非谐振动的变频效应

把振动系统理解成“单输入单输出系统”，策动（激励）信号相当于输入，响应信号相当于输出。

当振动系统是线性系统时，输入周期信号，如是正弦波，则输出周期信号，而且输出信号的频率与输入信号频率相同。

当同时输入两种周期信号，如频率分别为ω1 和ω2，则输出信号也有这两个频率成分，并且只有ω1 和ω2 成分。

对于非线性振动系统，输入与输出之间关系较复杂。输出频率除了ω1 和ω2 外，还可能有“倍频”（即谐波）与“和频”，如 2ω1，3ω1，3ω2， 2ω1＋ω2，ω1＋2ω2。另外还可以出现“差频”，如｜ω1—ω2｜，｜ω

1—2ω2｜，｜2ω1—ω2｜等等。一般地说，有如下结论：

非线性振动系统能够改造频率。设输入信号为ω1，则输入信号可以有ω＝kωi，其中 k＝0，1，2⋯⋯
输出信号中的奇次谐波分量只由振动特性的奇次方项产生，偶次谐波分量只由偶次方项产生。

3）k 次谐波分量只与 n≥k 的高次方项系数有关，n＜k 的各低次方项系数对 k 次谐波没有贡献。

组合频率分量 rω1＋sω2 由特性多项式中 n≥｜r｜＋｜s｜＋2k 的各高次方项产生，与其它项无关，其中 k＝0，1，2⋯⋯
受迫非线性振动系统还可以产生“次谐波”（subharmon-ics），这种现象也叫做“分频”。

次谐波振动是非线性振动系统非常重要的一种阈值现象。

只有非线性达到一定程度，才有可能激发出次谐波振动，这一点不同于谐波振动。

法拉第（M.Faraday） 1831 年做浅水波实验时就发现了次谐波，浅容器以ω为频率在垂直方向振动时，容器中的水则以ω/2 为频率振动。

瑞利（Lord Rayleigh） 1877 年在《声的理论》一书中对这类现象进行了理论研究，还提出了一个产生次谐波的实验。使一根弦一端系于音叉上，音叉以ω为频率做横向振动，用手拨动弦线，则弦以ω/2 为频率做纵向

振动。杜芬在研究杜芬方程时研究过

阶次谐波。

分频与倍频（谐波）是相反的，倍频过程周期缩减，而分频过程周期加

倍。

范德坡和范德马克（van der Mark）在研究电子线路振荡时也发现了

“分频”，并写论文发表在《自然》杂志上。他们的论文非常简短，占了不

到两页篇幅，合起来正好有一页。他们考虑了由电阻（用一只二级管代替），可变电容和激励源凤 Eosinωt 组成的电路。他们发现电路输出中含有ω/2， ω/3，ω/4 和ω/40 的频率分量。他们首次绘出了“魔鬼阶梯”图象（见图4—5）。

浑沌研究中重要的一条通向浑沌之路叫做费根鲍姆（M.Feigenbaum）道路，说的是周期加倍分岔过程通向浑沌，实质上是一种特殊的连续分频模式。第 5 章耦合创造节律

同步现象是非线性系统中的一种特殊性质。在不同学科中有不同的名称，除同步外，还有“入列”、牵连（entrainment），锁住（lock-in ），锁相（phase-locking），息灭（quenching，相对于激发而言），俘获（capture）等。⋯⋯在同步中，总涉及两个频率，比如ω和ω＇。同步以后，共同频率Ω是什么？是ω呢（ω＇跟ω走）还是ω＇（反过来），还是在ω与ω＇之间的中间值？⋯⋯同步或锁相相当于圆的微分同胚中不动点和周期点问题。

——朱照宣