密度

在特定条件下，在既定容积的容器内，疏松状（小块、颗粒、纤维） 材料质量与所占体积之比值。

特定条件是指自然堆积、振动或敲击或施加一定压力的堆积等。(5)标准密度

在规范规定的标准条件下的物质密度。比如，在温度为 273.15K(0

℃)、压强为 101325Pa(1atm)下的气体标准密度；温度 20℃、压强(1atm) 下的液体标准密度。

(6)参考密度

在规定的参考状态（温度和压强）下的物质密度。(7)相对密度

在特定条件下，物质密度ρ1 与参考物质密度ρ2 之比值。定义式为

d=ρ1ρ2

相对密度，过去常叫做“比重”。“比重”通常指某种物质的密度与纯水密度之比值，它已包含于上述相对密度的概念之中。历史上，“比重”还有一种定义，D=G/V，即单位体积的重量，这说明，“比重”这一概念本身就比较混乱，现在不再沿用。

3.密度阶梯（10-31—1015 克/厘米 3）

在所有物质密度中，水的密度是 1 克/厘米 3。它是我们衡量其他所有物质密度的参考标准。而人的皮肤组织的密度与之相同，它们都站在同一阶梯上，太阳的密度稍大一点为 1.4 克/厘米 3，太阳系的九大行星都在 100─101 阶梯之间，它们中密度最大的是地球，地球的平均密度为

5.5 克/厘米 3。

金属中铅的密度较大，为 11.3 克/厘米 3，常温下为液态的水银，密度为 13.6 克/厘米 3，在 101 级的阶梯上。往上走到 105 数量级是红巨星， 密度达 3.2×105 克/厘米 3，而白矮星则达到 106—109 克/厘米 3。站在密度阶梯之颠的是中子星，其密度达到 1014—1015 克/厘米 3，其密度之大到了惊人的地步，如果将地球压缩成这一密度的球体，直径只有 222 米。中子星上像乒乓球大小的物质，要几万艘万吨巨轮才能运走。

重新回到水密度的起点沿着阶梯往下走三级是空气的密度，为 1.3

×10-3 克/厘米 3，目前在实验室里能够得到的最好的真空密度可达

10-17—10-18 克/厘米 3，而宇宙中的星际介质的密度不超过 0.003 个氢原子/厘米 3，即 2.7×10-30 克/厘米 3，就目前而论，宇宙中的可视物质， 其密度低到 10-31 克/厘米 3，是今年密度的最低级别了。

（二）测量密度的一般方法

1.用天平和量筒测固体密度

物体密度(ρ=m/V)。可由质量和体积的测定来实现。

注：根据理论计算，宇宙中密度最大的实体应是“黑洞”，为 1.8

×1025 克/厘米 3。测量方法：

1. 用物理天平或托盘天平称出固体的质量 m；

2. 在量筒中盛水，将待测物体放入量筒，浸没水中，量筒中水面刻度的增加量即为物体的体积

   V；

3. 将测量值代入公式ρ=m/V，即得固体的密度。2.用天平和量筒测液体的密度

测量方法：

1. 先称出空烧怀的质量 m0。

2. 将待测液体倒入烧杯后，测出其总质量 m，则液体质量为 m-m0；

   (3)将烧杯内的液体倒入量筒，量出其体积为 V；

(4)计算求出液体密度

ρ = m − m0 。

V

减小误差的方法： (1)产生误差的原因

①将液体从烧杯倒入量筒中时，烧杯内必残留液体，即计算中的 m 与 V 不对应，导致产生误差；

②在烧杯装进液体时是随意的，所以倒进量筒测体积时，一般必须估读，这是产生误差的另一个原因。

(2)减小误差的方法

在前述测量方法中，用量筒取代烧杯，先称出量筒质量 m0，再注入整十、整百毫升的液体（注意最后注入时用滴管加注）记下体积 V，再称出量筒和水的总质量 m，则

ρ = m − m0 。

V

所得结果误差将大为减小。其次，待测液体的质量值，不宜取得太小， 在允许条件下尽可能大些，最后该液体的密度相对误差会进一步减小。

用天平和量筒测量气体的密度

凡是不溶于水的气体，都可借助排水集气法，用天平、量筒测得其密度，其准确度取决于天平的感量和量筒的最小刻度。

测量方法：

1. 取一球胆（或皮囊）接一根带夹子的胶管，盛满气体后，用天平称出其质量 m1。

2. 用如图的装置，用力挤压球胆，用排水集气法在量筒中收集气体。集气完毕后，拧紧夹子。上下移动量筒，使其内外水平面一样高， 以保证气体压强为 1 个大气压强，然后由量筒刻度读出气体体积 V。

3. 称出余下气体和球的质量 m2，则气体的质量为

   m1-m2。(4)代入公式计算气体在 1 大气压下的密度

ρ = m1 − m1 。

V

1. 用流体静力称量法测量固体的密度原理和方法：

这是一种利用天平的相对测量法。设物体的体积为 V，质量为 m，密度为ρ，则

ρ = m。V

设物体在空气中的重力为 W1，悬在水中的视重为 W2，则物体所受水的浮力 F 的大小等于

F=W1-W2。

根据阿基米德定律，物体在水中所受浮力的大小等于它所排开的水的重力，即

F=ρ0Vg。

式中ρ0 为水的密度，V 为物体排开水的体积，亦即物体体积，g 为重力加速度，得

W1-W2=ρ0Vg，

即 V = W1 − W2 。

ρ0g

又设物体在空气中称量时天平的砝码值为 m1，利用天平的载物台， 将物体挂在横梁左侧吊耳的挂钩上，并使其悬在置于载物台上的盛水烧杯中。称量时天平的砝码值为 m2，则 W1=m1g，W2=m2g，所以

V = m1 − m2 。

ρ0

再测出水的温度，从常数表中查出该温度下的水密度ρ0 值，物体密度ρ等于

ρ = ρ

用比重瓶测量液体的密度原理和方法：

m1 。

m1 − m2

图所示为常用的比重瓶，它在一定的温度下有一定的容积。将待测液体注入比重瓶中后塞好塞子，多余的液体将从塞中的毛细管流出，比重瓶中液体将保持一定体积。毛细管的作用是提高比重瓶容积在重复测量时体积相等的精度。

设空比重瓶质量为 m1，充满密度为ρ的液体时的质量为 m2，充满同温度的纯水时的质量为 m3，比重瓶在该温度时的容积为 V，则

ρ = m 2 − m1 ，V = m3 − m1 ，

V

其中ρ0 为水的密度，可得

ρ = ρ

ρ0

m 2 − m1 。

m3 − m1

可见，只要用天平分别称量质量，即可得液体密度。6.用定容瓶测量空气密度

这是利用定容瓶、分析天平、抽气机、真空计较为精密地测量空气密度的方法。

原理：

定容瓶如图，密闭在定容瓶中的空气，混有水蒸气。设空气和水蒸气的密度、分压强和摩尔质量分别为ρ空和ρ水，p 空和 p 水，μ空和μ水， 则由理想气体的状态方程，有

p μ

= 空 空 ，

^空 RT

= p水μ水 。

^水 RT

利用天平测得的瓶内空气的密度ρ，是这两者之和，即

ρ = ρ + ρ = ρ (1 + ρ 水 )

空 水 空

空

p μ

= ρ (1 + ^{水 水} ) 。

空

空 空

p μ

由 于 水 水

较小，可利用近似计算求出干燥空气的密度ρ ，

空

空 空

 p μ 

ρ = ρ1 − ^{水 水}  。

空  p 

空 空

再换算成标准状态下（即 0℃，1atm）时空气的密度

ρ0 = ρ空

• 760 (1+ 0.00366t)

p

空

 p水μ水  760

= ρ1 − p μ  p

(1 + 0.00366t)，

 空 空  空

μ

而 ^水 = 0.623，p = p − p ，代入上式，得

空

_水 760

ρ0 = ρ1 − 0.623 p − p

 p − p

(1 + 0.00366t)

可知，只要利用天平测出瓶内空气密度ρ，温度为 t 时的大气压强p，和水蒸气压，代入上式即可得标准状态下的干燥空气的密度ρ0 而 p _水等于温度为 t 时的饱和蒸气压 pt 乘以当时的相对湿度 H，这是可以通过查表获得的。

测量方法：

1. 将定容瓶抽气至残留空气压强在 0.1mmHg 以下，按精密衡量法在天平上称出其质量 m0，m0 可认为是瓶的质量。

2. 打开定容瓶活栓，让空气充满后，再测得质量为 m，则瓶中空气

质量为m - m0

，若定容瓶容积为V，则测量的空气密度ρ = m − m0 。

V

1. 测量室温 t，大气压强 p(mmHg)，相对湿度 H，查表得到温度为 t 的饱和蒸气压 pt，则水蒸气的分压为 p 水＝pt×H(mmHg)。

2. 代入公式

_水 760

ρ0 = ρ1 − 0.623 p − p

_{水  p − p}水

(1 + 0.00366t)，则得0℃，1atm时干

空气的密度值，其公认值为 1.293×10-3g/cm3，测量值的误差可以小于

1%。

1. 在要求不太高时，可认为ρ = m − m0 是测量的最终结果，不再

V

扣除水蒸气的分压，也不再进行温度修正。7.用密度计测量液体的密度

密度计是浮计的一种，分通用和专用两类，其测量范围大、精度高。表 我国部分密度计技术规格（温度 20℃）

密度计的测量原理：

密度计由干管和躯体两部分组成，如图。干管是一顶端密封的、直径均匀的细长圆管，熔接于躯体的上部，内壁粘贴有固定的刻度标尺。躯体是仪器的本体，为一直径较粗的圆管，为避免底部附着气泡，底部呈圆锥形或半球状。底部填有适当质量的压载物（如细铅丸等），使其能垂直稳定地漂浮在液体中。某些密度计还附有温度计。

密度计的工作原理基于阿基米德定律。在图中可见，当忽略空气浮力和弯月面影响时，平衡方程为：

m0g＝(V0+lA)ρg， 即 m0＝(V0+lA)ρ。

式中 m0 为密度计质量，V0 是密度计躯体部分的体积，l 为液面下干管的长度，A 为干管的截面积。由上式可知，l 和ρ是一一对应的，因此可用l 来表示液体密度的大小。

