朱照宣思维实验

北京大学朱照宣教授讲课举了一个思维实验（gedankenexperiment）可用来说明耦合振子的锁相问题。另外此模型与生理节律研究中的累积-发放

（integrate and fire）模型有一定类似性，同样能说明许多生理学问题。

设有一理想的水龙头在滴水，经过无量纲化处理，水滴质量 m（t）随时间的变化用一条 45 度斜线表示（见图 5—8），水滴质量增大到 1 时自动脱落。可以把此滴水系统看作张弛（re-laxation）型的自振系统。在生理系统中 m 相当于活动度（activi-ty），它随时间而上升，直到产生一事件的阈值，然后立即回落到第二个较低的阈值。在这里，高阈值为 1，低阈值为 0。

现在对龙头进行周期击打；令 T 表示周期，f 表示频率。打击强度μ也作无量纲化处理。设打击周期与水滴自振周期之比为λ＝T（打）/T（自）

＝ｆ/（自）/ｆ（打），每一次的打击强度为μ，当然μ小于 1。在图上， 打击强度线用粗线表示。如果打击线与水滴自振线相交，表示水滴未长满就被击中，设击中后小的水滴下落，然后水滴从 0 重新开始生长。对于生理系统而言，外界的周期打击相当于外部信号周期刺激该系统。

如果打击强度μ加上水滴质量 m（t）小于 1，即μ＋m（t） ＜1，则表示没有打中水滴。假设小水滴受此击打后不产生影响，继续沿 45 度线增

加质量；直到下次被击中落下，或者质量到达 1 后自然脱落。现在有两个参量λ和μ，我们考虑参量（λ，μ）与锁相（同步）的关系，在参数平面（λ， μ）上考虑问题。

如果每打击一下，水滴正好掉下一滴，则有所谓的 1：1 同步。参量所满足的条件为

λ＜1,

λ＋μ＞1.

满足这样条件的参数处于图 5—9 右上方最大的三角形区域 AMB。

如果每打击两下就掉下一滴水，则有 1：2 同步关系。此时参量满足的条件为

λ＜1 / 2,

2λ＋μ＞1,

λ＋μ＜1.

附加后一个条件λ＋μ＜1 的意思是保证打击一下时，水滴未被击中。这叫作 1：1 共振（同步）具有优先性。将这三个条件在（λ，μ）平面画出就得到三角形 DCB。

如果每打击三下就掉下一滴水，则有 1：3 同步。此时参量满足的条件

为

λ＜1 / 3

3λ＋μ＞1,

2λ＋μ＜1.

这样就得到 1：3 同步区，即三角形 FEB。上面提到 1：1 同步优先于 1： 2 同步；同样，1：2 同步也优先于 1：3 同步。类似地，2：3 同步优先于 3：

5 同步。

一般说来，p:q 同步代表打击 q 次，掉下 p 滴水。其中 p 与 q 互素，并且 p 小于 q.条件为

λ＜p / q,

qλ＋μ＞p,

(q − 1)λ＋μ＜p.

采用类似的办法可以得出 1：4，1：6，2：3，3：5，3：4，4：5，5：6 等等同步区。由图 5—9 见到的同步优先性都可以通过法里树推断出来。图中所画的许多尖角就是阿诺德舌头。同步区宽度依赖于耦合强度（在这里为μ）和同步模式（即法里序列的级别），耦合强度小时，舌头较窄，法里序列级别越高（q 值较大），舌头也较窄。

补充一点，近年来学术界比较热门的话题是“同步浑沌”（synchronized chaos）。这种“同步”与原来振动理论讲的同步含义不全相同，更接近于日常语言中“同步”的用法。浑沌运动因为是非周期运动，与之同步的运动也是非周期运动。谈同步总得涉及频率，说到同步浑沌的“频率”，也是在类比的意义上使用，因为根本没有一个确切的频率，但运动仍然有节律，有步调。这时谈同步是指节律、步调相同。无疑，“节律”是比“频率”更广泛的概念。北京大学非线性中心非常关心同步浑沌问题，专门组织过讨论， 研究了科学中“同步”概念的具体演变，认为需要收集更多的物理科学、生命科学同步实例，做计算机数值实验，并从数学角度发展时变线性系统稳定性理论，深入研究参数共振的本质。