一、数学作为知识的钥匙

在这次独特的体验之后，他投入的第一次深入细致的研究是在几何学领域，在这个领域，他在短短的几个月里就发明了一种最富有成效的新数学工具——解析几何学。这项伟大的发现不仅证实了他的远见，鼓舞他沿着同一方向继续努力，而且对于他的物理学也具有高度重要的意义。作为一种数学开发的工具，解析几何学的存在和成功使用预设了在数的王国（即算术和代数）与几何学王国（即空间）之间精确的一一对应。它们已经相互联系，这当然是整个数学科学的共同财产；它们的关系是明确的、绝对的对应，这才是笛卡尔的一个直觉。他发觉，空间或广延的本质是这样的，以致于其关系不管多么复杂，总是可以用代数公式来表示，反过来，数量真理（在某些幂内）也可以完全在空间上加以表达。作为这个著名发明的一个并非不同寻常的结果，笛卡尔在心中产生了这一希望：或许可以把整个物理学王国还原为纯粹几何特性。不论自然界会是什么别的样子，它显然是一个几何世界，它的对象是在运动中出现和扩展的数量。如果我们能够去掉所有其他特性，或者把它们还原为数量，那么明显的是，数学必定是开启自然真理的唯一合适的钥匙。从这个希望到这个想法并非天渊之别。

在随后的 10 年中，除了进行大量的旅行外，笛卡尔致力于进一步的数学研究，他在这个时期结束之时写下了这些研究结果，同时也制定了一系列专门的规则，以使他的思想得到彻底应用。在这些规则中，我们发现一个明确表白的信念：所有科学形成了一个有机统一体，①必须用一个适用于它们的方法来一起研究它们。②这个方法必须是数学方法，因为在任何一门科学中，我们了解到的一切就是在它的现象中表现出来的秩序和量度；现在数学就是一般地处理秩序和度量的普遍科学。③正是由于这一原因，算术和几何成为这样的科学，在那里，真实、确定的知识是可能的。它们“处理一个如此纯粹、如此简单的对象，以致于它们勿需作出由于经验而变得不确定的任何假定，因为它们只在于对推理进行合理推导。”④这并不意味着数学对象是在物理世界中没有存在的虚构实体。⑤不管是谁，只要他想否认纯粹数学对象的存在，他必定就要否认任何几何事物的存在，因此就不可能认为几何观念是从现存事物中抽象出来的。当然，没有只有长度而无宽度或只有宽度而无厚度的实体，因为几何图形不是实体而是实体的边界。为了把我们的几何观念从物理现象的世界中抽象出来，我们必须同意这是一个可靠的假说：世界必须是一个几何世界——它的一个根本特征就是在空间中的广延性。可以证明它不具有任何不能从这个基本特征中推导出来的特征。

笛卡尔不辞辛劳地仔细论证他的论点：在任何科学中，精密知识总是数学知识。为了有效地进行处理，每一种其他的量都必须还原为数学项；要是能够把它还原为具有广延的量更好，因为广延性可以在想象中加以表达，也可以由理智来处理。“虽然可以说一个东西比另一个东西更白或没有它白，

① 《笛卡尔的哲学著作》，霍尔丹和罗斯翻译，剑桥，1911 年，第一卷，第 1 页以下，第 9 页。

② 第一卷，第 13 页。

③ 第一卷，第 4 页以下。

④ 第一卷，第 4 页以下。

⑤ 第二卷，第 227 页。

或者一个声音更尖锐或圆润，等等，但要以 2∶1 或 3∶1 等等的比例精确地决定大者是否超出小者，那是不可能的，除非我们像处理一个具有形状的物体的广延那样来处理那个量。”①作为某种不同于数学的东西，物理学只决定数学的某些部分是在真实的东西上还是在不真实的东西上建立起来的。②

