二、数学中前哥白尼进步的形而上学意义

第三，通常属于数学史的某些事实在这方面具有至关重要的意义。它们对我们的研究是如此重要，以致于我们必须停下来对之进行适度的分析。除了最近的两个世纪——在此期间，在数学思维中，高等代数在很大程度上已把人的心灵从对空间表达的依赖性中解放出来——之外，几何学总是占据着优越地位的数学科学，这对数学家来说简直是一个常识。在几何学里，正如开普勒所评注的那样，②在严密的数学推理中可能达到的确定性，在每一步上都是与可见的外在形象同源的，因此在抽象思维中颇无能力的许多人都乐意掌握几何方法。在古代，正如文学著作以及我们所掌握的专题论文所表明的那样，算术是密切依赖于几何学发展起来的。每当柏拉图（正如在《美诺篇》中那样）要论证他最得意的某个论点时，他总要转到数学上来，例如，他的回忆说认为所使用的命题总是能在几何上展现出来的命题。著名的毕达哥拉斯学说——世界是由数构成的——很难为现代人所理解，只有到他们认识到数的含义是指几何单元，亦即柏拉图后来在他的《蒂迈欧篇》一中所接受的几何原子论时，这种情况才有改观。这个学说意味着宇宙的基本要素是有限的空间部分。古代人把光学和力学处理为数学的分支，就此而论，他们习惯于按照这些科学中的空间形象来进行思考，并且以几何学来表达他们所知道的一切。

在中世纪晚期，当时对数学研究似乎有一种有力的复兴，同样的假定和方法被视为理所当然的，一种热情的期望得到表达，即有可能对自然进行充分的数学解释。罗吉尔·培根①热情地采纳了这些假定，分享这整个热情；培根之后的两个世纪，伟大而多才多艺的思想家列奥纳多·达·芬奇出色地成为这场发展的领袖。数学在科学研究中的重要性得到有力的申明：“谁不是一位按照我的原则进行思维的数学家，他就必定没有读过我。”②“呵，学者们，研究数学吧！不要做无基础的建设。”达·芬奇在数学、水力学和光学中进行了大量实验，在所有这些实验中，他都把这一信条看作是理所当然的，即：可靠的结论要在数学上表示和在几何上表达出来。在由哥白尼那本划时代的著作的出现所标志的下一个世纪期间，一切重要的思想家都在力学和其他数理科学中采纳了几何方法。塔塔格里亚①的那本出版于 1537 年的《新科学》（Nova Scienza）便把这种方法应用于某些关于落体和抛射体的最大范围的问题，而斯特维努斯②则使用了一种通过几何设计来表达力、运动和时间的明确方案。

按照迄今简要地加以总结的这些主要事实，当在 15 世纪和 16 世纪开始更广泛地运用代数符号时，数学家们只能慢慢地把他们的思维从对几何表达的不断依赖中分离出来。让我们仔细研究一下代数发展发生的方式，在那几个世纪中，数学研究的流行目标主要是处理方程理论，尤其是处理二次方程