测量方法：

1. 首先估计所测液体密度值的可能范围，根据所要求的精度选择密度计。

2. 仔细清洗密度计。测液体密度时，用手拿住干管最高刻线以上部位垂直取放。

3. 容器要清洗后再慢慢倒进待测液体，并不断搅拌，使液体内无气泡后，再放入密度计。密度计浸入液体部分不得附有气泡。

4. 密度计使用前要洗涤清洁。密度计浸入液体后，若弯月面不正常，应重新洗涤密度计。

5. 读数时以弯月面下部刻线为准。如图所示。读数时密度计不得与容器壁、底以及搅拌器接触。

对不透明液体，只能用弯月面上缘读数法读数。

（三）测量密度的特殊方法

用韦氏静力天平测量液体密度

韦氏（韦斯特法尔）天平，用于测量轻质、少量液体密度。它是流体静力天平的一种变型。其结构如图。

图中，10 是盛装试液的玻璃圆筒，9 是内封温度计的空心玻璃浮子

（装试液用），3 是不等臂天平的横梁，由支承刀口 4 支承，右臂末端接挂浮子的吊钩 7，由它通过吊丝 8 与浮子 9 连接。由刀口 4 到吊钩 7 将右

臂等分为 10 分，前 9 个刻线上方有挂游码 6 的“V”形槽。当两臂平衡时，指针 1 与固定指针 16 对齐。12 是水平调节螺钉。13 为铅锤，14 为支柱，15 为调节可动支柱的螺钉。

“U”形的游码四个一组，质量是 5g，500mg，50mmg，5mg。质

量比为1∶ 1 ∶

10

1

100

∶ 1

1000

，分别可称其为1、2、3、4号游码，相应表

示小数第一、二、三、四位数。1 号游码质量最大，且等于浮子在规定的标准温度（常为 20℃）的水中全部浸没所排开水的质量，浮子体积为5cm3。

测量方法：

1. 天平在空气中挂有浮子但未放入水中时，应处于平衡状态，若不平衡，则需调节 2 使指针 1 与 16 对齐。

2. 在 20℃时，（若 t≠20℃，则结果要修正），将浮子浸入蒸馏水中，将一个 1 号游码挂在吊钩 7 上，天平应平衡。如不平衡，则需加减游码使之平衡。读出平衡数值以后，所有由天平得到的读数都必须用此游码平衡值除，才能得到液体的相对密度。

3. 用待测液体替换圆筒中的水再将浮子浸入该液体中，用 1—4 号砝码分别试挂在右臂的“V”形槽内，使天平平衡。

4. 读数（平衡时）

设 1 号砝码挂在挂钩 7 处记为 1，

1. 号砝码挂在横梁上的刻度为 n1，

2. 号砝码挂在横梁上的刻度为 n2，

3. 号砝码挂在横梁上的刻度为 n3，

4. 号砝码挂在横梁上的刻度为 n4， 则被测液体的相对密度为1+0.1n1+0.01n2+0.001n3+0.0001n4。

如：1 号砝码在吊钩 7 上一个，刻度 3 上一个，

1. 号砝码在刻度 7 上一个，

2. 号砝码在刻度 9 上一个，

3. 号砝码在刻度 9 上一个，

则读数为 1+0.1×3+0.01×7+0.001×9+0.0001×9，即 1.3799。它

是该被测液体与水相比的相对密度。其密度为 1.3799g/cm3。

1. 用振动法测量液体的密度

对一定长度两端固定的管子，其固有频率为

f0 = ，

式中，K 为倔强系数，它取决于管子的材料和形状及大小。m 为管子质量。

若将管子做成空心的，内部用待测密度的液体填充，则可知，由于管子材料、尺寸等均已确定，则 f0 为管内液体密度的函数。若能测定管子的固有频率即可测量液体的密度。

装置如图。

将两根平行放置且振动方向相反的两根谐振管和电气部分组成一个振动式密度计，则激励线圈使管子处于谐振状态，在数字式频率计上读出检测线圈输出的与管子谐振同频率的电脉冲频率，即固有频率。则液体密度ρ与该系统的固有频率 f 之间的关系可由下式计算：

ρ = ρ

 f0 2 −

千克/ 米³

₀ ( f ) 1

1.支承 2.底座 3.可折卸的“U”形接头 4.激励线圈 5.检测线圈 6.谐振管 7.柔性接头 L.谐振管有效长度

式中，f0 为填充 1 大气压的空气时的频率，f 为填充被测液体时的频率，ρ0 为仪器常数，千克/米 3，ρ为管内被测液体的密度。

国产 SM 型振动式密度计测量范围在 1.2—104 千克/米 3，精确度为

±1 千克/米 3。

五 力和压强的测量

（一）力和压强

1. 力和压强的测量

力的测量方法很多，可归纳为力的动力效应（外部效应）和力的静力效应（内部效应）两种。利用动力效应测量力，是根据牛顿第二定律； 利用静力效应测量力是根据胡克定律。当然，还可以根据和力成比例的各种物理现象，如压磁、压电等效应利用传感器将力转化为磁、电等物理量进行间接的测量。

压强的测量大致有液体平衡法、重力平衡法、弹性形变法，力一电转换法等。

目前，国际上利用液压法测力最高可达 2 千万牛，不确定度仅为 2

×10-3-3×10-4 牛。压强的测量，在我国已经建立，如在油缸外加压，以限制变形的可控间隙型活塞式压力计，最大压强可达 2.5Gpa（2.5×

109Pa），其不确定度为 1×10-3Pa。在真空测量方面，我国也已建立了动态流导法真空标准装置。测量的下限远较静态膨胀法为优，测量范围可达 10-7-10-2Pa，在 10-6-10-2Pa 时准确度为 5-3%，在 10-7Pa 时也不过10%。

目前高真空技术的发展已可得到 10-13Pa 的极高真空度。力和压强测量的发展方向是：

1. 统一国际单位，在 SI 中力的单位牛顿(N)，压强单位帕(Pa)将取代所有其他非标准单位。

2. 力和压强的测量往两极（超大量值和超小量值）发展，真空测量则向高真空方向发展，以适应现代科学技术和生产飞速发展的需要。

3. 为了实现测量的高速、高效、高精度，必须更广泛地使用传感器， 以力值传感器为例，目前已达到±（0.003—0.005）%的准确度。同时， 力值和真空测量还向着与电子计算机联机的方向发展。

1. 牛顿和帕斯卡

在国际单位制(SI)中，力的单位是牛顿(N)，其物理意义是，一个力， 当它作用在质量为 1 千克的物体上时，将使物体产生 1 米/秒 2 的加速度，

这个力就叫 1 牛顿。而压强的物理意义是：垂直并且均匀地作用于单位面积上的力。(p=F/S)，其单位是帕斯卡(Pa)，1 帕斯卡＝1 牛顿/米 2。历史上压强最先是采用液柱单位高度──毫米汞柱(mmHg)作为真空

度的测量单位。在 1927 年第七次国际计量大会通过标准大气压的定义， 规定：在标准重力加速度 9.80665m/s2 下，760mm0℃纯汞柱高的压强为一个标准大气压，符号用 atm，它与压强的关系是：

1(atm)27＝1013250.1443354dyn*/cm2， 1mmHg＝1(atm)27/760。

显然，这一定义依赖于汞密度的测量水平，后来发现汞有七种同位素，同一高度纯汞柱表现的压强并不是唯一的，就是说，标准大气压不标准。所以 1954 年第十次国际计量大会重新定义标准大气压为：

1(atm)54＝1013250dyn/cm2。

德国最早把毫米汞柱命名为“托”(Torr)，“托”的定义如下： 1(Torr)54＝1333.22dyn/cm2。

*dyn 是达因，1 达因＝10-5 牛顿。

由于这些单位目前仍被使用，现列出它们的换算关系。表 常用压强单位与帕换算关系

压强阶梯图

3.压强阶梯（10-16-1018 帕）

人类赖以生存的大气压强约为一个大气压（105Pa），以 10 倍为一

个阶梯，从地面的大气中进入水里，在水中每下降 10 米，增加一个大气

压，海水最深处是马利亚纳海沟，约 1.1 万米，那里的压强将达到 103

大气压。在 104—105 大气压下，石墨可以变成钻石。在实验室已实现的

静态高压为 106 大气压。地球中心压强为 107 大气压。现在已知的压强中，

核爆炸的瞬间所产生的压强居于压强阶梯的最高峰，高达 1013 大气压

（1018Pa）。

沿着高山越往上，大气的压强越低，以海平面作基准，每升高 1 公里，大气压强约减小 1/10，珠穆朗玛峰的气压约为 1/3 个标准大气压。在低温下已实现的最低压强（极高的真空）为 10-7 大气压（10-12Pa）。最低的压强（最高的真空）存在于星际空间，其数量级在 10-11 大气压

（10-16Pa）。

最高压强和最低压强之间相差 1034 数量级。

（二）测量力和压强的一般方法1.用弹簧秤测量力

弹簧秤的刻度有两种单位，标有单位符号“G”的表示克重，单位符号“N”则为牛顿。

测量方法：

1. 零位调节。测量前如发现指针与零刻度不符，应调节顶端的螺母或上下拉动弹簧秤面板，以调节零位。

2. 固定弹簧秤顶端上的圆环使被测力作用在挂钩上，待弹簧伸长处于静止时，从指针指示的刻度可读出力的大小。

使用注意：

1. 被测力的方向应与弹簧同轴，弹簧和指针不与面板接触，否则会增大误差。

2. 用毕应及时去掉挂钩上的负荷，使弹簧呈自由状态。秤应存放在

干燥处，避磁、避免腐蚀性气体。2.用圆形测力计测量力

圆形测力计的量程一般为 0-1200 克；最小分度值为 100 克/格。结构 外形的正面如图(a)所示，外形背面如图(b)所示，内部构造

如图(c)所示。

指针 2.圆盘 3.支杆 4.螺旋弹簧

5.齿条 6.齿轮 7.连接杆 8.调节器

它的主要构造是一对支杆 3 和齿条 5 连接起来。齿条又借上下两个

螺旋弹簧 4 的弹力保持在平衡位置上。齿条和齿轮啮合，指针装在小齿轮轴上。当支杆在力的作用下移动时，齿条带动齿轮使指针偏转。

圆盘 2 上面的刻度是从零起向左、右各有 12 个分度，每分度表示 100

克。这个刻度表明圆盘测力计的测量范围是 1.2 千克。如果无力作用时刻度盘上的零刻线没有和指针对正，可以转动刻度盘来调整。

8 是调节器，转动调节器，可以改变齿条两端的螺旋弹簧的圈数，从而调整指针偏转角度大小与作用力大小之间的关系。

测力计背面有一根用螺纹旋进去的连接杆 7，它可便于用台座把测力计夹持在需要的位置上。

测量方法：

1. 调整：先将测力计夹持好，旋转盘面使指针指零。然后给测力计挂一个已知重力的砝码，若指针的示数与砝码重力不一致时，旋转调节器进行调整。再用精确的砝码，从 100 克起，逐次增加 100 克，直加到