现在，笛卡尔详述的那种数学方法是什么呢？面对一组自然现象，科学家怎样入手呢？早在《指导心灵方向的规划》中，笛卡尔的回答是要区分实际过程中的两个步骤：直觉和演绎。“按照我的理解，直觉是指这个概念：一个明晰的、注意的心灵如此迅速而清楚地传给我们，以致于我们完全摆脱了对我们所理解的东西的怀疑”。③他引用一些基本命题来论证这一点，比如说我们思想和存在，一个三角形是只由三条直线围成的，等等。所谓演绎他指的是从直观上知道的事实中得到的一个必然推理链，它的结论的确实性是由直觉和它们在思想中的必要联系的记忆来知道的。④可是，当他在《规则》中继续前进时，他认识到只用这种命题方法来产生一门数学物理学是不充分的，因此引入简单本性的概念，作为除了这些公理命题之外直觉的另一种发现。所谓简单本性，他指的是像广延、形状、运动这样的物理对象的基本特征，可以认为现象是由这些基本特征的单元的数量组合产生的。他指出，广延中似乎必然包含形状、数量和不可透入性，这样广延和运动似乎就是事物最终的、不可还原的特性。当他从这点入手时，他已濒于一些最深远的发现，可是他却无法阻止思想的漫游，也不能作出他碰到的那些格外有意义的建议，这使得那些发现不能开花结果，长出他自己后来的成就和一般的科学成就。物体是在各种运动中具有广延的事物。我们要在数学上来处理它们。我们直观到这些简单本性，据此才能作出数学演绎。那么，当我们特别提到这一事实，即这些简单本性必须使广延和运动在数学上可以还原时，我们还能更精确地表述这个过程吗？笛卡尔试图这样做，但是在一些关键之处，他的思想却偏离了正轨，结果，笛卡尔的物理学不得已由伽利略-牛顿传统的物理学所取代。他问道，广延性的什么特点能够帮助我们测定现象的数学差异？他提出了三个这样的特点：量纲、统一性和外形。还不清楚这个分析是如何发展而来的，①但显然他的思想的一个一致的解决方法是：统一性是事物的一个特点，它使简单的算术或几何在它们之中获得一个立足点，外形关系到事物的各个部分的秩序，而量纲则是为了使每部分事实都不被数学还原漏掉而需要补充的特点。“所谓量纲，我不完全是指可以据以对一个题材进行测量的方式和方面，因此不仅长度、宽度和深度是量纲，而且重量也是据以对物体的重量进行估计的量纲。这样一来，速度是运动的一个量纲，类似的例子有无数个。”作为与长度、宽度和深度相类似的进一步的数学量纲，除了它们是运动的量纲而不是广延性的量纲外，重量、速度等的概念还含有很多在笛卡尔那儿，或者在后来的科学家的工作中完全没有认识到的可能性。要是笛卡尔已经成功地贯彻了他的思想，可能我们今天就会把质量和力看作数学量纲，而不是看作物理概念，这样，可能就不会作出当前在数学和物理科学

① 第一卷，第 56 页。

② 第一卷，第 62 页。

③ 第一卷，第 7 页。

④ 第一卷，第 8 页，第 45 页。

① 第一卷，第 61 页以下。

之间的区分。而且可能会理所当然地认为整个精密科学都是数学的——作为一个整体的科学就是一门不时添加新概念的博大精深的数学。按照这些新概念，现象的更多的特性变成数学上可还原的。在这个意义上，他可能会使世界皈依他在《哲学原理》第二册末尾的那一学说①：一切自然现象都可以用数学原理和给予它们的可靠论证来解释。他后来的著作中还有一些段落，在这些段落中他似乎仍把重量看作运动的一个量纲。他批评德谟克利特把重力看作是物体的一个本质特征，“如果就物体本身来考虑，那么我否认重力在任何物体中的存在，因为重力是一个相对于情景和运动，依赖于物体相互间拥有的关系的特性。”②可是，一般来说，他往往忘记了这个重要建议，我们发现他否认重量是物质本质的一部分，因为我们把火看作物质，即使火似乎根本没有重量。③他显然已忘记，他曾认为这种差异本身是数学的。

事实是，笛卡尔既是一位思想昂扬的思辩者，又是一位数学哲学家，一个关于天文-物理世界的广泛概念在他心中不断地得到深化，按照这一概念，他发现，对于伽利略正努力还原到严密的数学处理，可是只按照广延却不能这样来还原的特性进行一个相当粗略的处理是很容易的。他的方案实际上是把这些特性强加到一种毫无生气的以太上去，或者，正如笛卡尔通常所说的，强加到第一物质上去，这样就可以认为在这种以太中，被推动的物体不具有不能从外延中推导出来的特点。笛卡尔著名的涡漩理论便是这个气势磅礴、无所不包的思辩的最终产物。但是如何达到这个理论的呢？

① 《哲学原理》，第二部分，原理 64。

② 《原理》，第四部分，原理 202。

③ 《原理》，第二部分，原理 31。