中学数学中的抛物线

麻雀虽小，五脏俱全。

在非线性科学中也有一只典型的麻雀——Logistic 方程，它是一维差分方程，也叫一维迭代，或一维映射（map）。欲了解浑沌，常常直接从解剖这只麻雀入手。

非线性系统至少含一个非线性项，什么样的非线性项最简单呢？当然是二次项，如 x2 和 xy 之类，相比之下 x2 更简单些。Logistic 方程是只含有x2 这样的非线性项的最简单非线性系统。Logistic 方程的表达式常有两种具体形式：

xn+1＝1－μx2n, xn+1＝axn(1－xn).

首先应当说的是，这两种形式是等价的。对于第一式，通常的取值范围是 x∈[0,1], μ∈[0,2]。对于第二式通常的取值范围是 x∈[0,1],a ∈ [0,4]。当然，a 取负值也可以。

不要被小小的公式吓住，Logistic 方程一点也不难，表面上完全是初中数学的内容。在中学人们都学过抛物线方程 y＝1—μx2 或 y=ax（1－X）， 它们的图象也很简单（见图 6—1）。注意，图中我们画出了平分第Ⅰ象限和第Ⅲ象限的 45°角分线，这条线对于后面要提到的“迭代”十分重要。

上述方程中的μ和α叫做系统的参数，当参数给定时，系统的行为只依赖于初始条件。在本章中我们最关心的是，当参数改变时，系统的迭代行为发生怎样的变化。参数μ或α是有明确物理含义的，结合具体系统可作具体的解释。数学家一般不关心参数的物理含义。明确讲数学家只关心过程和结构。

从一维迭代讨论浑沌有一个好处：不需要太高深的数学知识，就能看到非线性系统的许多非平凡行为。也有不利的方面，对浑沌不以为然的人物会认为浑沌研究是一些无关宏旨的数学游戏，完全是数字把戏，没有什么物理背景。后一种看法有一定道理，但从根本上看是完全错误的。

一维映射是类似于近、现代科学中许许多多理想模型的一种新的理想模型，有重要的科学内容和科学方法论含义。不理解这一点就未真正理解科学和科学方法。郝柏林曾将一维映射与二体问题模型、布朗运动模型相并列， 用以说明经典自然科学的三次飞跃。研究二体运动揭示了确定论范式

（paradigtn），研究布朗运动揭示了随机论范式，研究一维映射则揭示了复杂系统的浑沌论范式——确定论与随机论相结合的综合范式。

说得弱一些，研究一维映射和当年研究理想气体、理想溶液、理想流体、稳恒电流、完全弹性碰撞、无摩擦摆、准静态过程、可逆循环等等一样重要。

实质上一维映射不是简单的，萨柯夫斯基（A.N.Sharkovskii）对此进

行了二十多年的研究，有人为此写下几百页的专著，十多年来为此而在国际一流学术刊物上发表的研究论文和评论不下二百篇。由一维 Logistic 映射将进入非线性动力学的腹地，这是一个由简单性通向复杂性的道路，那里有一个人们未曾想象到的奇异王国，只有用现代科学武装好的头脑才能真正理解其中的科学美，普通的艺术美没有经过专门训练的普通人也能欣赏，当然也有程度之分；而科学美是与科学实在性紧密联系的，不能理解抽象的科学实在世界，就不能体验到科学美。何谓“科学实在”？说来话长，简单说， 科学实在是与物理世界事实存在一样真实的存在，如数学圆、芒德勃罗集合、超弦空间、五维空间上的球、实数连续统的绵延性。有人会说，它们确实不存在，然而科学家（包括数学家）会更有理由地说它们就在那里，难道不存在吗？这样的讨论永远不会结束，否则哲学家就会失业。不过，此问题还是值得“适当”思考一下的。