1200 克，逐次检查指针的示数是否与砝码的重力符合，如不符合，就要对刻度加以修正，不能再用调节器调整。

1. 测量举例：测定重物放在梁上对两个支点所施的压力。

如图所示，在两个测力计的轴上装上支承刃，把工字梁搁在两个支承刃上并使梁的位置成水平。然后调整测力计的刻度盘使指针指正零刻线，这样，工字梁上放置重物以后测力计的读数既不包括工字梁本身的

重力，又可使工作简化。

然后把砝码放在工字梁上，这时两个测力计的读数，就是砝码对梁的两个支点所施的压力，两力之和就是砝码的重力。两个支点与砝码的距离和两个支点所受的压力成反比，即 N1∶N2 ＝l1∶l2。在图中，N1 ＝ 400g，N2＝100g，则 N＝500g。

注意事项：

1. 不得测冲击力。

2. 存放时勿使连杆受外力变形，注意保持上下连杆的同轴度。(3)仪器内部机构要保持良好的润滑。

用微小压强计测量压强

微小压强计的测量范围是 400 毫米液柱，其分度值为 1 毫米。

结构，如图。内径 3.5-4 毫米的玻璃管呈“U”形，固定在有毫米刻度的面板上。U 形管的一个管口通过胶管跟压强计背面的 T 形三通管水平口相接，T 形管的另一水平口供外接测量用。T 形管的下管口接一小段胶管；胶管上夹有皮管夹；整个装置竖直装在三足支架上。

测量方法：

1. 把有色液体（水或酒精等）注入 U 形管中，液面高度为管的一半。加注液体时不得在液体中夹入气泡。

2. 将测量仪器用胶管接在 T 形管空着的水平管口上。

3. 先将 T 形管下口打开，使 U 形管两管液面均与大气相通，待 U 形管液面平稳后，封住 T 形管下口，再用测量仪器去感受待测压强。U 形管两管液面将出现高度差。

4. 读数方法：

①U 形管两管液柱高度差Δh 即为待测压强与大气压的差值，读数值精确到毫米级。设 U 形管内液体密度为ρ，则该压强值 p＝ρgΔh。

②Δh 可正可负，在 U 形管开口端液面高时，Δh 为正，表示被测压强比大气压高 p＝ρgΔh；相反，当Δh 为负，表示被测压强比大气压强低 p＝｜ρgΔh｜。

用托里拆利管测大气压强

托里折利管为一端开口，长约一米，内径 4-7 毫米的玻璃管，附一透明的水银槽。加上一根有毫米刻度的米尺，一个铁架台，即可测量大气压强，准确到毫米汞柱高。

测量方法：

1. 向水银槽注入一半水银。将尺竖直固定在铁架台上，尺的一端可

直接插入水银槽的水银中。

1. 用漏斗将玻璃管注满清洁的水银。注入时若混入气泡，可用一细长铜丝插入玻璃管捅出气泡。

2. 用食指封住管口，慢慢倒过来，把管口浸没在水银槽的水银中后，再松开封口的食指*，使水银柱平行靠近尺的基准面。

3. 读出上下水银面的高度差，即得大气压值。附录：水银清洁法

用几层干净的布兜住水银，将布边捏在一起。用一只手抓住布边，另一只手不断旋拧布兜，使水银从几层布的纤维中挤出，就可清除混在水银中的灰尘等污物。

*水银蒸气有剧毒，实验时要特别注意食指不能有伤口，且实验时间要尽可能短。

1. 把过滤后的水银倒入稀硫酸溶液里，不断搅拌，可清除其中的铁、铜等金属及氧化物。

2. 吸出稀硫酸后，要用清水冲洗水银，除去表面的酸液。最后用吸滤纸吸去水银面上的残留水珠，水银就变得很清洁了。

用曲管气压计测量大气压

曲管气压计结构如图。U 形玻璃管固定在长方形木板上。其中长管上端封闭，短管向上开口，在木板上装有刻度尺，长短两管均装有游标， 用以指示水银面的位置。

测量方法： (1)加入水银。

用细铜丝穿入玻璃管里直至封闭的一端，先将玻璃管竖直放置，管口向上，向短管中滴入水银，每注入 5 厘米左右，就转动细铜丝，使水银进入弯管部分。然后将玻璃管水平放置，使长管在下，短管在上，同时转动细铜丝，使水银流经弯管进入长管。最后用手堵住管口将玻璃管倒置，并将其上下摇动，利用水银的重力使水银全部落到封闭端。按照此法逐渐加入水银，直到水银注满长管，达到弯管部分为止。

1. 形成托里拆利真空：小心地竖起气压计，封闭端就会出现托里拆利真空，这时短管中水银面上升，若仍达不到下标尺中部，可再滴入少许水银，使水银面达到下标尺中部。

2. 测定大气压：移动上、下游标，与水银面对齐，在刻度尺上读取水银面的高度值。长管示值为 h1，短管示值为 h2，则当地大气压值Δh

＝h1-h2。

测量时要注意：

1. 曲管气压计应竖直放置。

2. 托里拆利真空中不能混进空气。

3. 水银不清洁，玻璃管不干燥，有水气等原因都会造成误差。6.用槽式气压计测量大气压

槽式气压计（福廷气压计）是在托里拆利管的基础上制成的。它能较精确地测定大气压强值，其准确度达 0.2 毫米汞柱。

槽式气压计的结构如图所示。一根长约 1 米，一端封闭一端开口的玻璃管 2，注满水银后开口向下倒立在水银槽 1 里，其上端（封闭端）即形成托里拆利真空。水银槽的底部是一个皮囊 3，皮囊下面有一个螺丝 4， 调节这个螺丝，即可使皮囊挺起或下垂，从而调节水银槽里水银的高度。水银槽上面有一个象牙针 5，它的针尖向下指着槽的水银面，此水银面即为测量的基点。整个装置用一个金属套管罩着，套管在水银槽和玻璃管的顶部各开有一个玻璃窗，便于观察和读数。水银槽与金属套管之间装有皮垫，它使槽中水银既与大气相通而又不能流出。金属套管顶部的玻璃窗 6 的边沿，刻有毫米刻度，可读出管内水银柱的高度，为读出较准

确的读数，在刻度尺上装有游标，旋转螺丝 7 可操纵游标尺上下移动，

使读数准确到 0.2 毫米，它的原理和读数方法与游标卡尺相同。在金属套管的中部还附有一个湿度计，用于进行温度修正。

测量方法：

1. 转动螺丝 4，便槽内水银面刚好和槽上象牙针尖接触，再转动螺丝 7 使游标尺的下缘正好与水银面的凸弯月面相切。

2. 从前后两个窗口读出刻度尺和游标尺的刻度，相加即得大气压强值。

重力和温度修正：

在采用毫米汞柱做压强单位时，是指在标准状态下，即水银是 0℃时的密度，重力加速度 g0＝9.80665m/s2 的条件下的汞柱高度，所以在较精确的测量中，要根据重力加速度和环境温度进行修正。

1. 重力修正

设在标准状态下，大气压强的值为 h0；在当地重力加速度为 g1 时， 实际高度为 h1，则

ρh1Ag1 = ρh0 Ag0 。

即得 h

= h g1

0 1 g

0

h0 即为 h1 在标准状态下(g0)的修正值。(2)温度修正

在 g 值不变（就是使用地点不变时），温度由 0℃变到 t℃，则

p = G = ρ0 H 0 A 0g = ρ H g，

0 A A 0 0

p = G t = ρt H t At g = ρ H g 。

要使 p0＝pt，即

^t A A

Ht = H0

t t

ρ0 。

ρ

−4 − 1

由于ρt = ρ (1 − βt) ，水银的体膨胀系数β = 1.8×10 ℃ ，可得

Ht = H0

0

ρ0

(1 − βt)

= H 1 。

⁰ (1 − βt)

在温度为 t℃时，读取液柱高度为 Ht，可以换算成 0℃时水银柱高度 H0， 即

H 0 ＝H t (1 - βt) = H t − ∆H。

所以，可由测量值 Ht 减去下表中的ΔH 值，求出 H。

注意事项：槽式气压计应竖直悬挂在固定处，不要随便搬动。如必须搬动，要注意在搬动过程中保持竖直状态。

（三）测量力和压强的特殊方法1.用扭秤测光压

用扭秤测量光压的装置是用一根细石英丝悬吊一根很轻的横杆，在

横杆的两端各挂一个很轻的圆盘，由它们组成一个极其灵敏的扭秤。为

排除空气干扰，将整个装置封闭在抽成高度真空的玻璃容器中。

将待测光线照射在一个圆盘上，横杆在光压力矩的作用下将转过一个微小的角度Δθ，此时石英丝的扭矩与光压力矩平衡。测量出Δθ角， 即可算出光压值。

1. 用多管压强计同时测量多点压强

液柱式多管压强计如图所示。用多根测量管与宽口容器连通，构成多管压强计。它可用于多点压强及真空的测量。由于宽口容器截面积比各测量管截面积大得多，其液面高度基本不变，所以只要根据各测量管液柱升降值，由公式 pi＝p0±ρghi 即得各测量值。

