公共弦与公切线变式训练教案设计

在涉及两个圆的问题中，“公共弦”、“公切线”是常用的辅助线。当两圆相交时，常连公共弦，而当两圆相切时，常添公切线。下面这组变式题， 是从第二册《几何》（人教社 89 年版）搜集到的，就很能体现以上解题规律。在实际教学中，用“运动变化”观点加以解释，能收到更好的教学效果。

基本题

⊙O1 和⊙O2 相交于 A、B 两点，经过点 A 的直线 CD 与⊙O1 交于点 C，与

⊙O2 交于点 D，经过点 B 的直线 EF，与⊙O1 交于点 E，与⊙O2 交于点 F，求证：CE∥DF。（第 88 页例 1）

分析

连结 AB（公共弦），将四边形 CDFE 分成两个圆内接四边形，利用“圆内接四边形对角互补”的性质即可得证。

事实上，适合原题题意的图形还有两种，辅助线仍然是连公共弦。

变式 3，在上题的基础上增加条件“CD∥EF”，求证：CE=DF、CD=EF。

（第 128 页 4 题）

依据基本题的结果，连结公共弦 AB 后便有 CE∥DF，又有 CD∥EF，∴四边形 CDEF 是平行四边形，从而得证。（只画了三种图形中的第一种）

变式 4，CT 是⊙O1 的切线，求证：CT∥DF。（第 129 页 8 题，字母有所改变，下同）

从运动变化的观点看，上题两直线旋转成平行，这题旋转成点 C、E 重合。变式 5，当两直线旋转到交点在圆内时，仍有结论：CE∥DF。

变式 6，当两直线的运动变化穷尽以后，相交两圆可运动至外切，这时 A、B 两点重合，仍有 CE∥DF，如图 7，这时辅助线改为添公切线，证题依据由“圆内接四边形性质定理”改为“弦切角定理”（第 129 页 5 题）。

变式 7，两圆也可变化成内切。（第 129 页 6 题）

变式 8，在上题的基础上，CE 逐渐向⊙O2 靠近，由“相离”的位置关系变成“相交”，则有∠CAM=∠EAN。（第 164 页 20（1）题）

变式 9，CE 与⊙O2 的位置关系也可变成“相切”，则有∠CAM=∠EAM，

（第 164 页 20（2）题）变式 10，我们还有结论 AD∶AF=CM∶EM，这已是一道较难的几何证明题了。添公切线 AT 后，据变式 9，有 AM 平分∠CAE，从而CM∶EM=AC∶AE，再连结 DF，据变式 7，有 DF∥CE，从而 AD∶AF=AC∶AE，所以有结论 AD∶AF=CM∶EM。

（罗腾根）