② 《约翰·开普勒天文学著作全集》，费希·法兰克福和爱尔朗根编辑，1858 年，第八卷，第 148 页。

① W．W．R．巴尔：《数学史简论》，第四版，伦敦，1912 年，第 175 页。也可参见罗伯特·史蒂尔：

《罗吉尔·培根和 13 世纪的科学状况》（载辛格：《科学史和科学方法研究》，第二卷，伦敦，1921 年）。

② H．霍普斯托克：《作为解剖学家的达·芬奇》（辛格，第二卷）。

① 尼古拉·塔塔格里亚（1500—57），意大利数学家。——译注

② 西蒙·斯特维努斯（1548—1620），荷兰工程师，发明家。——译注

和三次方程的简化和求解的方法。例如：巴乔洛③（约死于 1510 年）便主要致力于用不断增长的代数知识来分析几何图形的性质，他处理这样的问题，比如说：一个内接三角形的半径是四英寸，由这个接触点所划分的一条边的两段是六英寸和八英寸，找到其他两边。④现代的学生马上就会用简单的代数方程来解决这一问题。但巴乔洛发现只能通过精心的几何构造来解决这一问题，使用代数只有助于他发现所要求的各条线的长度。类似地，在 16 世纪，总是用几何方法来求二次方程和三次方程的解。W．W．R．巴尔给出了卡达鲁斯用这种麻烦的方式来求解三次方程 x³＋qx＝r 的有趣例子。⑤我们很容易认识到，当近代代数最终成功地把它自己从空间概念的束缚中解放出来时，那必将会发生一个多么大的进步。但同时，隐蔽在代数符号中的种种巨大的可能性正迅速展开，数学家们正逐渐了解更复杂的过程，虽然他们还在依赖几何表达对其工作的帮助。到卡达鲁斯的时代为止，一些比较复杂的问题占据着人们的头脑，这些问题涉及到不改变值的频繁变换，尤其是把复杂项化简为简单项，用几何表达的语言来说，这对这些思想家意味着把复杂图形化简为简单图形，而最终得到的简单的三角形或圆被看作是它所取代的图形的那种更麻烦的组合的等价物。这往往是一个相当复杂的过程，为了帮助数学家的这种可怜努力，人们发明了种种机械方案。伽利略在 1597 年推出了一种几何仪，它由一套把无规则的图形化简为有规则的图形，把有规则的图形的组合化简为简单图形的详细规则构成，它可应用于这样一些特殊问题，比如说取平方根，找到平均比例等等。这种标志着 16 世纪数学的基本特征的几何化简，对于我们理解哥白尼是根本的。它是哥白尼的运动的相对性学说的一个本质因素。

最后，从古代和中世纪一直到伽利略时代的整个历程中，天文学都被看

作是数学即几何学的一个分支。数学作为一门理想科学的概念，尤其是几何学作为处理理想空间，而不是处理宇宙所处的实际空间的概念，在霍布斯之前是一个没有得到明确表述的目前概念，只是从 18 世纪中期起这个概念才得到认真考虑，虽然哥白尼的一些亚里士多德式的反对者曾在黑暗中摸索过这一概念。对于向他们的物质概念提供明确思路的一切古代的和中世纪的思想家来说，几何空间似乎一直是真实宇宙空间。在毕达哥拉斯派和柏拉图主义者的情形中，二者的同一性是一个重要的形而上学学说；在其他学派的情形中，似乎已做出同样的假定，只是没有沿着宇宙学路线思索出这个假定的意义。欧几里得理所当然地认为物理空间（χωρiου）是几何学的王国；①，后来的数学家使用了他的术语，在可得到的著作中，处处都没有迹象表明人们另作他想。当一些人像亚里士多德一样以截然不同的方式来定义空间时，②应该注意到这个定义仍然是这样的，以致于几何学家的需要充分地得到满足。在古代天文学家当中，大的争端不是在几何学领域和天文学空间的同一

③ 卢夫·巴乔洛（约 1445— 约 1510），意大利修道士·数学家。——译注

④ 巴尔：《简论》，第 211 页以下。

⑤ 同前引，第 224 页以下。

① 欧几里得：《几何原理》第一册，公理 8 和 10，也见命题Ⅳ；第六册，命题Ⅲ和Ⅶ；尤其是第七册，命题Ⅱ。罗伯特·希思爵士在对希腊文本里一册的编辑中怀疑第二段和第三段的真实性。可是，如果有所篡改的话，这两段应从古代就开始了，所以我看对那个词在欧几里得那儿的其他用法没有什么问题。

② 在被封闭者的边上封闭体的界限。《物理学》，Ⅳ，4.Гóπos 是亚里士多德的词。

性这一根本点上，而是在这一问题上：如果天文学现象意味着拒斥一个思辩的物理天体结构理论，那么“拯救这种天文学现象”的一套方便的几何图形是否还能得到合适使用。③有可能的是，在对此问题给予肯定回答的一些人看来，一点朝气蓬勃的实证主义就足以导致对关于那个问题的一切形而上学假定的怀疑，这样在他们的心中，几何学世界与天文学世界的关系很难说不只是方法论的关系。比如说，托勒密在《至大论》（Almagest）第一章中拒斥了在物理上（亦即形而上学上）解释天文学现象的试图，可是还清楚，这是不是主要想漠视那些人，他们用有关同心圆等等的思辩来束缚他那自由的几何学方法，或者，这实际上是否意味着缺乏关于天文学王国之本质的一切假定。尤其是对感觉来说，当这意味着天体似乎以最纯粹的形式表示了几何学王国时，在古代世界中，很少有人能够具有这样一种程度的实证主义。太阳和月亮是完美的圆，星星只是纯粹空间中发光的点。的确，它们被认为是某种物体，所以不只是具有几何特征，但是没有办法研究非几何的特征。这样肯定很不容易提出这样的问题，它们会暗示几何王国和天文空间之间的差异。其实，我们知道，总的来说，天文学比算术更接近纯粹数学的几何理想。阿尔法拉比和罗吉尔·培根提供的对数学科学的典型列举是按照这样的秩序排列的：几何学、天文学、算术、音乐。这种秩序部分是由于赋予天体的那种高度尊严，部分是由于这一事实：算术的主要应用是商业的。但不完全是这样。天文学比算术更像几何学。只有天体的几何学才是本质的东西；因此人们很容易认为，凡是在几何学中为真的东西必定而且完全对天文学为真。