1. 用斜管微压计提高微小压强的测量精度

为了提高微小压强的测量精度，可采用如图所示的斜管微压计。液面原来在 O 点所在的平面上，如果将要比较的两个压强 p1、p2 分别作用于 A、B 两管口，则计示压强

pl＝p1-p2＝ρgh2＝ρglsinα。

式中，l 是斜管上的液柱长度（读数），α是斜管的倾斜角。

因为，l＝h2/sinα，可见斜管读数 l（零点在 O 处）比相应的 U 形管压强计读数 h2 放大了 1/sinα倍，因而提高了读数的准确性。

在 p1 的作用下，宽口容器液面下降的高度

h = l S2 ，

1 S

1

所以，压强pl 的准确表达式为

 S 

p = ρg(h + h ) = ρg ² + sinαl 。

l 1 2

 S₁ 

式中，S1，S2 分别表示宽口容器及测量管的横截面积。

斜管倾斜角度α越小，读数放大倍数越大，但α过小，则因斜管内液面拉长而增大了摩擦阻力，且易造成液柱断裂，因此α角一般不小于15°。斜管微压计的一般使用范围在 100-2000 帕之间。

六 温度的测量

（一）温度和它的单位

1. 从观察火候开始

对火的控制利用可以远朔到六千年前的仰韶文化（陕西半坡村出

土）和更早的河姆渡文化（浙江余姚出土）时期的新陶。河北唐山大城龙山文化遗址中也发现有红铜制成的铜器。随着火在制陶和冶金中的应用，温度测量的技术便诞生了。“火候”就是定性判断温度的方法。在

《荀子·强国》篇中即把“火齐得”视为铸造青铜器的关键技术之一。这里的“火齐”即指“火候”。用观察“火候”来判断温度高低的依据是：物质温度变化时它的物理性质也会随之发生变化。这一科学思想一直延续至今，它是一切测温技术的基础。

随着人类对热现象认识的深入，16 世纪末，发明了第一个温度计。1593 年，伽利略利用气体热胀冷缩的性质，制造了世界上第一个气体温度计，形状如图。伽利略温度计的下端与大气相通，使得用作指示温度高低的玻璃管中的水位除受空心球中空气温度的影响外，还受大气压强的影响。为了克服这一缺点，伽利略的学生斐迪南用酒精为工作介质， 于 1654 年制成了世界上第一支液体温度计。

但是酒精的沸点只有 78℃，不能测量较高的温度，于是水银温度计

（沸点 357℃）应运而生。但因水银在-39℃时要凝固，所以测低温时， 仍用酒精温度计（酒精温度计的测温范围在-114-78℃）。

随着科学技术的进步，人们要求测量更高和更低的温度。在 1854 年， 西门子发现了某些金属电阻有随温度变化的性质，于是造出了电阻温度计。后来杰别克又发现了热电现象，制造了热电偶温度计，这种温度计可以测量上千摄氏度的高温。

目前，还有一种辐射温度计可测量数千甚至上万摄氏度的高温。 新技术利用间接测温的光谱法，已能在远离被测物体的情况下测量

几万开尔文甚至几十万开尔文的极高温度了。2.温标和温度单位

温标是指度量温度高低的标尺，历史上曾出现过十多种温标。(1)经验温标

经验温标中在选定温度的参考点时，用得最多的是水的冰点和沸点。

在华氏温标（1709 年德国华伦海特建立）中，规定在一个标准大气压下水的冰点为 32°F（华氏度），沸点为 212°F，中间为 180 等分， 每等分为 1 华氏度，用°F 表示。

在摄氏温标（1742 年瑞典摄尔修斯建立）中，规定在一个标准大气压下水的冰点为 0℃，沸点为 100℃，中间为 100 等分，每等分代表摄氏1 度，用℃表示。

经验温标的缺陷是温度的读数与测温物质有关，如制成的温度计所用材料（如酒精、水银等）不同，则除了参考点的示值相同外，中间各点都不相同，换算十分麻烦。

热力学温标（1848 年）

热力学温标（也称绝对温标，开尔文温标）是英国的开尔文在 1848

年根据与工作物质无关的卡诺循环和热力学第二定律提出。热力学温标规定用单一固定点水的三相点（冰、水、汽三相平衡）来定义，并严格规定它的温度为 273.16K（开尔文），1K 规定为水的三相点的热力学温度的 1/273.16。

热力学温标只是一种理想温标，因为理想卡诺循环不可能实现，其实际应用通常是由理想气体温标和低压下近似于理想气体的氢、氦、氮等测温介质制成的气体温度计（如定容气体温度计）来实现。可以证明， 在很大的测温范围内，理想气体温标和热力学温标是完全一致的，气体温度计装置十分复杂，使用极为不便，目前也只有少数国家的实验室才能进行该项测定工作。

国际实用温标（1968 年）

为了方便地实现热力学温标，在 1927 年第七届国际计量大会上出现了国际温标，它是近代第一个国际温标。

国际实用温标经 1948 年、1954 年、1960 年和 1968 年的修改后更加完善，现在使用的国际实用温标就是 1968 年第十三届国际计量大会通过

的。我国于 1973 年开始使用该温标。

“1968 年国际实用温标”规定，以热力学温度为基本温度，符号为T68，单位为 K（开尔文）。规定水的三相点热力学温度为 273.16K，定义1K 等于水的三相点温度的 1/273.16。

还规定可以使用摄氏度单位，符号为 t68，单位为℃，并定义，t68

＝T68-273.15(℃)。

式中 t68 为摄氏温度，单位℃，T68 为热力学温度，单位为 K，T0＝ 273.15K，T0 是水的冰点的热力学温度，它和水的三相点的热力学温度相差 0.01K。

在这个定义中，摄氏温标的零点与水的冰点并不严格相符，其原因是现在的水的冰点温度不再是在经验温标中人为规定的零点，而是热力学温标中的一个测量值。根据同样的道理，水的沸点也不再严格地等于100℃。实验表明，摄氏温标的零点和冰点的差值不超过万分之一，沸点与 100℃的差则不超过百分之四。

按国际计量组织的最新规定，从 1990 年 1 月 1 日起，水的沸点的新值，在一个标准大气压下为 99.975℃。

3.温度阶梯（0-1032 开尔文）

在温度世界中，0℃是将温度分为低温世界和常温、高温世界的主观标准。

沿着温度阶梯，从 0℃往下走一级，就进入了低温世界，南极夏天平均温度只有-30℃，冬天则可达到-99.5℃，许多行星上的温度更低，天王星的表面温度约为-180℃。太阳系中，表面温度最低的行星是海王星， 约为-230℃。人类通过各种制冷方法，在 19 世纪已能使氦气（4He）液化，其沸点只有 4.2K，那是翁纳斯在 1908 年实现的。接着使氦的同位素中最难液化的氦 3(3He)液化，温度为 3.2K。在低温世界，许多物质的性质都会发生奇妙的变化，例如在极低的温度下，空气变成了蓝色的液体； 面包、鸡蛋会发光；更吸引人的是低温下的超导和超流现象。

目前，人们利用减压降温法已获得了 0.3K 的低温；用稀释制冷法已

获得了 0.002K 的低温，而用绝热去磁法则可获得 0.00002K 的超低温， 这是目前人工方法所能获得的最低温度。科学家预言，在宇宙空间，有一种大质量的黑洞，其温度可小于或等于 10-8K。

从 0℃开始沿温度阶梯往上走，就进入了常温世界，37℃是人体的温度。再沿阶梯往上走，开始进入高温世界。在 100℃时水开始沸腾，由液态的水变为汽；1000K 是火炉的温度；5000K 是电弧火陷的温度，这时所有的金属都将熔化为液态。目前人们已能获取的最高温度是使氘核和氚核实现热核反应的温度，高达 5×107K；在宇宙空间，超新星爆发时的温度可达 1010K。但这还不是温度阶梯的顶峰，许多科学家认为，在温度阶梯的最高层，应是宇宙历史最初瞬间所具有的温度，离这一时刻 10-44 秒时，温度可高达 1032K，也就是 1 亿亿亿亿度，这才是温度阶梯的最高层。

温度阶梯图

（二）测量温度的一般方法1.用酒精温度计和水银温度计测量温度

酒精温度计和水银温度计都是液体膨胀式温度计。其常用规格如下：

酒精温度计，测量范围-30—+70℃；

水银温度计，测量范围有-15—+150℃，-25—+30℃，-30—+50℃，

-10—+100℃，-15—+115℃。

其测量精度决定于温度计的分度值。常见的有 1℃和 0.1℃两种。测温原理：

玻璃液体温度是利用玻璃感温泡内的测温物质（酒精、水银等）受热膨胀后体积发生变化来测量温度的。

设 0℃时温度计内液体的体积为 V0，t℃时为 Vt，液体的膨胀系数为β，当忽略玻璃体积变化时有

Vt＝V0+V0βt。

因温度升高液体增加的体积为

ΔVt＝Vt-V0＝V0βt。

在毛细管内液柱的高低将显示出ΔVt 的变化，将此液柱的长度按温标分度，就可以指示出温度值。

液体温度计的结构如图。这是玻璃液体温度计的结构，玻璃液体温

度计是由带毛细管的玻璃棒（硅硼玻璃或石英玻璃）和感温泡组成的。

温度计的玻璃外壳是直接和测温介质接触的，它要求玻璃加热后发生的形变要小。一般都选用特殊的耐热玻璃，例如硅硼玻璃。对测温上限在 500℃以上的玻璃温度计，常用耐热很高的石英玻璃制造。

温度计的感温泡的主要作用是储存液体和感觉温度，要求它能很快地与被测温物体趋向热平衡。为使它传热快，多数感温泡是泡壁很薄的圆柱形或珠形泡。

毛细管是用来供液体膨胀用的，要求它细而直，内径要均匀。

安全泡是置于毛细管的顶部的一个膨胀室，用来防止温度过高时液体把玻璃管胀裂。

玻璃温度计内的液体，是感受温度变化的。要求它凝固点低，气化点高，这样，就能获得较宽的温度量限。管内的液体要纯净，不沾污玻璃，为获得较高的灵敏度，它的体膨胀系数要大。除酒精和水银外，常用的液体还有甲笨、煤油、戊烷等。

