弦振动与光速

历史上关于弦振动的研究促进了乐器的改良和偏微分方程求解方法的探讨。我们所知道的乐器如钢琴、提琴、吉他都是靠弦振动发声的。18 世纪的时候，泰勒导出了如下公式：

其中 f 是弦的基音振动频率，L 是弦长，T 是弦的张力，ρ是弦的单位长度质量（即线密度）。

可见弦越长，频率越低；弦越粗，频率也越低。弦的振动通过琴马传到乐器的共鸣腔中，共鸣腔有自己的振动特性，传入的信号经共鸣腔改造后， 某些频率成分被强调，某些频率成分被压低，音色和响度又有改变，最终产生悦耳的声音。

科学家关心的不限于这些宏观性的描述。 1746 年达朗贝尔（J.L.R.d’

Alembert）写了《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》一文，开始对小提琴之类典型的弦振动问题进行研究，他与伯努利（D.Bernoulli ）、欧拉

（L.Euler）等导出了至今已写入任何一本“数学物理方程”教材的典型偏微分方程。他们之间为此还发生了长达三十余年的争论，甚至人身攻击。方程如此基本和重要，在这里值得写出：

∂²u

∂t ²

₂ ∂²u

＝a ∂x 2

这里ｕ是位移χ和时间ｔ的函数ｕ＝ｕ （χ，ｔ），对于弦振动而言系数 a2 等于弦的张力除以线密度，即 a2＝T/ρ＝常数。在其它振动中 a 不能作此种解释，但仍然是一常数。

此常数 a 有重要物理含义，它相当于波的传播速度（注意，不是质点的振动速度）。在固体中能够产生切变、容变、长变等各种弹性变形，既能传横波也能传纵波，两种波的波速也不同。通过弦振动导出的方程具有普适意义。重要的是其中的波速 a 不但对于机械波成立，对于电磁波也成立，当然对于光波也成立。如果光的运动满足以上振动方程，就可以猜测光是一种“波动”，进而波动就有一定的传播速度，于是可导出“光速具有有限量值”的重要结论。因为电磁波满足上述方程，而任何满足上述方程的波动都确定地以速度 a 传播。

一切好像顺理成章，但科学史可不是简单地符合这种逻辑。历史上，人们认识到光是波动的并具有确定传播速度，花费了大量时间和心血。

今天我们重构科学的逻辑史时，当然可以这样把“不同”的现象串起来。这也许有利于学生理解物理科学的统一性。当有外力 f（x，t）作用于弦上时，方程变为：

∂²u

∂t ²

₂ ∂²u

－a ∂x2 ＝f (x, t).

此方程可以描写大量振动和波动现象，被称为“一维波动方程”，类似地可推出二维、三维波动方程。这些波动方程构成了经典物理学中相当重要的部分。

不过，请注意它们都是线性方程，都满足叠加原理。

设 u1 和 u2 分别是弦在外力 f1 和 f2 作用下振动方程的解，Q 和 0 是任意常数，则函数 u＝C1u1＋C2u2 一定是方程

∂²u

∂t ²

∂² u

－a2 ∂x2 ＝C1f1＋C2 f 2

的解。线性弦振动方程求解直到傅里叶（J.-B.-J.Fourier）发明以其名字命名的傅里叶级数，才算圆满解决。但如果振动或波动方程中包含非线性项，则问题十分困难，至今没有普适的求解方法。