现在，如果天文学只是几何学的分支，如果代数方程的变换和化简始终是以上述几何方法来进行的，这种方法指出代数问题本质上仍然是几何问题，那么我们要等待多长时间，才能出现一位思想家提出这种化简在天文学中为什么不是可能的问题吗？如果天文学就是数学，那么它必须略带几分数学价值的相对性，那么按照我们的天体图来表示的运动必定完全是相对的，这样，就真理而言，把什么点看作是整个空间系统的参考点并没有什么分别。

这种见解在古代已部分地被托勒密本人考虑到；面对这样那样的天体宇宙学的拥护者，托勒密竟敢宣称，用那“拯救现象”的最简单的几何方案来解释天文学事实是合法的，不管其形而上学是否会被推翻。”可是，他的地球的物理结构概念却阻止他认真贯彻这个相对性原理，正如他对地球运动假说的反对充分表明的那样。①哥白尼是认真贯彻这一原理的第一位天文学家，而且他也充分认识到这个原理的革命意义。

让我们简要地理解数学相对性原理在天文学中的意义。天文学家观察到的东西，是在其观察点和天体之间的一套有规律地发生变化的关系。在缺乏任何有力的相反建议时，他们自然会把其观察点看作科学中的参考点。还在天文学的幼年时期，不久便发现地球必定是一个球体，于是地球便成为天体运动图绘制中的稳定点（terra firma），它是其他一切事物所参考的不动的中心。按照这一假定行动，并且得到本章早先提及的一切考虑的支持，天文学家就不得不像托勒密那样在几何上表示这个实际上不断变化的关系体

③ 对这整个问题的最有趣的处理，参见 P．迪昂：《论从柏拉图到伽利略的理论物理学概念》，巴黎，1908

年。

① 例如：“如果存在运动，那么它必定与地球的巨大质量成正比，那么它就会超过被抛入空中的动物和物体。”

系，他的等径圆周、圆心轨迹、本轮和偏心轨道的方案按此假定尽可能简单地构成对这些事实的表达。哥白尼所发现的是：通过对托勒密的高度复杂的行星几何学进行数学简化，就能得到确实同样的结果。让我们举一个例子，这个例子与关于天体运动的任何实际事实相比过份简单，但是它证明了这一点。从作为参考点的 E 我们观察到一个天体 D 的运动。结果，当它是（比如说）处于 G 的另一个相反的物体 S 时，看起来它就比它处于其轨道的另一边

（比如在 F）时要大得多。我们可以用以 E 为圆心的一个圆 ABC 和以这个圆上的点为圆心的一个圆 ABD 的组合来表达它的运动。让我们假设这两个圆中的每一个都绕箭头所示的方向旋转，每个圆完整的旋转都在同时完成。这样在圆 ABD 上的点 D 将划出一段路径 DGCF，而如果恰当地选择半径和速度，那么这段路径将很好地对应于观察到的事实。但明显的是，在物体 S 的方向上必定存在着某个点，它是结果得到的圆形路径 DGCF 的中心，如果把这个中心看作参考点，那么就可以用一个圆而不是两个圆来表达有关事实。假设这些事实并不否认把那个点确定为 S 的中心。进一步假设受到图示运动的简化的鼓舞，我们注意到，在行星 D 的运动中出现的某些无规律性——只有通过添加圆圈我们才能表达这些无规律性——在一定的时间里完成它们自己，而这个时间与物体 S 在围绕 E 的视运动中完成一个重要的年变化的时间完全一样。我们把 S 看作是静止的，把我们的参考点 E 和行星 D 都看作是绕它而运动的，那么这颗行星的不规律性和 S 运动中的年变化便相互抵消了。因此在取代一个以 E 为参考点运动且已开始变得笨重繁琐的系统时，我们便有了由围绕 S 的两个圆运动构成的简单系统。这就是哥白尼思考出其新天文学的方式。作为他的工作的一个结果，为这一假定——要把 E 而不是把 S 维护为参考点——所要求的一切本轮都被排除掉。从数学上来看，不存在孰是孰非的问题。就天文学就是数学而论，二者都是真的，因为二者都表达了事实，但一个比另一个更简单、更和谐。