测量方法：

1. 根据实验的要求选择量程合适的温度计，温度计不允许在测量范围以外的温度下使用，以防止温度计炸裂。

2. 测温时，将温度计的感温泡置于被测液体中*，待热平衡后读数。(3)读数时温度计应留在被测液体中。

使用注意：

*特殊的浸入深度可见说明书。

液体温度计常见的故障是出现断柱现象（即毛细管内液柱断裂）， 这时切不可敲打，可以用手握住温度计的上端，急速地甩动或放在离心机上转动，使液体断柱现象消除。

水银温度计的误差分析： (1)读数误差

读数时，必须视线跟温度计刻度垂直，否则会引起读数误差。(2)零点位移

玻璃温度计的缺点之一是读数会随时间而发生变化。这是玻璃制造在冷却过程中，保持了永久应力所致。在永久应力作用下，经过较长时

间后，会使玻璃泡和毛细管因变形而改变体积，导致零点的移位。(3)外露液柱引起的误差

温度计上的刻度是在全部浸没或部分浸入（局浸式）中刻定的，如在实测温度的过程中浸没的液柱没有达到要求的深度会给读数带来误差。

1. 用热敏温度计测温

热敏温度计（J0301 型）与电流计配合，可以实现测温。测温范围：0—100℃，

电源：直流 1.5V 或 3V，

配用电流计：电压灵敏度 Su 在 80—100mV 之间。

用热敏温度计（J0301 型）测量温度，其准确度取决于热敏元件，由于热敏元件性能不很稳定所以配用的电流计精确度不宜太高。

结构 热敏温度计的外形如图。由测温元件和放大器两部分构成。

放大器装在盒内，盒面上有两个旋钮，左边的旋钮是校准调节旋钮， 右边的旋钮是转换开关。两个接线柱分别标有“+”、“-”符号，供外接电流计用。仪器本身的电源在盒内，用干电池供电。

测温元件是点接触半导体热敏元件，外加一个铁管保护套。测量方法：

(1)配用电流计的选择 配用电流计的电压灵敏度应在80—100mV 之间（如 J0401 型演示电流计），但一般电流计只标有电流灵敏度 Si，还要根据表头内阻 r0 来计算 Su。Su＝Si·r0，如 J0401 型演示电表 Si＝ 200uA，其 r0≤500Ω，计算得出 Su＝Si·r0≤200×10-6A×500Ω＝0.1V

＝100mV。满足本仪器的使用要求。(2)温度指示盘的制作

将 J0401 型电表接到 500uA 档，将表的接线柱与热敏温度计相应的接线柱相连，在表面上粘一张白纸。

将热敏温度计的 K1 旋钮拨到 100℃，电流计指针会偏转，调节校准旋钮 W，使电流计指针满刻度，在指针所停位置标记为 100℃。此后 W 旋钮不可再动。再将 K1 拨到“0℃”档，电流表指针所停位置记为 0℃。

最后将 K1 拨到“测温”档，这时 Rt 被接入电路。将感温元件 Rt 与一标准温度计靠在一起，同时放入冰水中。边测边缓慢加热，就可把相应的温度值一一标记在电流表指针位置上。由于温度的上升是一个动态过程，标记温度要快速、敏捷（可每 5℃刻一格）。值得注意的是由于热敏电阻是非线性元件，所以刻度是不均匀的。

(3)测量

用感温元件的尖端接触待测物体，电表指针偏转。待指针稳定时， 所示读数即被测温度值。

注意事项：

1. 用毕应将开关拨到“关”的位置，切断仪器内部的电源。

2. 长期存放时应将电池取出，以免电池漏液腐蚀盒内元件。

3. 在连续长时间使用后，由于电源电压降低，示值偏低，需随时调节校准旋钮，调整的方法是在

   100℃时使指针满偏。

4. 本仪器一经制作完成，则感温元件，配用电表及温度刻度盘只能原物配套使用。

5. 本仪器不能在高电压、强电流、强磁场的环境下使用。

（三）测量温度的特殊方法1.用亮度测量高温

亮度法是用得最多的一种测温方法，测温范围为 800—4000℃，其中，窄带光谱光电高温计是目前间接测温技术中最准确的一种，如金的凝固点温度可测到 1064.43℃，它的准确度可达 0.04℃。

亮度测温的理论基础是普朗克定律。它定量地描述了绝对黑体的光谱辐射亮度与其温度以及波长之间的函数关系：

−1

L = C1 λ⁻⁵ 

C₂  −  。

λ 、r π

exp λT 1

   

式中 Lλ、r 为绝对黑体在温度为 T，波长为λ时的单色辐射亮度；C1 为第一辐射常数，等于 2πhC2，C2 为第二辐射常数，等于 1.4388×10- 2m·K；T 为绝对黑体的热力学温度，单位为 K；λ为波长。由上式可知， 绝对黑体的光辐射亮度 Lλ、r 是温度和波长的函数。

但实际测量的物体不是黑体，其辐射波长也非单一波长，因此，引入亮度温度和有效波长的概念。将黑体辐射在某一波长下所发射的光辐射亮度温度 Ts，转化为同一波长下真实物体辐射的亮温 T，并在定义某一温度点时使用极限有效波长的概念。

这样处理之后，亮度温度计在计量真实物体温度时，虽然直接得到的是亮度温度，根据物体的光谱发射系数，可将其修正到真实温度。

在 4000K 以下，利用维恩公式取代普朗克公式，并引入有效波长概念，最后可得下式，

1 − 1 = λ e in 1 。

Ts T C2

ε λe 、T

式中，Ts 为被测物体的亮温(K)，T 为被测物的真实温度(K)；λe 为有效波长；λe、T为λe下的物体发谱发射率。

2.用二极管温度计测量低温

测量范围：1—400K，精确度为 0.1K。测量电流：＞10uA。

配用仪器：恒流源，数字电压表。

二极管温度计是利用 P-n 结二极管流过一定恒定电流时，其正向压降随温度降低而上升的原理测量温度的。多用砷化镓和硅二极管制成低温感温元件，当测量电流为 10uA 时，电压灵敏度为 77K 时约为 3mV/K。测量时用一台恒流源供电，由于其测量电流受电噪声的干扰，要求

大于 10uA。因此，其热损耗在液氦温区就显得很严重，而使测量误差较

大。将数字电压表的输入端正、负极与二极管正负极相连，即可进行测量。

七 直流电学量的测量

（一）电流强度和它的单位1.从雷电观察说起

人们对电的认识，最早是从雷电开始的，在我国，早在殷商时代的甲骨文上，已有“雷”字，西周时代的青铜器上也已有了“电”字。王充《论衡·雷虚篇》中有“云至则雷电击”的记载，当时人们已有雷电的观察和记录。

对于静电的认训，则可追溯到公元前六世纪，那时，古希腊的哲学家塞利斯(Thales)已经发现了摩擦过的琥珀能吸引轻小物体的现象。我国东汉时期的王充《论衡》一书中也已有“顿牟掇芥”的记录，与塞利斯的观察相同。

而对电的测量则迟至 16 世纪，最先是从静电的测量开始的。英国女皇伊丽莎白一世的御医吉尔伯特作了开创性的工作，他用金属制成指示器，放在支架的尖端。如果摩擦过的琥珀接近指示器一端，指示器就会转动。以此检测电的存在。

到了 18 世纪中期，荷兰莱顿市的穆兴布罗克在 1745—1746 年间发明了莱顿瓶，在此基础上里奇曼制作了静电指示器，这是世界上第一台测量电的仪器。它由金属条上拴一根亚麻绳构成，当金属条带电时，亚麻绳会偏向一边，偏角的大小则由固定在金属条旁边的刻度盘测定。到了 18 世纪后期，意大利牧师贝内特发明了金箔验电器。

真正第一个使电的研究从定性走上定量化的人是法国的物理学家库仓（1736—1806 年），在 18 世纪 80 年代，库仓利用自己发明的库仓扭秤，确定了静电相互作用的库仓定律*。此间，库仓第一次引入了“电量” 的概念，并确定了电荷之间的相互作用力正比于它们的电量。

18 世纪 80 年代开始，意大利的医生伽伐尼制造了人类第一个直流电源—伽伐尼电池。以后新的化学电池一个接一个地出现，为电流的研究和测量奠定了基础。

随着电流的热效应、化学效应、磁效应、力的效应和光的效应的发现，电流测量技术也愈来愈进步。

热线电流计是利用电流热效应原理制成的，结构如图。在电流流过的细导线中部，用一绝缘线拉住，绝缘线绕过一个带有指针的滑轮而与弹簧 A 相连。当电流通过时，导线受热伸长，A 就把导线向下拉，因此指针被滑轮带动向右转。刻度尺即可指示电流强度值。

电解定律指出了电解时在电极上析出的物质质量跟电流强度和通电

时间都成正比，而电解时析出的物质质量是可以非常精确地测定的，据此制作的库仓计和电量计，通过电解时析出物质的质量来测定电流强度和电量。

根据电流的磁效应制造了动铁式电流计，其示意图如图。还制造了正切电流计。

今天运用得最广泛的是电磁式和磁电式电流计，它们都建立在磁场对通电导体作用的基础上。

对交流电的测量是在 1904 年英国的费莱明发明了二极管之后，利用二级管的整流作用将交流电转变成单向脉动电流而得以实现的。

*实际上，卡文迪许在 18 世纪 70 年代已用实验方法确定了电荷之间

的相互作用定律，但当时没有公布，直到 19 世纪由麦克斯韦公布后才为后人所知。

2.安培

安培是国际单位制中表示电流强度的基本单位，它的符号是 A。

电流强度单位安培的定义经历了一百多年的历史。在真空中，截面积可忽略的两根相距 1m 的无限长平行圆直导线内通以等量恒定电流时， 若导线间相互作用力在每米长度上为 2×10-7N，则每根导线中的电流为1A。

(1)厘米、克、秒制单位

1851 年，韦伯根据电磁现象可以分别用两个磁极之间作用力或两个电荷之间作用力这两种相互独立的方程系来描述，提出了电磁和静电的厘米、克、秒单位制。电磁系单位制规定：两个同样大小的电流，当它们相距为 1 厘米，相互作用力为 1 达因时，这时的电流强度为 1 毕奥，

这个单位是静电系单位 1 夫兰/秒的 3×1010 倍，这一数值有非常重要的意义，因为 3×1010 厘米/秒恰好是光速。

静电系和电磁系都是以厘米、克、秒制展开（即 CGS 制）的系统方法。每一个相继的方程只包含一个新的量，这样所有量值的单位便能从方程中一个接一个地导出。在静电系中第一个方程是库仓定律

