非线性引出复杂性

用计算机算天气，思想渊源可推到里查逊（L.F.Richard-son）和冯·诺伊曼，后来计算机科学与气象学真正平行发展，前者的历史也恰好是后者的历史，尽管后者只是前者的一种具体应用。

但直到 60 年代，气象学家通过计算机才对非线性的复杂性有初步认识。洛仑兹（E.Lorenz）本来是学数学的，1938 年大学毕业后，由于第二次世界大战，他偶然变成了空军气象预报员。战后他决定继续研究气象学。在麻省理工学院他操作着在今日看来极其笨重的“皇家马克比”计算机——启动后发出刺耳尖叫声、每周都要出一次故障的机器。洛仑兹就是用这种当时比较先进的东西模拟天气，似乎没有人真正相信这东西演示的结果，所以大家戏称它处理的气象是“玩具气象”。可是，正是从这种计算中，洛仑兹做出了重大发现：长期天气预报不可能！

不加解释的话，上面的断言可能遭到各种攻击。

天气预报，不是每天都在做吗？如果长期预报不可能，为什么还有天气趋势报告？

要点在于“趋势报告”不同于真正的“预报”。粗略地说，迄今为止，两天以内的天气预报比较可信，第三天的预报可以相信 70％，三天以上的预报可信度很低，一周以上的预报仍然不可能。

当然，搞气象的对于一周、二周以至一个月后的天气也还是能说些什么的；但那不是预报，而是就“平均”情况大概说说。严格说预报是不能讲“平均”的，因为某一天的“平均”气温意义不大，不预报人们也能猜出。 1987

年 7 月作者在内蒙古巴林左旗地质实习一个月，那里的昼夜温差很大，早晚要穿毛衣，中午要穿衬衫，预报员告诉你一个平均温度毫无意义。

洛仑兹因为是学数学的，所以喜欢摆弄数学模型，他不在乎简化，事实上没有简化就没有科学。他从热对流问题的偏微分方程入手，得到 12 个常

微分方程，再作简化，最后得到 3 个一阶微分方程，它们构成一个系统—— 三阶微分方程组，后来名扬四海，大家称之为洛仑兹方程，由此方程导出了“蝴蝶效应”，以及天气系统长期行为不可预测的告诫。

这种方程从数学上看并不令人吃惊，因为人们好像很熟悉，一点也不复杂，其样子是：

 dx ＝10（－x＋y），



 dt ＝28x－y＋xz，

 dz ＝xy－ 8 z.

 dt 3

方程中最高阶导数是一阶，每个方程都是一阶的，左侧分别是变量 x，y，

z 的时间变化率，右侧如果都是线性的，那么此方程真正是简单的，一般的大学生都能解出来。然而右侧有两个非线性项 xz 和 xy，正是这两个“妖物”，使得方程无法解出。另一方面请注意，方程右端不显含时间 t，即 t 不出现在右端式子中，这样的系统有个名字，叫做“自治”（autonomous）系统。自治系统有一个重要性质：相空间轨道非交叉。也就是说，除奇点外，对于相空中任意一点，只有唯一一个演化方向。

洛仑兹于 60 年代初终于弄明白这个极简单的模型系统可以说明天气变化过程，方程中包含的非线性促使系统具有“对初始条件的敏感依赖性”，小偏差引起大偏差，失之毫厘，谬以千里。“蝴蝶效应”说的就是这个，尽管谈到蝴蝶效应时，所涉及的地点一再改变，起初说巴西，后来说北京，再后来说乞力马扎罗山等等，这只说明“浑沌贩子”各处宣讲浑沌时，结合当地情况做了些发挥。注意，世界非常需要“浑沌贩子”，因为新科学思想需要普及，中国更是如此。北京大学教授、著名浑沌学家朱照宣就曾戏称自己为“浑沌贩子”。

