舌头排序

阿诺德舌头代表一系列锁相区间，在锁相区中运动是周期的。

每一个舌头都与一个有理数对应，若有理数用 p/q 表示，则对应的舌头记为 p/q 舌头。

这些舌头在Ω轴上的排列次序非常奇特。在一定分辨层次上，考虑任意

三个相邻的共振区，它们对应的有理数分别为， p1

, p2 和

p3 ，则有如下关

系：

也就是说，中间的有理数等于两边有理数的某种“加和”，这是一种特

1 1 1

殊的“加法”：分子相加，分母相加。看两组例子，对于，，和

4 3 2

2 1 2

，，分别有“加法”关系

7 3 5

1 ⊕ 1 ＝ 1 , 2 ⊕ 2 ＝ 1 .

4 2 3 7 5 3

1 1

这两组数中都出现了，那么与邻近的到底是什么数？说清这些将涉

3 3

及振动“等级”和纯数学中的一种奇怪“序列”。

舌头排序关系恰好对应于数论研究中的法里（John Farey）树。法里是英国的一位爱好广泛、知识渊博的“小人物”，因为他并不像其他人物那样身后留下大块的文章。据说他受好收藏奇石、矿物，对音乐、钱币、车轮、数学、天文都有涉猎，经常发表一些“豆腐干”文章。使其名垂青史的只是“法里序列”。我们先看“法里树”（Farey tree）：

0 1

级：，

1 1

第2 0 1 1

第3 0

第4 0

2 1

1 1 2 1

3 2 3 1

1 1 2 1

3 2 3 1

第5 0

4 3 5 2 5 3 4 1

1 1 2 1 3 2 3 1 4 3

1 5 4 7 3 8

5 2 5 3 4 1

5 7 2 7 5

，，，，，

8 3 7 4 5 1

⋯⋯

0 1

除去两边的

和不计，第 1 级有 0 个数，第 2 级有 1 个，第 3 级有 3

1 1

个，⋯，第 n 级有 2n-1－1 个。

设第 k 级总项数为 Sn，容易看出有递推关系 Sn+1＝2Sn＋1，其中 S1＝1。所以 Sn＝2n-1－1，其中 n 为正整数。法里树还可以用连分数（continued fraction）的形式表示：

第 1 级：［］，［1］

第 2 级：［］，［2］，［1］

第 3 级：［］，［3］，［2］，［1，2］，［1］

第 4 级：［］，［4］，［3］，［2，2］，［2］，［1，1，2］，［1， 2］，［1，3］，［1］

⋯⋯

其中［］表示 0/1，「1］表示 1/1，[a，b，c，d，⋯］是连分数的简记形式，其含义为：

p ＝x ＋ 1

a＋ 1

b＋ 1

c＋ d＋Λ

＝[xo,a,b,c,d,⋯].

因为这时 p 不大于 q，所以 xo 为 0，在上面的法里树中，为记录方便略去了前面的 0。有理数具有有限的连分数展开式，无理数具有无限的连分数展开式。任何一个二次无理数都有一个从某一位后是循环的连分数展开式。这是 1770 年拉格朗日（J.L.Lagrange）证明的一个定理。所谓二次无理数是指形如

P ± D Q

的无理数，其中 P，Q，D 都是整数，D 是正的非完全平方数。比如就

是二次无理数。设 x 为任意无理数，则 x 可以表示成 x＝[xo,a,b,c,d,⋯的形式。1891 年胡尔维茨（A.Hurwitz）推进了狄利克雷（P.G.L.Dirichlet）有理逼近定理，证明了一个更强的逼近定理：任何一个无理数 x 都有无穷多个满足不等式

x－＜ 1

q≥1

的有理逼近p / q，并且数是最好可能的数，若用更大的数去代替

不等式都不再成立。历史上胡尔维茨证明此逼近定理没有用连分数，而是用法里序列的性质！

从逼近的观点看，连分数展开式“最简单的”数，却是最坏的数，因为它们极难逼近。设

ξ＝ 5－1 ＝[0,1,1,1,Λ ]＝[0,1], 2

这里的ξ就是非常有名的黄金分割数，约等于 0.618。这个数是最难逼近的。在浑沌理论中，ξ所对应的无理 KAM 环面是“最坚韧的”、坚持最久的环面，当扰动增加时，这个数对应的黄金环面（golden torus）最难破坏，因而最后被破坏。一旦它也被破坏了，系统就进入全局完全浑沌。黄金分割数ξ可以用斐波那契（Fibonacci）序列近似：

