二、λ是复数

当λ是一对复共轭特征值时，可以把λ写成ρexp （±iϕ）的形式， 其中ρ和ϕ都是实数。与λ对应有一对复共轭向量 V1±V2i 其中 V1 和 V2 都是实向量。考虑一个初始位移 Uo＝aV1＋bV2，其中 a 和 b 是实数，根据欧拉公式 exp（ikϕ）＝cos（kϕ）＋isin（kϕ），则 Un 的迭代关系为

Un＝ρn［（aV1＋bV2）cos（nϕ）＋（bV1－aV2）sin（nϕ）］.上式代表椭圆运动，两个轴分别是 aV1＋bV2 和 bV1－aV2.映射 T 的点列 Pi 在（V1， V2）平面上沿椭圆曲线运动。由于椭圆的大小是可变的（由ρ的大小决定）， 所以 Pi 的运动实际上不一定是封闭的椭圆曲线，可能是对数螺线。

当ρ＞ 1 时， Pi 沿螺旋线向外旋转运动，这时 P* 称为不稳定焦点

（focus）；当ρ＜1 时，Pi 沿螺旋线向内旋转运动，这时 P*称为稳定焦点； 只有当 P＝1 时，Pi 沿椭圆曲线运动，这时 P*称为中心点（centre）。

对二维映射 T，设 J 的两个特征值为λ1＝λ＝aexp（ia），O＜a总能变为极坐标形式

rn +1＝arn ，

θ

n+1

＝θn＋a .

若 a＜1，则不动点是稳定焦点，点列 Pi 沿对数螺线向内运动。若 a＞1，则不动点是不稳定焦点，点列 Pi 沿对数螺线向外运动。

若 a＝1，则不动点是中心点，点列 Pi 沿椭圆曲线运动。并且若映射是线性的，a/Л是有理数，则迭代点在椭圆曲线上只有有限个点，运动是周期的；若 a/Л是无理数，则几乎所有点都将遍历椭圆曲线，这说明几乎所有轨道是非周期的。

若λ1＝λ2，则是退化情况，不动点叫星结点（star-node）。