我们看两组类似的数据的演化结果，图中的曲线表示相空间中变量 x 随时间的变化情况，选 y 与 z 也一样，读者可自己试试。时间不是以分、秒计

的，在计算机上我们以“迭代次数”计。

我们看到，初始条件中只有微小差别，用不了多少时间，就会导致系统随后演化模式完全不同。以天气为例，从极类似的初始条件出发，随后却出现了两种完全不同的天气，一个可能是晴，另一个可能是大雨。有人说：“同样的原因导致了不同的结果，因果律要作修正。”这是哲学式的讨论，留给读者思索，你完全有发言权。

这里只想指出一个事实：物理上，绝对精确的测量是永远无法实现的。实际上按照布里渊（N.L.Brillouin）的见解，人类无法测量比 10-15 厘米更短的距离，因为我们没有合适的衡量标准——尺子。如果人们硬要测量10-50 厘米左有的距离，唯一可用的“尺子”是与这个距离相当的某种光波或德·布罗意（de Broglie）波。测量过程至少需要一个量子，而这样的测量所涉及的单个量子的能量大得惊人，E≈hc/λ＝2×1027 焦尔，此能量足以把实验室炸得粉碎。这意味着什么？这意味着我们是有限的动物，在物理世界中，人类所能得到的只是近似性，并且由近似的初始条件得出近似的结论。浑沌运动表明，由近似的前提并不能得出近似正确的结论，常常只能得出毫不相干的结论。

1963 年洛仑兹就用计算机画出了今日称作洛仑兹“奇怪吸引子”的复杂相空间图形。前面已经用过了“相空间”一词，现在稍作解释。“相”（phase）可理解为“状态”（state），“相空间”也可理解为“状态空间”。在经典力学中，特别是分析力学中，“相空间”含义略有不同，在那里相空间有“辛对结构”，而非线性动力学讲的相空间并不要求具有偶对性质。举一例，火箭升空，其速度（v）和位置（x）可“张成”二维相空间（v，x），速度与位置各是一个“维”。对于一个电路，电压与电流可看作两个维，也可张成二维的相空间。在洛仑兹系统中，我们以三个状态 x，y，z 各作一个维，可张成一个二维相空间。为了研究方便，常常看三维相空间的子空间，如二维相空间，即三维空间在二维空间上的投影。

现在我们看洛仑兹系统的三张相空间投影图：在 XOZ 平面上的投影、在XOY 平面上的投影、在 YOZ 平面上的投影。洛仑兹吸引子在 XOZ 平面上的投影像什么？是否像蝴蝶的两个鳞翅？然而，洛仑兹用“蝴蝶效应”解释浑沌运动“对初始条件的敏感依赖性”，靠的并非仅仅是这种表面的类似性。

浑沌学家若斯勒（O.E.Rossler）根据洛仑兹方程，给出一个更简单的微分方程组，称若斯勒方程，也能产生浑沌。若斯勒浑沌吸引子的三维投影图（见图 3—6），这个奇怪吸引子远不如洛仑兹吸引子稳定。

读了本章的内容，不要产生一个误解，以为所有的天气预报都是胡说八道，都不值得相信。天气预报虽然达不到确定性科学预测百分之百准确的程度，但它是概率预测，以科学原理为基础，仍然是坚实的科学，与非科学预测有本质的差别。事实上，天气预报是任何国家都必须做而且必须做好的大事情，各行各业、各级领导部门都十分重视气象预报。近年来，气象事业发

展迅速，力保障人民生命财产安全、减少经济损失做出了巨大贡献。 1995 年中国气象部门全力以赴，积极做好气象服务，气象预报准确率明显提高。在汛期中，气象部门旱涝趋势预测和中短期的天气预报基本准确。中国气象局汛期共发出《总理专报》19 期，给国务院的专题文件报告 16 份，传真专题报告 33 期，《天气情况》汇报共 111 期，并通过视频系统提供 16 个专题片。

气象科学仍然有相当多的基本问题没有解决，人类在与大自然的较量中，有胜有负。只有发展新的科学方法，才能不断提高预测精度。认识到不可预测性，是发展新的预测方法的前提。浑沌是不可预测的，但换种角度看，在一定意义上说，浑沌也是可以认识的、可以控制的，甚至可以利用浑沌进行预测。福特（Joseph Ford）等浑沌先驱者已喊出这样的口号。