六、作业

判断下列命题是否正确：

一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。
有一个角与相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形。2．证明平行四边形的判定定理

2、3。

说明：平行四边形的判定应安排两课时，以上设计是第一课时的内容。第二课研究课本例 1 和例 2，着重对例 1 进行探索和展望的引导，并进行一题多证的训练。进一步熟悉判定定理及其应用。

（马石骑）评：关于教学方法的定义很多，我比较同意王策三教授《教学论稿》中

的定义：“为达到教学目的、实现教学内容，运用教学手段而进行的，由教学原则指导的，一整套方式组成的，师生相互作用的活动。”

教学方法是一系列的活动，它是有目的的活动和师生相互作用的活动以

及一定动作结合的活动，而且它还是按照一定的教学原则调节的活动。对于教学方法，下面几点是应该注意的： 1．教学方法是反映着一定的教学思想的。

由教学内容决定着教学方法，而不是由教学方法决定教学内容。
任何教学方法都有它自己适用的范围和条件，不是放之四海而皆准的，也不是万能的。

作为本节课的教学内容来说，我想应该解决三个问题：第一，平行四边形判定定理的引入；第二，平行四边形判定定理的证明；第三，平行四边形判定定理的初步应用。下面分别来分析一下：

一、关于判定定理的引入。判定定理与性质定理的关系学生不是第一次见到。学生在平行线处见到过，在三角形处也见到过。不过，在平行线处，先出判定定理。再出性质定理；在三角形处，只出判定定理。所以平行线的判定与性质，应当作为引入木节课的类比之物。从这里来引入就会很自然的。但是石老师说：“根据以往研究几何图形的经验，当我们研究过它的定义和性质之后，通常还要研究什么呢？”教师的目的是要说研究判定定理，但从上面分析看，以往没有这方面的经验，这句话实际上是落空的。

再以平行线的判定与性质来看：

判定性质

同位角相等，两直线平行。 1．两直线平行，同位角相等。
内错角相等，两直线平行。 2·两直线平行，内错角相等。
同旁内角互补，两直线平 3．两直线平行，同旁内角互行。

补。

由此可见，它们是对应的。由此可以自然地想到学习了平行四边形的性质定理后，会不会有相应的判定定理？最初的猜想应该是这样的：

性质判定

平行四边形的对角相等。 1．两组对角分别相等的四边形是平
平行四边形的对边相等。行四边形。
平行四边形的对角线互 2．两组对边分别相等的四边形是平相平分。

行四边形。 3．对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4．一组对边平行且相等的四边形是行四边形。

这种互逆关系出现了两个问题：第一，与学生原有的经验的矛盾，不象平行线那样具有对应关系，这里，多了一个“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这个命题；第二，与教材中的结构矛盾，教材把上述命题作为判定定理 1，而把本应作为判定定理 1 的“两组对角分别相等的四边形是

平行四边形”，放到练习中去了。

我认为借用学生已有经验，以及如何来克服这两个矛盾是判定定理引入所要解决的问题，为此，教学法也要在这里做文章。

石老师注意到了这一点，他在引导 1 里得出运用定义判定。其实这是最原始、最重要的判定。定义集性质与判定于一身，什么时候都不要忽略定义。石老师又提出引导 2，“判定定理和性质定理之间往往又存在着互逆关系”，这句话的目的是要充分调动学生原有的经验，特别是平行线的性质与判定间的关系的经验。但是，这样做仍未解决上述的两个矛盾。石老师接着提出引导 3，他是这样提的：由于定义是运用了两组对边平行，性质定理 2 是运用了两组对边相等，这里有一个共同点，都是两组对边，能不能用一组对边的关系去判定平行四边形呢？然后考察只有一组对边平行能否判定（与定义不符）；只有一组对边相等能否判定（举反例），而引出一组对边平行且相等的判定定理，并且把它放在判定定理的最后，同时又把两组对角分别相等的判定定理从练习里提出来，放在正文里。石老师通过这种处理去解决学生的经验与教材结构之间的矛盾，已经想方设法尽了最大的努力了，但仍有生硬之嫌，这恐怕由于未彻底改变教材结构所致。

我认为，教师的引导实际是一种导向作用，把学生往哪个方向引，引导体现了教师的主导作用。在课堂教学中，导向一般表现在以下几个主要方面：对课堂教学的整体设计，包括广度、深度、逻辑展开等；充分运用学生已有的知识与经验，在新旧知识的结合点上下功夫等等。这节课经石老师这样处理，效果要比按课本照本宣科好多了，从这里我们体会到方法不能离开内容也就是这个道理。

二、关于判定定理的证明。这里有如下几个问题要解决：①为什么要先证明判定定理 1；②在证明判定定理 1 时，辅助线的引入；③探讨证明其他判定定理有几条思路？下面我们来分析一下这几个问题：

