麻雀的骨架

介绍 Logistic 映射动力学随着参数的变化行为一般是一步一步来，先讲周期倍分岔，再讲分岔精细结构。我们倒过来做，先给出“骨架”，使初学者先有一个整体印象，然后再做局部分析。许多学生问常见的分岔骨架图是怎样作出来的，这里将详细讲解。

Logistic 映射是一维的，是说其相空间是一维。迭代次数 n 相当于离散时间，由初始值 xo 出发，随着 n 的增大，会得到一个迭代序列

xo,x1,x2,⋯,xn,

这些点就叫相点。系统开始时一般要经过暂态过程，好比合上电闸一瞬间，暂态是一种过渡状态，表明系统没有镇定下来。注意这里的“镇定”

（steady）一词与非线性动力学中讲的“稳定”（stable）不同。确切说应当叫做“定常”。“定常态”（简称“定态”）指系统经过暂时的过渡态后进入能代表系统自身特性的一般运动状态。

我们在纵轴上只记录 xn 的定常态（不理会暂态点），在横轴上记录参数， 所以这种图不是简单的相空间图，而是相空间与参数空间的“乘积空间”。要注意的是只有在一维系统中才能详细地研究相空间与参数空间的乘积空间中的行为，对于高维系统这几乎不可能。所以对于一维映射科学家们可以利用解剖刀做细致的研究。

定常态不一定是一个点，定常态可以有许多点，甚至无数个点。在连续系统中，只有一个点的定态叫不动点（或平衡点），代表周期运动的极限环上有无数个定态点，拟周期运动也有无数个定态点。在现在讨论的离散系统中，不动点还是一个点，周期运动则是有确定数目的有限个点，如周期 4 运

动就有 4 个不同的点，周期 5 就有 5 个不同的点。非周期运动则有无数个点。到此为止还没有提到参数变化。以 xn+1＝1－μx2n 为例，当参数μ固定

时，系统的相点位于一条垂直于横轴的直线上，虽然可能只是其中的一个点或几个点。所有暂态点当然也位于这样的直线上。上面提到只记录定态点， 理由是在这里定态点比暂态更重要，如果什么都记录下来，就会喧宾夺主， 看不清分岔骨架。这样讲并不意味着暂态无所谓，事实上有人专门研究暂态，暂态在工程上也有十分重要的意义，这是另一回事，我们不讲。

作图的基本东西都交待了，还有一个小问题：初始值的选取。只要做一下计算机实验就知道这不是个麻烦事，可以从 0 到 1 之间的数中任取一个作初始值，计算出来的结果没有本质不同。但是不要忘记这是从“物理”的角度看，计算机实验也属于“物理”，因为计算机是机器。为什么？下文交待。

两种形式的 Logistic 映射分岔图分别见图 6—2 和图 6—3。噢，你看到了，它们很不相同。再看看，它们真的不同吗？对了，有些相同。不是有些相同，而是非常相似。再看细些。你弄明白了，它们完全一样。

开始你看到不同，这是测度上的不同。最后你看到相同，这是拓扑上的相同。测度性质与拓扑性质是两种重要的但不同的性质。有时只考虑其中的一种，有时都要考虑。后者也许更有趣，它表达的是结构！

我告诉你，非但这两种形式的映射结构一样，还有无数种形式的映射分岔图也与它们完全一样。这叫普适结构。再举两个例子：

xn+1＝bsin(πxn), xn+1＝xnexp[δ(1－xn)],

后者的分岔结构图见图 6—4。我告诉你一个小秘密，也许你早已猜测到了，在区间 J 上只要右端的函数的泰勒（B，Tay1or）展开式中含有 2 次项， 它们的迭代就有类似的结构。这样的映射在区间 J 上是单峰的（uninlodal）， 即只有一个最大值。