从声音说起：耳膜的振动

胡克定律的另一种说法是，弹性势能与形变的二次幂成正比，用 V（x） 表示势能，则有

v（x）＝ 1

2

Qx²

这里 x 表示弹簧形变量，相当于上一章中例子中的△x，Q 为常数，通常写作 w2 的形式。对势能求偏导数得出力的关系

f＝ ∂V ＝－Qx＝－ω² x.

∂x

再应用牛顿第二定律 F＝ma，有

d ²x f＝m dt 2 , ，

将质量 m 约化为 1，由以上两式得出符合胡克定律的弹簧运动方程

d² x

dt ²

＋ω ²x＝0.

其实这还是胡克定律，劲度系数等于ω2。不过这里我们换了一种思路： 由势能微分求力。这样便于过渡到非线性。

弹簧系统的恢复力一定与形变成线性关系吗？非也。弹性系统的势能可以取更普遍的形式

V（x）＝ 1 kx ² 1 x³ 1 x ⁴＋ ，

2 3 4

其中 k，λ，μ都是常数。对此式求导得出力的形式

f＝ − ∂V ＝－kx－λx²－μx³－ ，

∂x

再采用牛顿第二定律，必然得到非线性的运动方程

d² x

dt 2 ＋kx＋λx

²＋μx³

＋ ＝0.

人们不禁要问，这样构造出来的方程真实吗？是的，我们没有考虑“阻尼”。你又会说：“我问的不是这个问题。”好了，我明白了，你是问非线性是不是人为造出来的。

这的确是要害，举一个例子就清楚了。人之所以能听到声音，是因为一定频率的声波引起空气的振动，然后空气振动传到耳朵中，引起耳朵内的鼓膜振动，人根据鼓膜的振动感受声音。具体过程为：外耳（声波→耳廓→外耳道）→中耳（鼓膜→锤骨→砧骨→镫骨→前庭窗）→内耳（内耳淋巴液波动→螺旋器）→迷路后神经冲动（听神经）→大脑皮层中枢分析（听觉中枢）。其中鼓膜振动是关键一环，鼓膜的振动就恰好不符合胡克定律的线性模式。设鼓膜的有效质量约化为 1，把鼓膜振动看作是一维振动，鼓膜偏离中

心位置的位移用 x 表示，则鼓膜振动系统的势能和恢复力分别为

V（x）＝ 1 kx²

2

＋ 1 λx ³，

3

f＝－kx－λx2. 于是鼓膜的运动方程为

d² x

dt 2 ＋kx＋λx

²＝0.

当考虑外界信号 F 的策动时，方程变为

d² x ₂

dt 2 ＋kx＋λx

＝F，

其中 F 代表外界某种振动。以上考虑的都是没有任何摩擦的情况，系统是保守的。由于没有能量耗损，只要外界传来一点点信号，耳朵的鼓膜就会永远振动下去。这显然不可能，否则会把人震死，因为外界不时传来各种振动。所以系统必然是耗散的，作一个简单的猜想：当人体接收到某种刺激后， 会迅速作一简单判断，若是有用信号，则将信号的能量转化成信息存贮下来，没用的则弃之不管，人体用某种有效的办法把多余能量耗散掉。这过程不是绝对的，刺激强度不够，信息贮存不牢，另一方面，即使不重要的信号， 也能略微留下记忆。人经过长期进化有一定自我抑制能力，但这是有限度的。

人会受噪声之苦，就在于人没办法彻底抑制无用的外界振动。“响度” 和“声强”是两个概念。声音的响度指声音在人耳所产生的感觉程度，具有一定的主观性，它不仅与声波振动能量有关，还与人耳的灵敏度有关。而声强是一种客观的物理量，表示声波在单位时间内通过单位面积的振动能量。

言归正传。考虑最简单的一种阻尼效应——线性阻尼：阻尼力与运动速度方向相反但成比例关系。加上阻尼项，鼓膜运动方程为

d² x dx dt ² ＋a dt

＋kx＋λx²

＝F,

其中α是阻尼系数。

应当注意的有三点： 1）弹性势能含立方项，因而是非对称的； 2） 恢复力是非线性的； 3）人听到的声音与外界的“声音”——真实振动—

—并不完全相同。

前两点是明显的，第三点需要讨论。第三条说的是，人体对外界振动有一定的选择性和创造性。即有的振动被弱化，有的振动被强调，有的振动是人体根据策动信号自身合成的。