石老师原来的教案上是这样引导的：“以转化途径的难易程度上加以比较”，“还可以从后续的证明过程中强化这一体会”，并以这两条理由断定先证判定定理 1 的道理。我认为似乎理由并不充分。从难易程度上来看，其实这几个判定定理的难易程度都差不多，除了证“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”要用到四边形内角和与同旁内角互补，其它定理证明的手法都差不多，无非除判定定理 1 外，其它定理证明中，要同理重复一次。再说，后续证明要用判定定理 1，理由也不充分，其一，学生现在体会不到；其二，为追求判定定理间的独立，一般在证明过程中，不引用已证判定定理，而往往归结到定义。现在石老师在上课时变动了教案，石老师是从几个判定定理都与定义作比较，哪个命题与定义较接近，从而寻找到先证判定定理 1，这样处理就较为顺理成章了。

下面谈谈关于引辅助线的问题。由于学生在学平行四边形性质定理时，已有这方面的经验。同时所给条件与图形本身就有这种暗示；该引一条辅助

线把平行四边形划分为两个三角形，因而这条辅助线尽管没画出但是明摆着的。所以，这里学生得出辅助线不会感到太大困难，倒是应该让学生引出辅助线后，要他们讲讲思路，说说道理。这一点石老师是注意到了，而且做得很好，这是很好的。

最后再说说，证明其他判定定理有几条途径问题，如果说证明都归结到定义，然后再用其他判定定理证明，那是无可非议的，因为这样可以拓广学生的思路。但如果只用前证定理来证，这样正如前述，一方面破坏了它们的独立性；另一方面，弄不好可能会出现循环论证。

综上所述，一个教师对于教材的理解与处理是至关重要的，并且方法是服从于内容的。

三、关于应用。这里要解决两个问题，一是几个判定定理的直接的、初步的应用；二是性质定理与判定定理的区别。石老师的安排是，把原来课本中的练习 2：“把两个全等的三角形，按不同的方法拼成四边形，可以拼成几个不同的四边形，它们都是平行四边形吗？为什么，”演变成教案中的例1，并采用对折和旋转的方式提出。原课本中的例 1，即教案中的例 2，而且还要变更它。对于教案中的例 2，把它删去了。这样处理是好的，因为一是时间不够，二是太难，脱离了学生的实际。

围绕上面两个应用的目的，我们再来看一看：

①对于例 1，几个判定定理的应用较全。如“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，特别是后者，在研究特殊平行四边形时常要用到。

②平行四边形的性质定理与判定定理交替使用，从而明确它们的区别，这在这节课里似乎做得还不够。其实课本练习 3 中性质与判定两者都要用到，但石老师把它删掉了。

上面提到一些问题，是不是石老师这堂课无可取之处了呢？不是的，石老师这堂课优点还是很多的，如①本节课始终把学生放在首位，发挥学生主体地位很好，多次让学生发表意见、议论。②我特别同意石老师对自学的看法。自学不只是学生看书，自学是学生主动地通过自己的脑子独立地获取新知识，这里可以是看书、议论、听教师讲解等都是自学的手段，从这个意义上来说，这节课自学也是贯彻得比较好的。③弥补了班级授课制的不足，班级授课制只能面对大多数，而对学习好和稍差的同学，照顾得就不那么周全了，但是，通过议论，可以作些弥补，这堂课这方面是明显的。④议论可使学生思想沟通，并且发展学生的语言表达能力。⑤石老师注意调动学生的原有的知识和经验，这是上好一堂课的基本保证。⑥课堂空气比较融洽，师生感情交流，有利于造成一种积极思维的环境，等等。由于上述的优点，保证了教学目的达到，所以这堂课是一堂好课。是一堂成功的课。

我之所以要提出上面这些问题，无非想说明两个基本观点。

第一，教学方法是由教学目的、教学内容决定的。不是教学方法决定的

教学内容，即不是为了要实施某种方法，使教学内容服从它，如果这样，那就本末倒置了。

第二，教师要驾驭教材。教材是教学的依据，教师应该尊重它，这是对的，但这并不等于说，教师一点不能变通教材。例如，把“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”放在练习中就不合适，应列入正文，石老师正是这样做的。同时为了更好地解决学生的认识结构与知识结构的矛盾，不妨在前面讲性质定理时，加一条性质定理 4：“平行四边形的一组对边平行且相等”，而其逆（就是现在的判定定理 1）作为判定定理 4 放在最后。再把“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”从练习里提出来，也作为判定定理。这样性质定理与判定定理完全吻合了。我认为这样改动就是教师驾驭了教

材。这是容许的，也是应该提倡的。

（曹才翰石骑）