耦合与随机性的诞生

耦合振子还能说明带有哲学性质的更一般的问题。系统的外界驱动可以是周期过程，也可以是单纯的有规律的“采样”过程。采样通常是周期采样， 如频闪采样、庞加莱截面采样等等。下面将介绍一种不等距采样——幂函数采样，由这种采样过程也可以引出新现象，本质上这也是内、外耦合的结果。

必然性寓于偶然性之中并通过偶然性表现出来，但两个或多个必然性的过程相遇时，可以造就偶然性。正如普列汉诺夫（G.V. Plekh-anov）所说： “偶然性是一种相对性的东西。它只会在各个必然过程的交叉点上出现。”

设系统本身是一个简谐振子，作余弦振荡，运动方程为 x＝cost.采样过

程为 tn＝2nto，即开始时采样间隔很小，越来越大，而且以极大的速度增大。这两种事件结合起来（耦合起来）就会出现新事物。耦合的结果是得到

一个采样序列{x _n }={x _o , x ₁, c ₂ , c₃ ,Λ , x _n ,Λ }. 我们想知道此序列的特性。

两者结合起来满足的方程为 xn＝cos(2nto)，它相当于

xn ＝ cos(tn )

 ＝2ⁿ t ,

序列{x _n} 的元素必然是大于等于—1、小于等于 1 的实数，因为｜ coost｜≤1.前几项为：

xo＝costo,

x1＝cos(2to), x2＝cos(4to),

x3＝cos(8to)⋯.

由图 5—10 可见，不论对于什么样的初始条件 to，采样的结果都十分难把握，虽然只要给定 n 我们就可以确定性地写出这一项是什么。对于任意的to，迭代都几乎确定地遍历相空间［—1，1］。

这就是确定性过程生成随机性过程的一个例子。本质上浑沌就是确定性的随机性。