F = K Q1Q 2 。

r 2

其中取 K＝1 时，电荷的单位叫夫兰(Franklin)。在电磁系中第一个方程是安培定律

F = r 2I₁I ₂ ，

L d

其中取 r＝1 时，电流的单位则为毕奥。

这两种单位都是绝对单位或称理论单位，因为它们是逻辑思维的产物，没有特定的明确的标准为依据。

(2)国际安培(1908 年)

1881 年第一届国际电学大会决定引入绝对实用电学单位制，它的实用电流单位为安培，1 安培等于电磁厘米·克·秒单位制的电流单位的1/10。1908 年在伦敦举行的国际电量单位大会上确定了这个单位制，并

定义国际安培为：在 1 秒时间间隔内从硝酸银溶液中析出 1.11800 毫克银的恒定电流。

(3)MKSA 制的安培（1954 年）

乔吉第一个认识到如果三个基本单位用米·千克·秒来替换，那么焦耳（等于 107 尔格）将在所有领域内成为功和能的自然单位，而且欧姆、安培、瓦特将成为新的单位制中的自然单位。

乔吉提出这一新的单位制中有四个基本单位，除米·千克·秒外还应有一个电量单位。这就是 1935 年国际计量委员会通过的 MKSA 制，其中 M 表示米，K 表示千克，S 表示秒，A 表示安培。并于 1940 年作为一个新的单位制而生效，只是由于第二次世界大战的影响，直到 1954 年第十届重量和计量会议上才使 MKSA 制正式合法化。

在 MKSA 制中，是利用安培定律的方程来定义安培的。(4)SI 中的安培

我们现在所使用的安培定义是 SI 的定义。在 SI 中，库仑定律和安

培定律的系数K和r必须写成 x 和 y 的形式，通常x写成 1 ， y写成

4π 4π ε 0

u0，这样ε0 的值应该约为 8.85×10-12 库 2/牛·米 2，uo 应为 4π×10-7 牛/安 2，系数ε0 和 u0 称为真空介电常数和真空磁导率。

（二）电测量指示仪表的一般知识

1. 电测量指示仪表是测量各种电学量的仪表，通常简称为电表。其主要作用是将被测电学量变换成仪表活动部分的偏转角位移。所以，电表在结构上可分为两部分：

1. 测量电路 作用是将被测电学量（如电流、电压等）转换为适合测量机构（也称表头）直接测量的电学量。如分压、分流、整流等。

2. 测量机构 通称表头，作用是将被测的电学量转换成仪表可动部分的偏转角位移。

五种常见表头的结构及原理

1. 磁电式（动圈式） 可动线圈处于永磁铁的气隙磁场中，如图。当线圈中有电流通过时，它在磁场中会受到力矩而带动指针偏转。同时， 游丝产生反力矩，当两个力矩平衡时，指针就停在某一位置上，指示被测电学量的数值。

2. 电磁式（动铁式） 在固定线圈内有一块固定铁片和一块可动铁片，如图。当线圈中有电流通过时，两铁片都被磁化并呈同一极性。因磁极同性相斥，使动铁片受力矩后带动指针偏转。

1. 电动式 在固定线圈内有一可动线圈，如图。当两组线圈都有电流通过时，由于载流导体相互作用，使动圈受力而带动指针偏转。固定线圈与可动线圈中电流的大小都能影响指针偏转角度。

感应式 电磁式比率计

1. 感应式 图中当线圈 L1、L2 分别通过交变电流时，在铁芯气隙中产生移进磁场，使铝盘处于气隙的部分产生涡流。涡流在磁场中受力使铝盘转动，同时铝盘切割制动磁铁磁力线便会受到一个力，这个力随转速增大而增大。当两力矩平衡时铝盘就会匀速转动。转轴上的涡轮带动计数机构指示被测数值。

2. 磁电式比率计 两个可动线圈交叉装在同一轴上。有电流通过时，两线圈在磁场中所受力矩方向相反。指针的偏转角度决定于两线圈中通过电流的比值(I1/I2)。由于没有游丝，所以不用时指针将停在表盘任意位置上。

电表的阻尼方式

指针偏转后，由于惯性，需要一定的时间才能稳定下来。为了使电表灵敏，电表的可动部分机械摩擦很小，这样带来的新问题就是指针不易稳定。为了既不影响指针摆动的灵活性，又能使指针在偏转后迅速稳定下来，电表可动部分常设有阻尼装置。常见的阻尼方式有磁电阻尼和空气阻尼两种。

磁电式表头通常采用磁电阻尼器。这种阻尼器是一个铝框，构成闭合回路放置在气隙磁场中。电表的线圈就绕在铝框上。测试时，线圈带动铝框一起偏转摆动，使铝框切割磁力线产生感生电流。这一感生电流在气隙磁场中的受力方向总是与线圈摆动方向相反，因而能使线圈（带着指针）较快地稳定下来。也有些磁电式仪表用首尾相接的多匝线圈代替铝框，以增强阻尼作用。

空气阻尼器通常是装在指针下面的一个薄铝片，在铝片随着指针摆动时，其所受空气阻力总是与摆动方向相反，因而起到加速指针稳定的作用。

阻尼时间是电表电流灵敏度高低的一个重要参数，指从指针开始偏转到稳定下来所需的最长时间。通常用“不大于 x 秒（或≤x 秒）”表示。阻尼时间愈小，指针稳定所需时间就愈短。

测量机构的主要作用是：

产生转动力矩 要使仪表的指针转动，在测量机构内必须有转动力矩作用在仪表的活动部分上。转动力矩一般是由磁场和电流（或铁磁材料）的相互作用产生的，而磁场的建立可以利用永久磁铁，也可以利用通有电流的线圈。磁电仪表是利用固定的永久磁铁的磁场与通有直流电流的可动线圈间的相互作用产生转动力矩的；电磁仪表是利用通有电流的线圈的磁场与铁片的相互作用（或在磁场中的两个铁片的相互作用）产生转动力矩的；电动仪表是利用通有电流的固定线圈的磁场与通

有电流的可动线圈的相互作用产生转动力矩的；感应仪表是利用通有交流的固定线圈与在可动铝盘中所感应的电流的相互作用产生转动力矩的。

产生反力矩 如果仪表只有转动力矩作用在活动部分上，则不管待测量为何值，活动部分都会偏转到满刻度位置。所以，仪表的测量机构内还必须有反力矩作用在仪表的活动部分上，其方向与转动力矩相反。

测量时，转动力矩作用在仪表活动部分上，使它发生偏转，同时反力矩也作用在活动部分上，且随偏转角的增大而增大，当转动力矩与反力矩大小相等时，指针就停止转动，指示出被测的电学量的大小，这就是电测指示仪表的基本原理。

仪表中的反力矩是利用机械力（例如利用游丝在变形后产生的弹性力）电磁力、磁场中导体的涡流作用等产生的。一般而言，仪表的刻度不一定是线性的。

1. 产生阻尼力矩 从理论上说，在仪表中，当转动力矩和反作用力矩相等时，仪表指针应静止在某一平衡位置。但实际上，由于仪表活动部分具有惯性，仪表通电后，指针不是立刻就停止在平衡位置上，而是在平衡位置的两边来回摆动，见图曲线 I，这就造成读数困难。为缩短摆动时间，必须加上阻尼力矩，使仪表活动部分能更快地静止在平衡位置上。但阻尼力矩必须设计合适，如果阻尼过强（见图曲线Ⅲ），等待读数时间更长。而临界阻尼状态（见图曲线Ⅱ），到达平衡位置α0 所需的等待读数时间最短。但理想的是近临界的欠阻尼状态见图曲线Ⅰ，这可使仪表指针围绕最后稳定位置稍作左右摆动后再停止。既便于读数，又不易引起错误判断。产生阻尼力矩的装置称为阻尼器，常见的有空气阻尼器，磁感应阻尼器和油阻尼器等。

电测量仪器的级别

它表示仪表的准确度等级。级别数值愈大，准确度愈差。级别有三种标注方式：

1. 只标级别数字，没有其他记号，如：1.5。这种标注方式是以量限乘以级别的百分数来表示可能产生的最大误差。误差的计算公式Δ＝ D·a%，式中 D 为量限。若仪器的量限 D 是 200V，则表示可能产生的最大误差为 200V×（±1.5%）＝±3V。如果我们要测的电压是十几伏，用上述 200V 量限的表测误差可能达到 3V，而用同样级别的 20V 量限的表，则误差就在 0.3V 以内。可见，标有这类级别的仪器，使用时要选择适当的量限，被测值一般要大于量限的 2/3 左右为好。

2. 级别数外加一圈，如：0.5。其误差与量限无关而与测量时的示值 x 有关。误差以示值乘以级别的百分数表示，计算公式是Δ＝x·a%。不同的示值 x 允许的误差也是不同的。

3. 级别数下加“V”，如1.0。为得标注方式的误差以标尺长度乘

以级别的百分数表示，公式是Δ＝l·a%。l 为标尺长度。有些刻度不均匀的标尺，如万用表欧姆档常用上述方式表示准确度。

1. 仪表的误差及其表示

仪表的误差描述了仪表读数与被测量实际值的接近程度，即准确度。根据引起误差的原因，仪表的误差可分两种：

1. 基本误差—仪表在规定的正常条件下进行测量时其示数的误差。它是由仪表结构和制作技术不完善（如轴承的摩擦和刻度的不准确） 等原因产生的。

仪表的正常工作条件是指

①仪表指针调整到零位置；

②仪表按规定的位置安放；

③环境的温度是 20℃，或是说明书标明的温度；

④除地磁外，外来电、磁场可忽略；

⑤对交流仪表，电流为正弦波、频率是所规定的频率值。

附加误差—除基本误差以外，当仪表不是在正常条件下工作时， 还会出现“附加误差”。

1. 表头的灵敏度

表头的灵敏度是电表的主要技术参数，有电流灵敏度(Si)和电压灵敏度(Su)。它们之间的关系是 Su＝Sir，式中 ro 为表头的内阻。通常所说表头的灵敏度是指电流灵敏度(Si)，是指针偏转满度时通过表头的电流值（满偏电流）。如表头灵敏度是 50uA，即表示当表头中通过 50uA 电流时指针偏转到标尺满度位置。电压灵敏度(Su)是使指针偏转满度时，加在表头内阻上的电压值（满度电压）。电流灵敏度和电压灵敏度的数值越小，表头的灵敏程度越高。

