化过程

1. 再现费根鲍姆过程

二维映射比一维映射复杂得多，许多问题还没有研究清楚。

二维映射分岔图中能够再现一维映射的一些结构，特别是能够出现费根鲍姆的周期倍化分岔过程。

仍以上节猎食模型为例，我们只结合分岔图作一些说明。在图 7—15 中， 参数 a 取定值 a＝3.90，让参数 b 在 b∈［2.75，3.21］之间变化。横轴记参数 b，纵轴记 y 的定态。从左向右进行说明。

当 b＝2.75 时，已经越过了霍普夫分岔，因为 2a/（a－1）≈2.69＜2.75。系统做周期运动或拟周期运动，也有浑沌运动。这就是图象左边的黑区，黑区里有无穷多周期窗口。

当 b 增大到 b＝2.8247 时，系统突然进入很大的周期 5 窗口。这时只有周期 5 运动是稳定的。

当 b 增大到b＝3.0387 时，系统在大的周期 5 窗口内完成周期倍化分岔， 周期 5 运动失稳，出现稳定的周期 10 运动。注意，当 b 增加时，10 个分支线可以交叉，在一维 Logistic 映射中，未进入浑沌区不会出现这种情况。当 b 增加到 b＝3.1030 时，再次分岔，周期 10 失稳，出现稳定的周期 20 运动。然后还会依次出现周期 5×23， 5×24，⋯，5×2n 运动，最后进入浑沌，结束很大的周期 5 窗口。当 b 增大到 b＝3.1800 时，浑沌区中又出现了周期窗口，这是周期 5×3＝15 窗口。当 b 再增加时，系统进入大的浑沌区。在浑沌区中仍然有周期运动，只是不稳定罢了。现在我们看另一张分岔图（见图 7—16）。仍然是 a 取定值 a＝3.50，b 在区间［3.15，3.60］内变化。我们只看三个大的周期窗口。从左向右看，第一个大的窗口是稳定的周期 17 运动。注意线条上下有穿插现象，再增加一个维数看，线条实际上不会交叉。第二个大窗口是稳定周期 6 运动。奇特的是窗口左侧有明显的逆向周期倍化过程，这很类似一维 Logistic 映射当参数 a 为负值时所发生的情况（参见

图 6—13）。在周期 6 窗口中，向右侧的周期倍化过程不明显，也可能根本没有，可能还需做更细致的研究。第三个大窗口是稳定周期 7 运动。这是一

个标准的费根鲍姆式的窗口。在窗口内部有完整的周期倍化过程。周期 7 运

动先分岔为周期 14 运动，然后分岔为周期 28 运动，等等。由此可以看出， 研究一维 Logistic 映射是十分基本的，一维的分岔结构总是以某种面目出现在高维系统的分岔过程中。低维系统研究清楚了，有助于更好地理解高维系统。第 8 章 人在宇宙中

能嘲笑哲学，这才真是哲学思维。

——帕斯卡尔，《思想录》

幸亏奇异性理论的美妙结果不依赖于突变理论隐蔽的神秘主义，但是在奇异性理论中，和各个数学分支一样，确有一种神秘的因素：对象和理论之间有令人吃惊的纽带和一致性，而乍一眼看上去这二者却相距很远。

——阿诺尔德，《突变论》

即使全部哲学史全是些谬论，哲学——即万有论——仍是可能的。

——陈康，《陈康：论希腊哲学》8.1 高傲的个人：四种观念

我们时常被一些人的高傲惊呆，因为他们自称完全理解了宇宙。

有一次罗素（B.A.w. Russell）在演讲结束时被一位老妇人缠住。妇人说，你说地球是那样，其实地球是只大乌龟，我们都站在龟背上。

你能猜到，罗素无言以对。

老妇人对宇宙的理解是常识性的，也是文学化的，它与诗人浪漫的描写相似。我们不止一次读过这样的诗句：

当那颗羞涩的星，像处女一般 忧郁地出现在天上的时刻，

你听，在昏昏欲睡的暮色中间 有一人在你大门边唱着歌。

所不同的是，诗人知道这是比喻，俗人相信那就是实在。

在罗素看来，哲学是介乎科学与神学之间的东西。借此，再加上常识， 我们将讨论理解世界的四种观念。加上常识是有道理的，常识很重要，人们常常按常识办事。常识也是因地理而异、因历史而变化的。古希腊人的常识与今日中国人的常识有很大不同。

从常识看，或者从浅显的日常经验看，地球无疑是宇宙的中心，而且至高无上，太空的星斗尽管很多，其地位也只与其“视大小”相当，即无足轻重。布满天空的星体所构成的“星座”像红灯笼外表镶嵌的剪纸图案一样。这种自然观是朴素的，虽然有失准确，却也有正确的成分。它是百姓最容易

接受的观念。

常识宇宙观念也有三六九等，在科学飞速发展的今天，相当多的人知道星斗并非固定在球面上，它们之间有相当大的距离。有人直言不讳地对作者讲过，“地球就是平坦的，我很难理解到它是圆的”，尽管这人也读过大学。我们不能嘲笑他，他至少是诚实的，有那样的想法也正常。

与地球最近、关系最密切的当然是太阳系的太阳和其它几个行星：水星、金星、火星、土星、木星、天王星、海王星、冥王星。对了，地球的卫星——月球——的重要性其实仅次于太阳，虽然它很小。有这些知识，已很不容易，要知道，二百多年前没有一个人全知道这些。三百多年前人们还不知道太阳系。可是在今天，又有多少人知道太阳系各行星的相对大小呢？行星与太阳之间都有万有引力作用，以地球与太阳的引力为 1 计，其它行星与太阳的引力是多少呢？下面是简单计算的结果。从表上可知，除木星外，总引力为 4.3（简单代数加和，而不是向量加和），而木星自己占了 11.7！

表 8—1 中没有列入冥王星的数据，因为它一方面太小，另一方面离太阳太远，所以引力很小。从引力的角度看，太阳系可以简单地看作由太阳、木星、金星、土星和地球组成，其它的可以忽略。四大行星中又分两等，木星一枝独秀，金星、土星和地球差不多。直到几年前我作了简单的运算才注意到这一点，当时非常吃惊。表 8—1 太阳系中行星与太阳之间的引力大