周期加倍

Logistic 方程的参数从 0 增大到 4 的过程中，系统的定态行为会发生哪些变化呢？最重要的是分岔（bifurcation）。

当 a 大于 0 小于 1 时，可以验证，系统中有一个稳定定态点 O.从图 6—

13 可以看出，在区间（0， 3）上，当参数取定时，纵轴上只有一个点。参数变化时，纵轴上的点连续变化。但要记住，图中有一个定态点，并不意味着此时只有一个不动点。实际上有两个，一个是 0，一个是 1—1/a，我们来证明这一点。

所谓不动点，是指迭代到一定程度，xn＝xn+1＝xn+2＝⋯，所以有ξ＝aξ（1—ξ），

处理后有

ξ（1—a—aξ）＝0，解得

1

ξ1＝0，ξ2＝1－ a ,

这就是两个不动点。其中一个稳定，另一个不稳定。不稳定的不动点物理上看不到，计算机计算的图形上也就没有显示出来，但数学上是存在的。不动点的稳定性可以简单地加以判定。如果这一点的斜率的绝对值小于

1，则此不动点是稳定的；如果斜率的绝对值大于 1，则此不动点是不稳定的。斜率等于士 1 时是中性的。用λ表示不动点ξ的乘子（mu1tiplier）

λ＝│df/dx┃＝│f′(ξ)┃，

应当注意的是，不动点不一定是一个。上式可以推广到周期点情形。设

f1，f2，⋯，fn 分别表示函数 f 的 1 次、2 次、3 次、⋯n 次迭代。设映射 f 有 m 周期点，则 f 的 m 周期点相当于 fm 的不动点。

映射 f 的 m 周期点的稳定性由乘子λ＝│dfm/dx┃＝│f′(x1)f′(x2)f′⋯f′(xm)┃

m

＝│ ∏

i=1

f′(Xi)┃

完全决定。映射 f 的周期点（包括不动点，它为周期 1 点）的稳定性可具体定义为：

• │λ┃＜1， 吸引，稳定；

│λ┃＞1， 排斥，不稳定；

│λ┃＝1， 中性； λ＝0，超稳定。

我们可以验证 0＜a＜1 时上面两个不动点的稳定性。

对于ξ1＝0，│f′（ξ1)┃＝│a－2ax┃x＝ξ1＝o＝│a┃＜a＜1，所以ξ1＝0 是稳定的不动点。

对于ξ2＝1－1/a， │f′（ξ2)┃＝│a－2ax┃x＝ξ2＝1＝1/a│2－a

┃＞1，所以ξ2＝1－1/a 是不稳定的不动点。因此在（0，1）区问上，映射的稳定定态点可以用ξ＝0 描述。在（0，1）区间上，初始点可以任意选取， 迭代的最终结果都是收敛到 0，即当 n 较大时，xn＝xn+1＝⋯＝ξ1＝0。

我们接下去看参数 a 进一步增大时发生的情况。当 a 大于 1 小于 3 时， 系统仍然有两个不动点ξ1＝0，ξ2＝1－1/a，但前一个变得不稳定了，后一个变得稳定了。系统在 a ＝ 1 处发生了分岔，这种分岔叫做跨临界

（transcritical ）分岔。

为什么稳定性发生了交换？可以从上面的式子看出来，当ξ∈（1，3） 时，│f′（ξ1）┃＝│a┃＞1，所以ξ1＝0 是不稳定的不动点。│ f′（ξ 2）┃＝│2－a┃＜1，所以ξ2＝1－1/a 是稳定的不动点。在区间（1， 3） 上，稳定不动点可以用曲线方程ξ＝1－1/a 表示。此曲线可以向左、向右延拓，但超出（1, 3）区问，只能用虚线表示，因为它不再是稳定曲线，不过数学上它还是存在的。在（1， 3）区间上，迭代的最终结果都收敛到 1

－1/a 上，即当 n 较大时，“所有”迭代点都被吸引到ξ2＝1—1/a 上，即xn＝xn+1＝⋯＝ξ2＝1－1/a。“所有”一词加上引号表明不准确，严格说应换成测度论的语言“几乎所有”，因为如果初始点取为 0，则不成立。以后还有这种事情，不再一一说明。在图 6—14 中，参数取 2.7，最后得到一稳定不动点。

当参数再增大，使得a∈（3，1＋ ），则原有的两个不动点都不

稳定了，系统出现了稳定的周期 2 解。这又是一种分岔。叫做弗利普（Flip)

分岔。我们来证明原来的不动点不稳定，而新的周期解是稳定的。

由│ｆ′（ξ)┃容易判定原有的两个不动点失稳。所谓周期 2 解，是指系统的定态在两个值上来回跳动，为区别原来的不动点，以 w1 和 w2 代表这两个状态，于是有

w1→w2→w1→w2→w1→⋯，

它们是方程

xn+2＝xn

的两个根。对于 Logistic 方程有f2＝f（f （xn））

＝a2xn（1－xn）［1－axn（1－xn）］， 周期 2 解满足方程 xn+1＝f （xn)，于是有

f2＝a2w（1－w)［1－aw（1－w)］＝w， 解此方程有

1

w1 ，w 2 ＝ 2a

(1＋a±

(a＋1)(a − 3)）.

周期 2 解的稳定性可由乘子

df ²

λ＝│

dx

┃＝│f′(w 1 )f′(w 2 )┃

＝│a(1－2w1)·a（1－2w2)┃

＝│a2（1－2w1）（1－2w2）┃

的值具体判定。读者可自己验证λ＜1，结论是，周期 2 解稳定。而且

此时只有周期 2 解是稳定的，其它可能的解是不稳定的。对于单峰映射辛格

（D. Singer）还证明了更强的结论：对于给定的参数a，迭代最多只有一个稳定解。在区间（3，1＋ ）上，当n增大时，ｆ 2n 收敛到 w1 或 w2 之一，f2n+1 则收敛到另一个值。图 6—15 中，取 a＝3.4

＜1＋

6＝3.449

，最后得稳定周期2解，这是一个稳定的极限环。

当参数处于区间（ 1＋

6， 3.544

）时，系统出现稳定周期4解，

并且原来的周期 2 解失稳。当参数再增加时，出现稳定周期 8 解，并且原来

的周期 4 解失稳。之后可以不断出现周期 16 解、周期 32 解、周期 64 解、

周期 128 解等等。周期不断加倍，形成一个分岔序列： 2o，21，22，23，24，⋯2n，⋯，2∞，

这种分岔过程叫做周期倍化（period-doublings）分岔。当 a＝a∞＝

3.569 945 672⋯，系统具有 2∞周期，系统具有稳定周期 2∞解，即非周期解，表明系统开始进入浑沌。不过严格说在参数的这一点，系统只有遍历行为，还没有混合行为。只有混合行为还能称得上是浑沌。

小结一下，当参数从 0 开始增加到 a∞，系统经历了两种分岔：跨临界

分岔、弗利普分岔（或周期倍化分岔）。