不变流形

根据不动点的特征值可以定出特征向量。以二维系统为例，对于非退化情形，不动点的特征向量可分两类，一类代表局部收缩子空间，用 Vu 表示， 另一类代表局部发散子空间，用 Vs 表示。

设初始点 Po 位于 Vu 附近，则随后的演化 Pi 趋向于 Vs，若初始点 Po 位于Vu 附近，则随后的演化 Pi 将远离 Vu 而去。这两种性质都有的不动点正好是鞍点（对于耗散系统），或者双曲点（对于保守系统）。

Vs 和 Vu 都是对于线性化系统而言的，只能说明与不动点邻近的局部问题。讨论全局问题则要用到不变流形（invariantmanifold）的概念。不动点的不变流形与特征向量的关系见图 7—2（a）。

设 x 代表映射 T 的不动点，T（x）＝x.不动点 x 的稳定流形定义为：当i 趋于正无穷时，点列 Tn（y）无限趋近 x，由这样的点列组成的集合叫 x 的稳定不变流形，用 Ws 表示。设 M 表示流形，x∈M 是映射 T 的不动点，再令 d 表示某种距离函数。稳定不变流形的形式化定义为

Wu（x）＝｛y∈M｜d（Tnx，Tny）→0，当 n→∞时｝.

相应地 X 的不稳定流形可定义为：当 i 趋于负无穷大时，点列 Tn（y） 无限趋近 x，由这样的的点列组成的集合叫 x 的不稳定不变流形。形式化定义为

Wu（x）＝｛y∈M｜d（T-nx，T-ny）→0，当 n→∞时｝.

为什么叫“不变”流形呢？因为作为整体，流形在映射作用下是“不变” 的。对于非线性系统，不动点 X 的不变流形不可能是直线，而是很复杂的曲线。不变流形起着“分水岭”的作用，所以也叫做“分界线”。如果分界线极其复杂，则可以想象运动类型极其复杂。分界线两侧的运动是截然不同的，若分界线本身折来折去，则不同类型的运动交织在一起。

设 X 是映射 T 的不动点或周期点，则 X 的同宿点 P 可定义为P∈Ws（X）nWu（X）－｛X｝.

如果 Ws（x）与 W（u x）横截于 p 点，则 p 叫做 x 的横截同宿点（transverse

holoclinic point），如果两者相切于 p 点，则 p 叫做 x 的同宿切点。相应地异宿点可定义为 q∈Ws （x）nWu（y）－｛X｝－｛y｝，fn（x）≠y，q 为不动点（或周期点）x 和 y 的异宿点。有一个重要的结论：存在一个同宿点，则必然存在无穷多个同宿点。证明如下：

令 p∈Ws（x）nWu（x）－｛x｝是 x 的一个同宿点，显然 p∈W2（x）－｛x｝.又因为 Ws 是不变流形，不变流形上的点在映射作用下一定仍然在流形上， 所以对任意 i，fi（p）∈Ws（X）－｛x｝.同理有 fi（p）∈Wu（x）－｛x｝. 于是对任意的 i，有 fi（p）∈Ws（x）nWu（x）－｛x｝.也就是说 fi（p）都是 x 的同宿点。证毕。

这是一个奇妙的性质，也是一个可怕的性质，正是它导致了动力系统的

复杂性。当年庞加莱知道了这回事，庞加莱栅栏就是由同宿横截引起的。庞加莱说：“这个图形复杂得令人吃惊，我甚至不想去画它。没有什么比它更适于就三体问题以及一般的动力学问题的复杂本性给我们提供一个概念，这里没有单值的积分，波林（Bohlin）级数也是发散的。”