解斜三角形与解直角三角形的转化教案设计

解三角形可以分为两类：一类是解直角三角形，另一类是解斜三角形。解三角形主要依据是正弦定理和余弦定理。直角三角形中的锐角正弦定义是正弦定理的特例，直角三角形中常用的勾股定理也是余弦定理的特例。复杂的解三角形的习题往往是直角三角形和斜三角形出现在一个图形中，要解决这类问题除了掌握一般解三角形的基础知识外，还必须熟练地掌握两种三角

形在解法上的相互转化。

形的转化斜三角形转化为直角三角形来解斜三角形时经常遇到求 15

°、75°、105°角的正弦值或余弦值，而在特定的环境下又不允许查表，这类问题可以通过添加斜三角形某边上的高线，把解三角形构造成两个可解的直角三角形来解。

例1 △ABC中，∠B = 45°，∠BAC = 105°，AB = 2 2。求BC

分析：若用正弦定理来解，则BC = AB·sin∠BAC

sinC

= 2 2· sin∠105° ，但sin105°的值题目中没给，无法解。可转化为直角

sin 30°

三角形来解，为此作 AD⊥BC 于 D，把△ABC 分割成两个直角三角形 ABD 和ADC。这样，∠1=45°，∠2=60°，解 Rt△ABD 得到 BD=AD=2，

再解Rt△ADC得到DC = 2 3。所以： BC = BD + DC = 2＋2 3 。

一般来讲，在已知一边的条件下，具有下列度数的斜三角形，通过添加某边上的高线，构造成两个可解的直角三角形来解较方便。

（1）30°、105°、45°；

（2）45°、75°、60°；

（3）60°、60°、60°；

（4）15°、30°、135°；

（5）120°、45°、15°；

（6）120°、30°、30°。

例 2 △ABC 中，∠B=120°，∠BAC=15°，BC=2。求：AB、AC。

解：作 BC 边上的高AD，则∠ABD=180°-∠ABC=60°，∠C=∠ABD-∠BAC=60

°-15°=45°。设 BD=x，由 Rt△ABD 可得 AB=2x，

AD = 3x，由Rt△ACD可得AD = CD = x + 2，AC = 2（x + 2），列出方程：

3x = 2 + x，解此方程得x =

∴AB = 2x = + 2，

+ 1。

AC =

2（x + 2） = 3

+ 6。

由此例可以看出，解题的关键在于作出一边上的高，且一定使构造出来的两个 Rt△可解，本例若作其它两边上的高是毫无用处的。

（彭广仁）