变速直线运动的平均速度和即时速度 52

物体作变速运动时，Δ t 时间内的平均速度是Δs/Δt。当Δt 趋向零时，平均速度就趋向某一时刻的即时速度。本实验的第一、二、三、四种方法都通过图象外推法，得到即时速度（方法一从大的方向推，方法二从小的方向推，方法三是两个方向同时推）。第四、五两种方法介绍另一种测量即时速度的途径：使作变速运动的物体，从某一点开始作匀速运动，它作匀速运动的速度，就是该点的即时速度。

方法一

原理 作匀变速运动的物体，其位移∆s = v0

Δt + 1 aΔt ²，两边都除

2

以时间Δt，可得v = v0

• 1 aΔt。取不同的时间间隔Δt，可测得一系2

列不同的v。作v − Δt图，并作线性处理推到Δt = 0处，即可得到当

∆t趋向零时v的极限值，就是该时刻的即时速度v。

器材 气垫导轨，数字毫秒计，气源等。

操作

1. 在气垫导轨的单脚下垫上一块垫块，在导轨上放 A、B 两个光电门，在导轨高端固定好定位杆，并在滑块上装上挡光条（图 a）。毫秒计的功能选择开关用 s2

档，时间选择开关放在 1ms 档或 10ms 档上。

1. 让滑块紧靠定位杆后由静止释放，毫秒计记下滑块从A 光电门到B 光电门的时间Δt，从导轨的标尺上读出A、B 光电门之间的距离s，得到一相(Δt，s)的值。

2. A 光电门位置不动，将 B 光电门离A 光电门的距离缩小一些，重复操作(2)， 得到另一组(Δt，s)值。共重复 5—7 次。

3. 计算出每次的平均速度v = s / Δt，然后以时间Δt为横坐标，

平均速度v为纵坐标，作出v − Δt图。将图线外推到Δt = 0处， 即可得到滑块经过A光电门时的即时速度ΔA。

1. 取下滑块上的挡光条，换上最窄的一种挡光框（例如 d=1.00cm），毫秒计的时间选择开关放在最小档（例如 0.1ms 档），将光电门 B 拿下放在桌上。然后让

滑块紧靠定位杆后由静止释放，滑块经过 A 光电门时用毫秒计记下时间t，则滑块通过A 光电门时的即时速度vA=d/t。检验两种方法得到的vA 是否基本相同。

注意

1. 从滑块上取下挡光条，换上挡光框时位置不能变。如果挡光框比挡光条宽，则应该将挡光框两个前沿的中间稍前一点对准挡光条的前沿（图b）。

2. 为了提高实验的准确性，每个距离可重复几次，重复的次数视数据一致性的好坏而定。

3. 数据处理时只能将v − Δt图线作线性外推，而不能将v − s图

线性外推。理由是：因为Δs = v0

Δt + 1 aΔt ² ，两边除以Δt，得

2

到v = v0

• 1 aΔt，v与Δt成线性关系。v − v 2 0

= 1 aΔt，两边乘以

2

v，得到v² − v

2 = 1 as。由此可见，v与s不成线性关系。2

实例 某次实验数据如下：

从上表最后一行可看出，滑块在不同的距离中的平均速度v是不一样的。以v为纵轴，Δt为横轴，作v − t图（图c），所得直线的

截距是 24.0cm/s，说明滑块经过光电门A 时的即时速度是 24.0cm/s。用线性回归法处理实验数据，常数项是 23.9cm/s。

将滑块上的挡光条换成两前沿相距 1.00cm 的挡光框，重新做实验，毫秒计显示的时间是 42.0ms ，可算出滑块经过 A 光电门时的即速度是

v = d / t =

1**.**00

0**.**0420

−

cm / s = 23**.**8cm **/** s。这与 v− t图线作线性外推得到的结

果基本相同。

方法二

原理 同方法一。

器材 斜槽轨道，简式计时器。

操作

1. 先使轨道倾斜一个不大的角度θ(2°-3°)，再调节电磁铁的位置，使钢球的前沿对准标尺上的 0 刻度。将光电门G2 放在标尺55.0cm 处，G1 放在标尺25.0cm