此外，还有一种用电流灵敏度 Si 的倒数来表示灵敏度的方式： 如 Si＝50uA＝50×10-6A ①

又 1A = 1V ②

1Ω

将②式代入①式，S = 1V × (50 × 10⁻⁶) 则 1 = 1Ω



= 20kΩ

ⁱ 1Ω S 50 × 10⁻⁶ V

/V。它的物理意义是：在电表两端加 1V 电压时，使指针满度所要求电表的总内阻 Ri（表头内阻与附加电阻之和）的大小。这种表示方法的特点是数值越大，灵敏度越高，也便于计算。如要将上述表头设计成 100V 量程的电压表，其总内阻 Ri＝100V×20kΩ/V＝2.0MΩ（兆欧）。万用表常采用这种灵敏度的表示法。

1. 仪表的变差

对于指针式仪表来说，当被测量量由零向上限方向平稳增加与由上限向零方向平稳减少时，对应于同一分度线的两次被测量量的实际值之差称为“示值的升降变差值”简称“变差”，即

Λ = A′0′ − A′0 。

式中，A′′0为平稳增加时的实际值。A′0为平稳减少时的实际值。

一般来说，升降变差不应超过其基本误差的绝对值。

为保证测量结果的准确、可靠，必须按下面几个基本要求选择和使用仪表。

1. 适当的灵敏度和准确度；一般应使待测量的大小为仪表量程的1/2 到 2/3 以上；

1. 变差小；

2. 严格按照仪表规定的适用条件使用或尽量减少外界因素影响；

   (4)电流表工作在近临界的欠阻尼状态；

1. 要有良好的读数装置；

2. 要有足够的绝缘电阻、耐压能力和过载能力。8.使用保养常识

(1)使用常识：

①对被测电量要三清楚：何种电学量要清楚；交流还是直流要清楚； 数值范围要清楚。

②选择仪器要三符合：用途符合；电学量性质符合；量限符合。

③在仪器规定的工作条件下，按规定的接线法，将仪器接入电路。(2)保养常识：电学测量仪器在搬运、使用及保管过程中，都要注意

防潮，防腐蚀性气体，防高温；防剧烈振动。磁电式仪表要避开强磁场。灵敏电流计不使用时，两接线柱应用铜片短接。

（三）测量电学量的一般方法 1．用灵敏电流计检测微弱电流、微小电位差的大小和方向灵敏电流计的一般技术数据

测量量限 ±300μA，

表头灵敏度（满刻度电流值）±300μA， 内部电阻 约 9.5Ω，

动圈内阻 92Ω±10Ω。灵敏电流计的结构：

以杭州电表厂J—DB2XA 型为例，表头为磁电式。外形如图。

指针在标尺中部指零。两接线柱分别标有“+”，“－”符号。表内设有附加测量电路，调零旋钮在读数窗下面（可用小旋凿调节）。该电表是一种低内阻检流计。

测量方法：

①调零 将表座放平，观察指针是否对准零位。若有偏差，可用小旋凿旋动调零器，把指针调至零位。

②检测微弱电流大小和方向 把检流计串联在被测电路中，以指针是否偏转来判断电路中有无电流通过。若指针向右摆动，说明电流方向从接线柱正端到负端；若指针向左摆，则电流方向是从接线柱负端到正端。电流大小由刻度读出。

③检测微小电位差的大小和方向 把检流计并联在被测电路的两端，电压方向判断与电流方向判断方法相同，电压读数应将电流读数乘上电表内阻值，即Ug = I g rg 。

使用注意事项：

①检流计使用时，指针偏转不能超过满刻度。若超过满刻度，应立即切断电源， 以防撞坏指针或烧坏动圈。

②搬运时需将接线柱短路，使电磁阻尼加强，以免因摆动过大而碰坏指针。灵敏电流计动圈的简易过载保护：

用两只 2CZ54 二极管反向并联后，并联到动圈的两个引线端上，见图。

因为常用灵敏电流计的满刻度电压Ug = Ig Rg 均不超过 30mV，而在此电压下，正

向偏置的二极管 2CZ54 处于截止状态，两管的分流作用可忽略不计。

表 几种国产磁电系灵敏电流计技术参数

*表为内磁式，其他均为外磁式。

当表头超载时，正向偏置的二极管即处于饱和导通状态，电流绝大部分由二极管分流。所以表头短时间超载时，表头动圈一般不会烧毁。

1. 用直流安培表测量直流电流

学生常用的直流安培表为，0-0.6A，0-3A 双量限，2.5 级。以杭州电表厂的 J—DB4XA型为例，表头灵敏度为 3mA，动圈内阻为 8Ω。

结构：J—DB4XA 外型如图。指针在标尺左边置零。标尺有上下两种刻度，分别为

1. A 和 0-0.6A。调零器在读数窗口正下方，接线柱分别标有“－”，“0.6”、“3” 标记，其中“－”接线柱为公共端。表头为磁电式。

测量原理：

安培表测量电路是由表头和附加电阻组成。表头内阻 r0，附加电阻 r，r1，r2 组成环形分流电路。当被测电流IN 由“0.6”端流入，从“－”端流出时（见图），(r0+r) 与(r1+r2)并联。当电流从“3”端流入，从“－”端流出时，(r0+r+r2)与 r1 并联（见

图）。

电路中的r 是温度补偿电阻，可减小因温度变化引起的误差。因为动圈的漆包线和游丝温度系数都较大，而康铜丝制成的r1、r2 温度系数极小。在温度变化不大时，r1、r2 阻值的变化近于零。但表头内阻却有较大的变化。这样，就会使通过表头的电流发生较大变化而引起示值的较大误差。为减小这一误差，在表头上串联一个温度系数比 r1、r2 更小（或相同）的较大电阻 r 后，当温度变化时，虽然 r0 变，但r、r1、r2 不变，这样，R0/Rf 的值变化就减小了。通过表头的电流变化也就减少了，因而起到减小误差的作用。从理论上讲，r 值越大，R0/Rf 就越稳定。但r 值过大会使通过表头的电流过小， 并使电表总电阻增大。通常r 为r0 的 1.5—2 倍。

测量方法：

1. 调零和接线 将安培表安放在水平位置，调零后，将其串联入电路中，注意使电流由“3”（或“0.6”）端流入，从“－”端流出。

表 几种国产磁电系直流安培表技术参数

说明：*表为内磁式，其他均为外磁式。

1. 选择量限 接线前应先估计待测电流大小，选择适当量限。可用 3A

   量限试触， 即将“3”接线柱引线触接被测电路流入端。指针偏转小于 0.6A，则改用 0.6A 量限；指针偏转在 0.6—3A 之间，则用 3A 量限。

2. 读数 用 0.6A 量限，标尺每小格为 0.02A；3A 量限，标尺每小格为

   0.1A。(4)不允许将安培表与交直流电源短接或短路。直流安培表也不能用于测量交流电

流。

安培表的误差分析：

对只标级别 a 的安培表，其结构误差（也叫级别误差或标称误差）计算公式为

∆=D·a%，式中D 为量限。J—DB4XA 为 2.5 级，所以在量限为 0.6A 时，

∆1 = 0.6 × (±2.5%)A = ±15.0mA ；

量限为 3A 时，

∆2 = 3 × ( ±2.5%)A = ±75.0mA 。

1. 用直流伏特表测量直流电压

实验室测量低压直流电压通常用 0-3V、0-15V 双量限伏特表。以 J—DB4XA 型（2.5 级）为例，表头灵敏度为 3mA，动圈内阻 6.5Ω，表头内阻（动圈内阻与两端游丝电阻之和）为 10Ω。

结构：

以杭州电表厂生产的J—DB4XA 型为例，外型如图。指针在标尺左端置零。标尺有上下两种刻度，刻度分别为 0-15V 和 0-3V。调零器在读数窗正下方。接线柱分别标有“－”、“3”、“15”标记，其中“－”接线柱为公共端。表头为磁电式。

原理：

测量电路如图。可看成是由表头内阻r0 和外加电阻 R 组成的串联分压电路，其电压分配如图。

因为 VN=V0+V，

又 V0=I0r0，

V=I0R（I0 为表头满刻度电流，对J—DB4XA 型而言，I0 是 3mA） 所以 VN=I0r0+I0R，

R = VN

I 0

• r₀。(r₀

= 10Ω)

量限VN1=3V 时，R1=r1=990Ω。

量限VN2=15V 时，R2=r1+r2=4990Ω。测量方法：

1. 调零和接线 将伏特表水平放置，调零后，并联入被测电路的两端，使电流从

“3”（或“15”）流入，从“－”端流出。

1. 选择量限

   接线前先选择量限，可根据所用的电源电压，待测端的可能最大电压估算值，确定合适的量限，然后正确连接。在无法估计待测电压数值时，可用 15V 量限试触，即将“15”接线柱引线触被测电路电压高端，指针偏转小于 3V 则改用 3V 量限； 指针偏转在 3-15V 之间则用 15V 量限。指针反转则说明接反；指针超过满刻度则应将被测电压降到 15V 以内或改用大量限表。

2. 读数 用 3V 量限时，标尺每小格为 0.1V；用 15V 量限时，标尺每小格

   0.5V。伏特表误差分析：

对只标级别a 的伏特表，其结构误差（也叫级别误差或标称误差）计算公式为

∆ = D ⋅ a%

式中，D 为伏特表量限。J—DB4xA 型为 2.5 级，所以在量限为 3V 时，

∆1 = 3V × ( ±2.5%) = 75mV ， 用 0.08V 表示。

量限为 15V 时，

D2

= 15V × (±2.5%) = 3.8 × 10² mV， 用 0.4V 表示。

用伏特表测量电压时，内阻越大准确度越好高，如图所示电路，电源电压为 200V， 电源内阻R0 为 2000Ω，负载电阻R 为 2000Ω，如果用一个内阻RV 为 2000Ω的伏特表去

测R 两端的电压，则

U∋_R =

200V

R0 + (R / / RV )

⋅ (R / / RV )

200V

= 2000 + (2000 / /2000)

⋅ (2000 / /2000)