ξ ≈ Fn ,

Fn＋1

Fo ＝0,

F1 ＝1,

其中 Fn 是第 n 个斐波那契数，递推关系为Fn+1＝Fn＋Fn-1, n≥2.

这是一个常系数齐次线性差分方程。特征方程为r2─r─1＝0,

求出 r，再根据初始条件，可以容易求得 Fn 的解析表达式，结果可能出乎意料，表达式中竟然含有无理数：

1  1＋

5  n  1－

5  n 

F_n＝



 2

 －

 

 .

2  

实际上根据递推公式可以迅速求出 xn＝Fn/Fn＋1 的极限为黄金分割数0.618⋯。递推式两侧除以 Fn 有

1 ＝1＋x x n

n－1 ,

当 n 趋于无穷大时，xn 与 xn-1 的极限相等，所以有1＝x(1＋x),

解此方程得

x＝－1± ,

舍去负值有

x＝ξ＝ 5－1 .

从逼近的角度看，存在无穷多个与ξ等价的无理数。一切与ξ等价的无理数连分数展开式在最后都有与ξ相同的循环节，即都有无数个 1 在循环。浑沌研究通过法里序列、连分数、无理数逼近理论等等与数学中的皇后

——数论发生了密切关联，特别是与丢番图逼近（ Diophantine approximation）联系紧密。一位活跃于浑沌动力学领域的数学物理学家斯维丹诺维奇（P.Cvitanovic）说过：“我主要参考哈代（G.H.Hardy）和莱特（E.M. Wright）的著作。”这两位数论专家写的《数论导论》是数论方面的“圣经”，如今也成了浑沌学家的必读书。

“法里序列”不同于法里树。法里序列构成规则为：满足上面所述“加和”关系，并且第 n 行真分数由所有分母小于或等于 n 的真分数组成。可以从法里树中去掉分母大于 n 的分数直接得到法里序列。

F1： 0 ,1

1 1

F2 0 1 1

：，，

1 2 1

F3 1 1 2 1

：，，，，

1 3 2 3 1

F4 1 1 1 2 3 1

：，，，，，，

1 4

F5 1

3 2 3

1 1 2

4 1

1 3 2

3 4 1

：，，，，，，，，，，

F6 0

5 4 3 5

1 1 1 1

2 5 3

2 1 3

4 5 1

2 3 4 5

：，，，，，，，，，，，，

1 6 5 4

⋯⋯

3 5 2

5 3 4 5 6

对于 F1，序列有 0 项；对于 F2，序列 1 项；对于 F2，序列有 3 项；对于 F4，序列有 5 项；对于 F5，序列有 9 项；对于 F6，序列有 11 项；对于 F7，序列有 17 项。对于 F100，序列有 3043 项。任意给定一个整数 n，则 Fn 所具有的法里序列项数很难直接求得。不过，数论专家已猜测到项数趋于 3n2/π

2.对于 n＝100，则 3n2/π2＝3039.6355⋯⋯，很接近 3043。

以圆映射为例，横坐标记Ω，纵坐标记耦合强度 K（见图 5—6），这些舌头尖朝下。舌头排列顺序严格满足法里树关系。由于分母大的锁相（共振）难以观察到，也可以用法里序列近似表示。

随着 K 的增大，舌头变宽。这就是说当耦合强度增加时，共振区增加了，当 K 增大到 1 时，共振区相重叠，系统出现浑沌运动。