不动点及线性化矩阵

二维映射的一般形式为



T: 

x n+1 ＝f（xn ，yn ） ，

（y n+1 ＝g（x n ，y n ），

变换 T 将点（xn，yn）变换为点（xn+1，yn+1）。令 T 简记二维映射，p 记状态点，则二维映射也可以写作 Pn+1＝T（Pn），一般说来，对于任意整数i，有 pn+i＝Ti（Pn），设 P*是二维映射 T 的不动点，则 P*满足

P*＝T（P*）.

不动点对于映射行为具有重要意义。为了研究不动点的类型，考虑不动点 P*附近的一点 P，将它写作

P＝P*＋U，

其中 U 是小量。将上式代入二维映射，并展成级数，可得到关系

 ∂T

U_n+1＝ ∂P 

p＝p*

U ＋O（U² ），

这里∂T/∂P 是 2×2 矩阵，记作 J，称为映射 T 在 P*点的雅可比（C. G. J.Jacobi）矩阵。具体写出 J 的表达式便为

∂f

J＝∂x



∂x

∂f 

∂y 

∂g 

∂y p＝p*

看三个例子。第一个是阿诺德猫映射（Arnold’s cat map）：

xn +1＝x n ＋yn ,

mod（1）

y ＝x ＋2y ，

 n +1 n n

其中 mod(1)表示取模，大于 1 数只取其小数部分。此映射的雅可比矩阵

为

J 1 1

＝ .

 2

第二个例子是变形标准映射（standard map）

xn +1＝x n ＋asin（xn ＋y n ），

y ＝x ＋y ，

 n +1 n n

其雅可比矩阵为

1＋acos（x＋y） acos（x＋y）

J＝ .

 1 1 

第三个例子是埃农映射（Hénon map）：

xn +1＝y n ，

y ＝bx ＋ay

－y ² ，

 n +1 n n n

其雅可比矩阵为

0 1 

J＝b a－2y .

 

雅可比矩阵对于研究映射是十分关键的。藉此可以判断不动点的性质， 藉此可以判定映射是保守的还是耗散的。先说后者。当雅可比矩阵的行列式的绝对值等于 1 时，映射是保守的，或者叫保面积的。当其行列式的绝对值

大于 1 时，映射是发散的，我们不讨论；小于 1 时，映射是耗散的。对于阿诺德猫映射， ｜det （J）｜＝｜2－1｜＝1，所以它是保面积（保守）映射。对于变形标准映射，｜det（J）｜＝1，所以它是保守映射。对于埃农映射，｜ det（J）｜＝｜0－b｜＝｜－b｜，当 b＝＋1 时它是保守映射，当｜ b｜＜1 时，它是耗散映射。实际上雅可比矩阵是映射的线性化矩阵。在 Un 与 Un+1 迭代关系中，去掉高次项（大于等于 2 次的项），就得到一个完全线性的映射。对于线性映射，我们可以做彻底研究。但要记住，线性化系统的性质只代表非线性系统的局部行为，即只能反映 不动点附近的行为。离开不动点稍远一些，由线性化方法导出的结论就不再适用于原来的非线性系统。