= 200V ⋅ 1000 = 66.7V 。

3000

若不用伏特表或伏特表内阻为无穷大时，R 两端的电压值应为

200V

UR = R + R

⋅ R =

200V ⋅ 2000 = 100V 。

4000

可见，即使准确度很高的伏特表，也会给测量结果带来很大的系统误差。所以， 伏特表内阻应尽可能大于待测端间的电阻值，否则必须进行修正。

表 几种国产磁电系直流伏特表技术参数

*表为内磁式，其他均为外磁式。

一般磁电系测量机构的灵敏度可达 2kΩ/V 以上，高的可达到 100kΩ/V，整流系仪表内阻稍低，一般在 2kΩ/V—20kΩ/V 之间。电子系电压表内阻很高，可达几兆欧。特别是数字电压表，其内阻可高达几十兆欧至百兆欧。

1. 用直流电位差计测量电池电动势和内阻

直流电位差计是用比较法精确测量干电池电动势的仪器，以 DC—I 型电位差计为例，可精确到 10-4V。

测量范围： 0-0.100V，

0.001-1.500V。

原理：

用电位差计测量电动势Ex 是用电位比较法，也称被偿法，即用一个大于 Ex 的已知并可调的电压E0，连接成如图电路，调节E0，使检流计指零，就表示待测电动势 Ex 与此时的E0 值大小相等，方向相反，这时电路达到补偿。

实际的电位差计，其电路如上图。由电源E、限流电阻R 和标准均匀电阻Rab 串联而成闭合回路，称辅助回路。电检流计、标准电池 E0（或待测电池 Ex）和 Rca（或 Rcd1） 构成的回路称补偿回路。调节R，使Rab 上有一恒定的标准电流I0 通过。当变动滑动触头d 的位置时，cd 间的电位差Ucd 也随之改变，由于Rcd 是可以精确知道的，I0 是标准值，所以 Ucd 也能准确地知道。这样，Ucd 就可看成是一个可调标准电源 E0。由于在测量时 I0 保持恒定不变，所以在实际的电位差计上都是把电阻的数值转换成电压数值刻在电位差计上的，把滑动头cd 两端的电压Ucd 引出来与未知电动势Ex 比较。

结构：以 DC—I 型电位差计为例，其内部电路如图。图中两圆形电阻相当于原理电路中的Rab，B+和 B-两接线柱相当于 a、b 两点，E+和E-相当于 c、d 两点，A 圆总电阻RA=150Ω，分为 15 段，每段为 10Ω，用作粗调。B 圆总电阻 RB=10Ω，用作细调。标准电流I0=0.01A，所以A 圆上每段电阻上的电位降为 0.1V，B 圆上总的电位降为 0.1V。DC

—I 型电位差计面板如图。是将 A、B 两圆做成内、外两个共轴的同心圆。中心小旋钮为A 圆，每转动一格，电压就改变 0.1V，外面大旋钮为B 圆，均匀地分为 100 小格，每转过一小格，代表 0.001V，此大钮旋是连续变化的，加上估计一位，可读到 10-4V。

使用DC—I 型电位差计，必须加接外电路（结构电路图中虚框下部）。外电路接法如下，A、B 两圆标准电阻由B+、B-两接线柱引出和外电路限流电阻R，电源 E 组成辅助回路。cd 段电阻由E+和E-两接线柱引出和外电路的待测电池Ex（或Es）、检流计、保护电阻Rn，单刀开关 K3 组成补偿回路。K1 是电源开关，K2 是为了方便Es 和Ex 相互替换的，Rn 是可变高值电阻，用以保护检流计和标准电池的。

测量方法： (1)连接电路

按结构电路连接外电路（已如前述），辅助回路中 E 用输出电压非常稳定的稳压电

源，电压取 6V，R 用电阻箱，以保证电位差计辅助回路上的标准电流 I0 可调为 0.01000A。 Es 为标准电池，Es=1.0186V；Ex 为待测干电池，检流计可借用 QJ—23 型电桥上的检流计，用时将“内接”处短路铜片取下，从“内接”处接线柱引出使用。Rn 为 47kΩ的电

位器。

(2)校准电位差计

校准电位差计的目的是使辅助回路里的电流值为 0.01000 安。方法如下：

①调节辅助回路中的限流电阻R，使 R=440Ω ，然后转动小旋钮 A 到 1.0，再旋转大旋钮B，使其上方刻度数为 0.0186。旋动Rn 使其阻值最大。

②先合上辅助回路开关K1，再将 K2 倒向Es，再合上 K3，调 R 使检流计指针偏转为

零。

③逐渐减小Rn，每减小一次，调R 使G 无偏转，直到Rn 减为 0 检流计指针在 0 位

置上为止，反复开合 K3，要求达到检流计 G 的指针不发生偏转为止。此时，I0=0.01000A，

电位差计上所刻度的电压数值均为准确值。至此电位差计已校准完毕，可用来测量电动势或电位差了。注意在测量过程中R 不能再调节，否则I0 值就不是 0.01000A 了，将导

致电位差计刻度不准。 (3)测量电池电动势Ex

打开K2、K3，将干电池接在图中 Ex 处，根据干电池的近似值初步旋好 A、B 盘上的数据，然后将Rn 调到最大，将K2 合向Ex，再合 K3，调节 A、B 盘上数值，直到 Rn 为 0 时反复开合K3，检流计指针均不偏转为止。此时，电位差计达到补偿。记下结果，如小旋钮 A 指示数为 1.4，大旋钮 B 指示数为 0.0758，则 Ex=1.4758V。重复多次，观察 Ex

的测量精度和准确度。 (4)测量干电池内阻r

①接线

打开 K2、K3，将图中 Ex 换成如图所示线路，其余部分不变。R′为电阻值箱，取值500Ω。

②测量步骤同上，测得Ex。再合上K4，测得R′两端电压

E′ = E_x − Ir = I ⋅ R′ 。

式中r 即为待测干池电阻

r = Ex − E′ =  E x −  R′ 。

I E′

注意：K4 只在测量E′时才合上，测量完毕应立即断开，以免干电池放电过多。

（四）测量电流的特殊方法

1. 用电流天平测量电流

用电流天平测量电流是绝对测量。是直接根据安培的定义来进行测量的。结构：

如图所示。电流天平 B 是用硬铜线制成的一个矩形线框，以便放入扁平螺线管 s。s 大约长 0.3m，300 匝以上。电流天平B 用两个刀口或者刀片R 支承和通电，纸带m 作为重物。直流电源（0-12V），10Ω的变阻器（额定电流大于 5A），安培表（0-10A）。

电流通过装在螺线管端部的两个固定刀口R 引进线框。电流天平静止在刀口上（在导线上刻一个缺口），应能自由摆动，它在支撑点上稍微弯一点，使之稳定。电流仅仅通过线框在管内的部分，外面的臂上装一个带有指针 P 的绝缘套子，指针在标尺 M 附近运动，它指示电流天平的静止位置。

螺线管s 内的导线长一些，可以使电磁力增大。测量还需一个分析天平和一把毫米刻度尺。

原理：

安培（A）定义为能在两根相距 1m 的长直导线上每米导线产生 2×10-7N 的力的电流。单股导线即使靠近在一块时这个力仍很小，难以测量。为了使力增大，通常的方法是用一个螺线管代替其中一根导线。在螺线管中心的导线上的力可以从安培的定义计算出来。用它来测量电流不必使用安培表。

螺线管和管内导线通过同样大小的电流（螺线管和管内部分导线是串联的）。测出导线上所受的力F，由力F 来算出电流。

在安培力F 和纸带重力mg 作用下电流天平平衡，两力产生的力矩平衡：

Fx=mgy。

如果视螺线管为无限长，载流为I，管内的磁感应强度为B，则

B = μ0 NI = 4π × 10⁻⁷ NI 。

L L

N/L 是单位长度内的匝数，L 是螺线管的长度，作用在长为d 的导线上的力F 为

F=BId。

将B 代入

• NdI²

F = 4π × 10 ⁷ 。

L

得

式中

测量方法：

I = ，

F = mgy 。

x

1. 调节电流天平平衡 在不通电的情况下，利用一小段导线缠在电流天平的一个臂上，使天平呈水平状态，记下指针P 在标尺M 上的位置。测量出从支点 R 到两臂间的距离x 和y。

2. 力F 的测量

断开螺线管线路，将电流天平和螺线管串联后接入线路。接通电源，观察螺线管内的导线是被力F 推向下还是向上，若向上，则应改变电流的方向，使导线向下。在指针一端挂上几厘米的纸带或细丝作为平衡重物m，调整m 的质量大小，直至指针P 回复到通电前在标尺上的位置。

1. 称量平衡重物的质量m

在精密的分析天平上称出用作平衡物的纸带或细丝的质量。(4)数出螺线管L 米上的匝数N（L 至少 0.1m）。

(5)测量电流天平在螺线管内部的宽度d。(6)代入公式计算电流I。

注意事项：

电流天平和刀片接触处产生的热量可能使刀片损坏，这会使电流波动，以致难以长久处于平衡，必要时可以换刀片。

1. 用灵敏电流计测量微小电流

灵敏电流计是高灵敏度的指示仪表，可以用来测量小于几十微安的电流。灵敏电流计与普通的磁电系仪表（如直流微安表、安培表等）虽然原理相同，都是载流线圈在磁场中受力矩作用而偏转，但因其结构的不同，有以下两点主要区别。

一是灵敏度高。普通磁电系仪表的线圈均安装在轴承上，用弹簧游丝来维持平衡， 用指针指示偏转，由于轴承有摩擦，不能测量小于几微安的电流。而灵敏电流计则是用金属悬丝或张丝代替轴承，将线圈悬挂在磁场中，如图所示。悬丝或张丝细而长，反抗力矩很小，极小的电流流过线圈，就足以使线圈发生显著的偏转，所以灵敏电流计比普通磁电系仪表灵敏度高。

二是读数方法不同。普通的磁电系仪表都是直读式，能直接从表上读出电流（或电压），而灵敏电流计指示器上只能读出偏转的格数，不能直接读出被测量，即是说， 它的标尺并不是按被测量的量分度，而是根据需要在测量前测定它的常数。

灵敏电流计可用于作指零仪表，用以确定电桥或电位差计是否平衡，也可用于测量微小电流、电压。