初始条件有多少信息

Logistic 映射当参数 a 取 4 时，系统表现得最浑沌。这时 xn+1＝4xn（1

—xn）可以解析求解，能做透彻的研究。作变量替换是可行的，设xn＝sin2（2nβπ），

其中 0≤β＜1，容易验证xn+1＝sin2（2n+1βπ）.

把初值中的β表示成二进制小数β＝0.b1b2b3b4b5b6b7b8b9⋯ ，

可 以 方 便 地 写 出 迭 代 结 果 ： xo＝sin2（2oβπ）＝sin2（π×0.b1b2b3b4⋯） x1＝sin2（21βπ）＝sin2（π×b1.b2b3b4⋯）

＝sin2π×b1＋π×O.b2b3b4⋯）

＝sin2π×O.b2b3b4⋯） x2＝sin2（22βπ）＝sin2(π×O.b3b4b5b6⋯） x3＝sin2（23βπ）＝sin2（π×0.b4b5b6⋯）

⋯⋯ xn＝sin2（π×0.bn+1bn+2bn+3）

初始条件 xO 通过β完全给出，假设β中有 100 位二进制小数，则迭代100 次以后，初始信息就全部消耗干净了。如果β有 200 位二进制小数，迭

代 200 次则初始信息全部消耗干净。

每迭代一次相当于损失 1 比特信息，这个损失率相当大。这也就是 a＝4 时系统极端浑沌的原因。迭代序列的随机性最终是由初始条件值β或者与β 有关的一个简单函数 xO＝sin2（βπ）的值的性质决定的。

而β或者 xO 在区间（O，1）上则几乎是算法随机的。这是什么意思？这是说从（O，1）中任取一个实数，此实数的小数展开式则几乎必定是信息不可压缩的，即随机的。

对于 a＝4 的 Logistic 映射而言，迭代过程把初条件中潜在的随机性全部实现了。人们会问，其它系统也可以具有同样性质的初始条件，为什么最终结果未表现出随机性、浑沌性？这只能从非线性来回答，确切说 a＝4 的Logistic 系统具有对初始条件的敏感依赖性，而其它系统可能不具有此性质，因而即使初始条件有潜在的随机性，但最后实现不了，系统仍然表现为确定性（不动点或极限环或环面）。

从ｆm 的图象可以大致看出系统的遍历性质。为简单计，ｍ取 18，当 a

＝4 时ｆ18 的图象充满了第 I 象限的正方形，表明系统状态点几乎可以抵达相空间的任何一点。而 a 取别的值时，ｆm 明显不能充满相空间。

当 a＝4 时还可以解析地求出 Logistic 映射的不变分布

p(x)＝ 1 ,

∫ p(x)dx＝1,

可见，相点除了充满相空间外，在区间两端出现机会更多些，x 趋近 0 或 1 时 P（x）值很大。在（0， ）区间上 P（x）的图象是对称的 U 型曲线。

当 a＝4 时 Logistic 映射可以变化成等价形式的帐篷映射（ tent map），设

x＝sin 2 x ，0≤y≤1，

 2 

则原映射变成

sin2  π

2   π 

 y → sin

2

y。

 2 

  2 

表示成 y 的迭代关系，有

2y ,

y ＝

0≤y n ≤1 / 2，

n+ 1

2(1－y ),

 n

  1. ＜y

  2. n

≤1.

帐篷映射有两个不动点 y＝0 和 y＝2/3，分别对应于原映射的不动点 x

＝0 和 X＝3/4。此时映射有两组周期 3 循环，但都不稳定。不但如此，系统的所有周期解都不稳定，稳定的只是浑沌解。第 7 章从流到映射

浑沌无知而任其自复，乃能终身不离其本也。

——郭象，《庄子注》

夫曰天秩、曰物则固也，然方其一览，则纷纭胶葛，杂沓总至，莫化工

时时之所呈若。①——密尔，《逻辑学》（严复译）