处。计时器放在光控计时状态（图a）。

1. 将吸放开关放在“吸”位置，让电磁铁吸住小球，然后将吸放开关扳到“放” 位置，钢球便依次通过 G1、G2 两个光电门，计时器记下钢球通过两个门中间的时

间Δt，从标尺上读出两个门之间的距离s，得到一组（Δt，s）值。

1. G2 位置不动，将G1 与G2 之间的距离s 缩短 5cm，再重复操作(2)，得到另一组（Δt、s）值。如此重复 5—7 次。

2. 计算每次的平均速度v = s / Δt，然后以横轴表Δt（以钢球

经过G 2 的时刻作为零），以纵轴代表v，作出v − Δt图，将图线外推到Δt = 0处，即可得到钢球经过G 2 时的即时速度v。

1. 取下光电门G1，将计时器的光控同步开关扳至“同步”位置。然后用吸放开 关 释 放 钢 球 ， 计 时 器 记 下 钢 球 从 0.00cm 处 到 G2 所 在

   1. cm处的时间t。因为s = 1 at ²，所以a = 2s / t ²，又因为v = at，因此

2

v = **(**2s / t ² **)**×t = 2s / t，即可算出v的值。检验两种方法得到的v值是否基本相同。

注意

1. 为了减小计时的误差，实验中每一个时间应重复测量几次，取它们的平均值。根据统计规律，重复的次数可在 5—10 次中间选择。

2. 在操作(1)、(2)、(3)中，G1、G2 两个光电门上透光孔的高度要相同，在

操作(5)中G2 的透光孔要与钢球的球心等高[详见实验 50 方法三注意(6)]。

只能用v − Δt图线作线性外推，不能用v − s图线性外推[详见

方法—注意(3)]。

实例 某次实验数据如下：

从表中最后一行可以看出，钢球在不同距离中的平均速度是不一样

的。以v为纵轴，Δt为横轴（以钢球通过G 2 的时刻为零），作v − Δt 图（图b），所得直线的截距是53.9cm / s。说明钢球经过G 2 时的即时速度是53.9cm / s。钢球从0刻度处滚到G 2 经过的时间是2.06s，可算出

钢球经过G

时的即时速度是v = 2s / t = 2×55.0 (cm / s) = 53.4cm / s，

² 2.06

这与vΔt图线作线性外推得到的结果基本相同。

方法三

原理 同方法一。

器材 打点计时器，学生电源，斜面，小车，刻度尺，纸带，钩码等。

操作

1. 如图(a)装好实验装置。打点计时器接通电源后释放小车，小车在钩码牵引下拖着纸带做匀速运动，打点计时器就在纸带上打下一列点子（图 b）。由于纸带较长，所以分两段画，上面一段的最后一点p，就是下面一段的第一点。

1. 用刻度尺测出 1 到 6 各点到p 点的距离 s1-s6，以及p 点到 7 到 12 各点的距离s1-s12。

2. (3)

算出v1 = s1 / (6T)，v2 = s2 / (5T)，

v6 = s6 / T，以及

v = s1 / T，v8 = s8 / (2T)， 0.020秒）。

v12 = s12 / (6T) （打点计时器的T为

以横轴代表时间Δt（以P点经过打点计时器的时刻作为零），

以纵轴代表平均速度v，作出v − Δt图，直线在纵轴上的截距

（即t趋向零时v的极限值），就是p点经过打点计时器时小车的 时速度。

实例 某次实验数据如上页表中所列。

从上表可以看出，小车在不同的距离中平均速度v是不一样的。以v为纵轴，以Δt为横轴，作v − Δt图（图c），所得直线的截距是80cm / s。说明当纸带p点所在位置经过打点计时器小车的即时速度是80cm / s。用线性回归法处理实验数据，常数项是80.1cm / s。

