纸上看摆

单摆或 RLC 电路或者其它什么东西，只要给定初始条件，系统都会有一种振动。

对于单摆会有一个固有的角频率ω＝，其中 g 是重力加速度，L

是单摆的摆长。在没有外力作用下，单摆的运动方程为

d²θ

dt 2 ＋γ

dθ ＋ω2

sin θ＝0.

其中θ是角位移，γ dθ 是阻尼项。无疑这是一个非线性方程，直接求θ

的解析表达式是不可能的。只有摆角很小时， sinθ≈θ，上式中的 sin θ用θ近似，非线性方程才变成线性方程。从中学开始，教科书和老师都无关痛痒地告诉学生，“当摆角很小时⋯⋯”那时，不但学生不关心摆角大时如何，老师也不关心，没人关心。

现在，人们已普遍采用庞加莱一百多年前发明的几何方法处理非线性问题。这是一套方法，包括相空间中的相图、庞加莱截面、同宿/异宿轨道、回复映射、分岔、极限环、环面等等。几何定性方法可能比解析定量方法更直观，更能说明整体行为，如微分方程理论中引入的非常有用的新概念“上栅”（upperfence）、“下栅”（lower fence）、“漏斗”（funnel）、“反漏斗”（antifunnel），再如斯美尔（S. Smale）在动力系统理论中发明的“马蹄”（horseshoe）变换，它们用几何方法说明一簇轨道的整体行为，而不是用数值说明单个轨道的个别行为。

我们无法直接求出θ的解析表达式，但可以知道其一阶导数的表达式。

以θ和其一阶导数 dθ 支成相空间（θ， dθ ），也可以很好地理解系统的行

dt dt

为。前面已经说过，相空间也叫状态空间。状态空间是系统所有可能状态的集合。

在相空间中可以定性地画出方程的“积分曲线”。早在上一世纪，庞加莱关于微分方程所定义的积分曲线就有伟大的论述。

当γ＝0 时，即无阻尼时，单摆系统机械能守恒，所以有E＝动能＋势能＝常数。

具体化就是

1  dθ 2

mL²  

2 dt

－mgL(1－ cos θ)＝常数 ο

无量纲化后有下述关系

dθ ＝ ±

其中 H 是常数，相当于能量。对于单摆系统，H 相当于初始给定的能量。能量守恒表明，单摆向左摆到一定高度，落下后向右摆，也能摆到同样的高度。反之亦然。这样，单摆会永不停息地来回运动。一切全取决于初始能量，能量大则摆得高，能量小则摆得低。

设想一下，能量足够大时会怎样？能量增加时，单摆来回摆动，摆得越来越高。好比朝鲜人节日里荡秋千，表演者用力回荡，秋千越来越高。你知道，难度越来越大，也越来越危险。

摆（或秋千）超过悬挂点所在平面，并继续上升，并最终倒立起来，达到最高点；再使一点劲，就转过去了，然后迅速下降，到达最低点时速度最大，势能最小；随后单摆又向上摆去。如果悬挂点不能转动，则摆绳会绕悬挂轴缠上，摆长越来越短，最后变为零，终止于悬挂点。我们不考虑这种情况，假设悬挂点可以自由转动。

无阻尼单摆系统的相图见图 5—1。横轴是角位移，纵轴是角位移的时间变化率，即角速度，也叫角频率。

注意相图中的几个特殊点 O、A、B。O 点表示摆处于最低点。A 和 B 代表摆处于最高点。物理上 A 和 B 是同一个点，这可从柱面坐标上看出来。为了考察通过最高点时旋转方向，故意区分 A 点和 B 点。图中虽然没有直接显示时间变量，但曲线的箭头方向相当于时间的流逝方向。

我们看到 AmB 与 BnA 两段弧线围成了一个椭圆区。椭圆区内所有积分曲线都是闭合的。位于椭圆区内的轨道永远不可能跑到外面去。而区外的轨道则可以到处游走。这里弧线 AmB 和 BnA 有重要意义，它们被形象地叫做分界线（separatrix）。分界线的变化对于系统行为的变化具有标识意义。若考虑阻尼和外界振动的驱动，当耦合足够强时，分界线竟会变成分形（frac- tal）曲线。甚至你根本看不出它是什么“线”，更看不出它还有什么“分界”作用。那是后话。

分界线里的运动，代表小角度摆动。摆角越小，系统的线性特征越明显。

中学以及大学课本里讲的基本上是 O 点附近的运动。在 O 点附近，所有积分曲线是一些同心椭圆，有无数层，一个套一个，只要你愿意，你可以套上任意多个。不过在图上，只示意性地画出几个。它们的性质都差不多。只要能量稍稍增加，圈就会加大一点，所有椭圆都相互独立，从不相交。

分界线外，摆的速率很大。若上面的轨道代表向右连续转动，则下面的轨道代表摆向左连续转动。

在分界线上，运动比较特别。严格说物理上没有这样的运动。不过可以把它们设想成某种实在的运动。不要小瞧，这种假想有重要意义。“真实的未必有用，有用的未必真实”。从 A 点出发，沿 AmB 弧运动，经过无穷长时间，可以到达 B 点；同样从 B 点出发，沿 BnA 弧运动，经过无穷长时间，可以到达 A 点。庞加莱把 AmB 和 BnA 轨道叫做异宿轨道（heteroclinic orbit）。从柱面坐标看，A 点与 B 相重合，从这种意义上说，它们又是同宿轨道（homoclinic orbit）。在其它例子中同宿轨道与异宿轨道并不是一回事。顾名思义，“同宿”表示在时间趋于无穷的过程中轨道有共同的归宿； “异宿”表示在时间趋于无穷长时轨道有不同的归宿，但都归到同一类周期点上。

A 点和 B 点是鞍点（双曲点），与它们相连的轨道既有进入的，也有出去的。准确说，双曲点既有稳定流形（manifold）又有不稳定流形。对于 A 而言，流形 AmB 是它的不稳定流形，而是它的稳定流形。O 点叫做椭圆点，其周围一定有一系列椭圆围绕。在保守系统中，相空间体积不变，双曲点与椭圆点一般是成对出现的。

由于刘维尔（J.Liouville）定理，在保守系统中不可能有真正的“源” 或者“汇”，不可能有“吸引子”（attractor）和“排斥子”。