霍普夫分岔实例

我们考虑的二维非线性映射至少含有一个参数μ，当参数变化时，系统可能出现跨临界分岔、弗利普分岔，另外还有一种新的分岔——霍普夫

（Hopf）分岔，对于映射，还有另外一个名字——奈马克（Neimark）分岔。发生霍普夫分岔的条件是特征值λ1 和λ2 是共轭复数，当参数变化时，特征值从单位圆内部跳到单位圆外部。当发生霍普夫分岔时，原来的不动点（对应周期流）失稳，出现椭圆不变曲线（对应环面上的拟周期流）或者周期循环（对应于环面上的共振，周期流）。当系统发生霍普分岔时，非线性项起重要作用，涉及的也不只是局部行为。发生霍普夫分岔后新出现的轨道可以是稳定环面或者稳定极限环。例如下述二维映射

xn +1＝y n ，

y ＝μy （1－x ）

 n +1 n n

在参数μ增大过程中越过μ＝2 时，发生霍普夫分岔。利用前面的基本理论，我们看一个与猎食（predator-prey）过程有关的具体模型

xn +1＝ax n （1－x n －yn ），



 n +1＝bx n yn ，

其中 a 和 b 是参数，取值范围为（2，4）。映射的不动点有 C1（0，0） 和 C2（1/b，1－1/a－1/b）。此映射的雅可比矩阵为

 a－2ax－ay －ax 

J＝



by bx.

其行列式的绝对值为

｜et（J）｜＝｜abx－2abx²－abxy＋abxy｜

＝｜abx（1－2x）｜.

对于不动点 C2 而言，特征方程为

1－ab－λ－ a

｜J－λE｜＝ b ＝0.

b（1－1a－1b）1－λ

即

λ2 － 2b－a λ＋ a（b－2） ＝0.

b b

此方程也可以通过 Tr （J）＝a11＋a22 和 det（J）直接得到，因为λ λ2－Tr（J）λ＋det（J）＝0.

设λ1 和λ2 是两个共轭复根，由韦达（F.Viète）定理有

λ ·λ ＝ det(J) ＝ a(b − 2) ＝｜λ｜，

1 2 b

当｜λ｜＞1 时发生霍普夫分岔，即当a（b－2）/b＞1 时发生分岔。解此不等式得，当

b＞ 2a

a－1

时，第二个不动点 C2 失稳，发生霍普夫分岔。取 a＝2.60，则理论上预言 b＝2a/（a－1）＝3.25 时发生霍普夫分岔。我们看计算机计算的结果（见图 7—3（1）到图 7—3（4））。

在图 7—3（1）中横坐标记 x 值，纵坐标记 y 值，a＝2.60，b＝3.22＜ 3.25，我们看到最后得到稳定焦点 C2。在图 7—3（2）中，a＝2.60，b＝3.26

＞3.25，表明已越过霍普夫分岔点，系统的轨道位于不变环面上，可能是周期运动，也可能是拟周期运动。在图 7—3 （3）中，a＝ 2.60，b＝3.6，最后得到稳定的周期轨道，显然轨道位于一个较大的不变环面上。在图 7—3

（4）中，轨道最后稳定到一个更大的不变环面上，很像拟周期运动，但没有严格证明。

在图 7—4 中，取 a＝2.9，b＝3.6，我们得到稳定的周期 7 运动：

···A→B→C→D→E→F→G→A→···它们的坐标值为：

A（0.5349，0.1295）→B（0.5206，0.2494）→ C（0.3473，0.4673）→D（0.1867，0.5843）→ E（0.1240，0.3927）→F（0.1738，0.1752）→ G（0.3280，0.1096）.

下面我们看一套完整的演化系列。参数 b 取定值 b＝3.91，让参数 a 逐步变化，变化范围为 a∈［2.0，3.60］.当 a＝2.0 时，发生霍普夫分岔的条件是 b＞2a/ （a－1）＝4.O＞3.91；当 a＝2.05 时，发生霍普夫分岔的条件是 b＞2a/ （a－1）＝3.9047···＜3.91。表 7—1 二维映射定态演