一个特殊事件导致哥白尼考虑天文学中的一个新参考点，这就是他的这一发现，古代人在那件事上已有分歧。托勒密体系并不是已发展起来的唯一理论。①

“因此，当我对传统数学的不确定性思绪良久时，我开始对此表示厌倦；在对这个天体的其他方面的研究如此细微的哲学家当中，还不曾有对万物的最伟大最系统的创造者以我们的名义建立起来的这部世界机器的运动的比较明确的说明。为此我自己承担起重读我能弄到手的一切哲学家的著作的重任，试图发现是否已有人猜测宇宙天体的运动就是在学校里教授数学的那些人所认为的那个样子。我首先发现，在西塞罗看来，尼斯塔斯已教导说地球是运动的。后来我又发现，依普鲁塔克之见，其他某些人也持有同样的建议。⋯

“因此，从这点来看，当我设想这一建议的可能性时，我自己也开始沉思地球的可动性。虽然这个建议看似荒谬，可是我知道，在我之前，别人也有自由想象他们乐意用来说明天体现象的无论什么圆圈，我认为别人也乐意让我试验一下通过假设地球有某种运动，是否能够发现关于天体运转的比他人的论证要有力得多的论证。

“因此，假设我后来在本书中赋予地球的这些运动，我通过长期的大量观察发现，如果把其他行星的运动附加到地球的旋转之上，并且就地珠的公转来计算这些运动，那么不仅能由此

① 哥白尼《天体运行论》，给教皇保罗三世的信。

推出其他现象，而且一切行星，一切天体以及天国本身的秩序和等级也就变得如此密切，以致于如果其他部分乃至整个宇宙不发生混乱，那么没有任何单一部分中的一个东西会发生变化。由于这一缘由，在整个工作过程中我一直遵循这个体系”⋯⋯

同样，在大约写于 1530 年的那本简要的《概要》（commentariolus）中，在描述了他对古代天文学家的不满（因为他们不能得到一个不该违反均匀速度公设的一致的天体几何学）之后①，他说道：

“因此这种理论似乎不太确定，而且也不太具合理性。所以当我已注意到这些东西时，我经常考虑，是否有可能以这样一种方式发现一切表面的多样性都依赖的一个更合理的圆圈体系，以致于每颗行星都像绝对运动原理所要求的那样均匀地运动，在攻击一个明显有困难而且几乎不可阐明的问题时，我恰巧碰到了一种解决方法，如果把某些称为公理的假定给予我的话，那么这种解决方法就可以由比古代传递下来的那些结构更少、更方便的结构来达到⋯

“按照这些前提，我试图简要地表明运动的一致性能够被多么简单地保留下来。⋯”②

这些引文清梦地表明，对哥白尼的心灵来说，地球是否运动的问题不是真假的问题，绝不是。他直接把地球包括在托勒密只就天体所问的问题当中；为了得到将与这些事实相符合的最简单最和谐的天体几何学，我们应该把什么运动赋予地球呢？哥白尼能够以这种方式提出这一问题，这充分证明他的思想是与刚才列举的数学发展相连续的，这也就是他为什么不断地求助于数学家，把他们看作是唯一能公正地判断这个新理论的人的原因。他们至少会欣赏和接受他的观点，他对此相当自信。

“我不怀疑博学灵巧的数学家们会同意我：如果从一开始就需要什么哲学的话，那么他们会审视和判断——不是随便地而是深刻地——我在本书中为了证明这些东西而收集起来的材料。”“数学是为数学家而写的，对他们来说，如果我没有犯错误的话，那么我的这些工作似乎就是对数学的一份贡献⋯”“在这点上我所取得的⋯成就，就是我留给陛下您、留给其他一切博学的数学家去判断的成就。”“总是会有一些愚昧的代言人，他们，以及那些对整个数学一无所知的人，可能碰巧会来判断这些东西，而且由于他们对《圣经》中的某些段落的别有用心的歪曲，他们竟敢攻击我的工作，对于这种人我置之不理，他们的判断纯属轻率之举。”①

毫不惊奇，在哥白尼学说以更经验的方式得到确认之前的这匆匆而逝的60 年里，与之胆敢相处的那些人实际上都是功成名就的数学家，他们的思维是与那个时代的数学进展完全一致的。

① 这是一个根本上取决于宗教基础的原则。原因（上帝）是不断持续的，因此结果必定是均匀的（《天体运行论》第一册，第八章）。

② 《概要》，Fol．Ia．b2a

① 这些引文均引自哥白尼在《天体运行论》中给教皇保罗三世的信，参见第一册第七章和第十章。