方法四

原理 同方法一。

器材 长木板（长 180cm、宽 15cm）2 块，节拍器，钢球，木块等。

操作

1. 将木板一端架在木块上，木块高度约是木板长度的 3%左右（图a）。把节拍器的频率调节成 2.0Hz。

2. 在木板上端附近画一条线，使小球静止在画线处。听到节拍器某一次响声，立即释放小球，接着每听到节拍器响一声，就在木板边沿记下小球该时刻的位置（图b）。

测出1到6各点到第7点的距离s1，s2

s6 ，根据节拍的频率，

算出小球在这些距离中的平均速度v1，v2 v6 。

1. 以时间Δt作为横坐标（取小球滚到第7点的时刻为零），以

平均速度v为纵坐标，作v − Δt图。将图线外推到Δt = 0处，即可得到v在Δt趋向零时的极限值，也就是小球在第7点处的即时速度v7 。

1. 将第二块木板接在第一块木板的第 7 点处。第二块木板的接头处要削成斜口，使小球能平滑地滚到第 2 块水平放置的木板上（图c）。

2. 再重复前述实验，当小球滚到第二块木板上后继续根据节拍器的声音，记下小球位置 8、9、10。测出 8、9、10 三点到第 7 点的距离s8、s9、s10。

3. 以时间Δt 为横坐标（取小球滚到第 7 点的时刻为零），以小球相对第 7 点的位移s 为纵坐标，作 s-Δt 图。图线的斜率就是小球在第二块板上作匀速运动的速度，也就是小球在第一块板上滚到第 7 点时间的即时速度 v7。比较两次求出的v7 是否相同。

从表中可以看出，小球在不同距离中的平均速度是不一样的。以 v为纵轴，Δt为横轴（以小球通过第7点的时刻为零），作v − Δt 图（图d），所得直线的截距是1.1×10² cm / s。说明小球通过第7点时的速度是1.1×10² cm / s。用线性回归法处理实验数据，常数项是1.11×10² cm / s。

实验操作(5)、(6)得到数据如下：

以s 为纵轴，Δ t 为横轴，作 s-Δt 图（图 e）。在图线上取两点p1(0.22，25)， p2(1.74，189)，可得到直线的斜率

k = (189 − 25) cm / s = 108cm / s， 1.74 − 0.22

这与v − Δt图线外推得到的结果基本相同。

方法五

器材 滑轮，物理支架，秒表，刻度尺，铁架台，钩码，槽码，细绳，橡皮泥等。

操作

1. 把滑轮固定在较高的物理支架上端，在跨过定滑轮的细两端各拴一个质量为 100g 的钩码m1 和m2。在 m1 下面粘一些橡皮泥来克服摩擦力的作用，使 m1 和m2 在获得一个初速度后能作匀速运动。利用铁架台在 m1 的正下方固定一个铁环 Z， 它的孔径比m1 大，但比槽码 m 小。在铁环上下两处各固定一个标志物 Q 和 K（如图），

用刻度尺测出Δs 和Δs＇的长度。

1. 在m1 上加上一个片状槽码后由O 点释放，系统便开始作奖加速运动。当 m1 和m 运动到A 处，槽码被铁环Z 托住后，m1 和 m2 又开始作匀速运动。用秒表记下槽 码 从 C 到 A 所 经 过 的 时 间 Δ t ， 可 以 算出它在这段距离中的平均速度v = Δs / Δt。再用秒表记下m1 从A到B

所经过的时间Δt＇，可以算出m1作匀速运动的速度v = Δs＇ / Δt＇，

这个速度也就是m在A处的即时速度vA 。

改变Q标志物的位置，可看到槽码在AC中的平均速度v是不一

样的，但始终小于vA 。Q越接近Z，v就越接近v A 。

注意

1. 定滑轮要挑选摩擦小，转动平稳的。

2. 槽码的大小要适当，过小了运动不易平稳，过大了计时不易准确。