数学方面

“证明其他现象”这个短语立刻就表明数学在牛顿的方法中的根本地位，在解释他那精心选择的标题——《自然哲学的数学原理》——的意义时， 他自己就对这点加以强调，顺便说，这个标题以简要的形式充分表示了这场新运动的根本假定。“我们奉献出这部著作，把它作为哲学的数学原理。⋯ 因为根据第一册中用数学证明的命题，我们从天体现象推出把物体吸向太阳和几颗行星的引力。然后，从这些引力中，通过其他数学命题，我们推出了行星、彗星、月球和海洋的运动。我希望我们可以用同样的推理，从力学原理中推出其余的自然现象；因为我有许多理由猜测这些自然现象可能全部取决于某些力，物体的质点就靠了这些力，由于一些迄今未知的原因，而相互吸引，凝聚成为有规律的形状，或者相互排斥，而彼此离散；这些力既然未知，因此哲学家们对自然的探求至今仍然徒劳无功；但我希望这里所阐述的一些原理能有助于说明这一点或某种比较合乎真理的哲学方法。”①

这段话立刻就把我们带入牛顿设想的数学在自然哲学中所起的中心作用，带入他的这一持久的希望——最终可以证明，一切自然现象都可以按照数学力学来说明。从迄今所引的他的评论来判断，这个科学程序是双重的： 从某些运动中推导出力，从迄今所知道的力中证明其他运动。

在他的《普遍算术》中，我们希望能找到对数学在哲学方法中的地位的有力陈述，那本著作包含了他 1673～1683 年在剑桥的演讲内容。可是在这里我们失望了，他对如何把问题翻译成为数学语言是有一些指示，但这些指示只适用于已明显涉及定量关系的问题。②这本书在哲学上最有趣的特点是把算术和代数提升为基本的数学科学，①这与笛卡尔、霍布斯、巴罗的“普遍几何”的观点是相对立的。只要在提供了最容易、最简单的证明方法的地方，算术、代数各自都被使用着。主要是方法论的考虑使牛顿产生了这种转变，他发明的微分运算向他提供了一个其操作不可能完全在几何上加以表达的工具。同时，在这些演讲中，他对方法的一些评注很有启发性。就我们要在代数上来处理力学和光学而论，我们必须引进符号，以表达我们在数学化简中所关心的它们的一切性质（例如运动和力的方向，以及光学图像的位置、亮度和清晰度）。①这个思想没有得到进一步的提炼，当牛顿转到详细的指示时，他没有告诉我们怎样挑出这些性质，而是理所当然地认为，它们已在现象之外得到清楚的分析。“因此提出任何问题，比较它所涉及到的值，不区别对待给

① 玻义耳，第五卷，第 163 页。

② 玻义耳，第五卷，第 163 页。

① 前言，莫特的译本。

① 拉尔夫森和坎恩的译本，伦敦，1769 年，第 174、177 页。

定的值和要寻求的值，考虑它们之间是如何相互依赖的，这样，通过综合性的分析，你就可以发现什么值——如果假定了它们的话——将给出其余的值。”②“因为你可以假设任何值，借助于它们就可以建立方程；只要留心， 从这些值你就可以得到与你假定的实际上未知的值一样多的方程。”③

但是，如果我们转到《光学》（这本首次出版于 1704 年的著作主要代表了他早在三四十年代就始做的工作），那么我们就会发现一些简要指示，它们指出了一个更一般的数学方法概念，我们认为牛顿可能已对这些概念作了适度的发展。“如果允许光学会有这些［关于光的折射和构成的］定理，那么就有充分的余地按照一种新的方式来对那门科学进行系统的处理；这种处理不仅要讲授那些使视觉达到完美的东西，而且要在数学上决定能够由折射产生的一切类型的颜色现象。为了要这样做，没有什么比找出混合光谱的分离以及它们在每个混合状态中的各种混合比例更重要的了。通过这种论证方式，与对此论据不太必要的其他一些现象相比，我发明了这些书中所描述的几乎一切现象；由于在这些试验中屡次成功，所以我敢允诺说，如果一个人正确地进行论证，然后用好的棱镜很谨慎地进行试验，那么所期待的现象就不会只是幻想。但他首先要知道什么颜色会从以任何指定的比例相混合的任何其他颜色中产生出来。”①在这里，通过把数学方法应用于颜色现象，而这样做，又是通过找出“混合光谱的分离以及它们在每个混合状态中的各种混合比例”，牛顿显然认为自己已经扩大了数学光学的界限。在第一册书的末尾，他这样总结了他在这一点上的结论：由于他对折射参数和反射参数的精确的实验确定，“颜色的科学就像光学的任何其他部分一样，是一种真正的数学沉思”。②牛顿渴望把另一组现象化简为数学公式，这种渴望又一次证明了数学在他的著作中的根本地位，可是就他完成那种化简的方法而论，他的阐述过份简要，没有太大的帮助。让我们转到他的方法的另一个同样重要的方面——实验方面。