滑车

暂时离开浑沌，先讲清定态（steady state）运动类型。所谓定态， 是相对于暂态而言的。定态不一定是稳定的（stable）。吸引的定态是稳定的定态（SSS），这是物理上人们最关心的运动。何谓“稳定”？有多种说法，简单说有“运动稳定”和“结构稳定”两大类。前者是对运动轨道扰动而言的，后者是对模型扰动、函数扰动而言的。

比点吸引子复杂的吸引子有极限环（limitcycle）吸引子、极限环面

（limittorus）吸引子，以及本书最关心的奇怪（strange）吸引子——浑沌吸引子。

之后还有没有新的吸引子了？很遗憾，我不知道。谁知道？目前恐怕谁都不知道。

孤立的闭轨叫做极限环。保守系统有闭轨，但闭轨并不孤立，所以不可能有极限环。在有确定阻尼但无驱动的耗散系统中，只能出现不动点，也不能出现极限环。

出现极限环运动的系统可分两类： 1）自激振荡系统。系统一定是耗散的、非线性的、变阻尼的无驱动系

统。干摩擦可以引起自激振荡，钟表机构则更是典型的自激振荡。 2）受迫振荡系统。系统一定是耗散的、非线性的受外界策动力驱动的

系统。

图 5—3 是范德坡方程

d² x

dt ²

＋(x

2 －1) dx ＋x＝0

dt

所拥有的一种极限环。环外的轨道被吸向环，环内的轨道也被吸向环。中心点 O 是一个“源”。极限环也有多种，有双侧稳定的（称稳定极限环）， 有单侧稳定的，也有双侧不稳定的。极限环也不限于二维的环，还有三维、四维的极限环以及 N 维极限环。比如图 5—4（1）就是一个三维的极限环， 轨道首尾衔接，5—4（2）则不是极限环，轨道将游遍整体环面。

在实际研究中，如果找到了微分方程，可以直接运用庞加莱-班迪克斯

（Poincare-Bendixson）定理讨论极限环的存在性。看下列非线性系统

dx ＝－y＋x[1－(x²＋y ² )], dt

dy ＝x＋y[1－(x ²＋y² )]. dt

容易找到 O（0，0）是不稳定平衡点（不稳定焦点），而圆 x2＋y2＝1 是其稳定极限环。

环内的轨道演化时向外旋，环外的轨道演化向内旋，最后都落到稳定极限环（单位圆）上。

更特别的是，此非线性方程组可以精确求出解析解：

当 C 大于 0 时，解处于极限环（这里是单位圆）之内，当时间 t 趋于正无穷大时，解趋向于极限环。当 C 大于－1 小于 0 时，解处于极限环之外， 当时间 t 趋于正无穷大时，解也趋于极限环。所以此极限环是稳定的。

不管极限环如何复杂，它都代表周期运动。取极限环上任意一点作为初始状态，经过一定时间后，总可以准确地回到这一点，而且它将周而复始地永远重复老路子。

极限环难理解吗？一点也不。大家可能去北京石景山游乐场玩过“滑

车”（过山车）。极限环就是这个样子，轨道上的小车永远沿着轨道运动， 尽管时而转弯时而加速，但总会回到你上车的地点，如果滑行不出意外—— 如轨道突然断裂或滑车出轨。你还想到了，滑车轨道是三维的、扭曲的环， 因为你坐在车上有时侧着身，有时头还朝下。