大象动物

什么是非线性？可以从线性出发，进而定义非线性。但这样做的后果可能给人一种错误印象：以为线性是基本的，非线性是次生的；线性是重要的， 非线性是细枝末节；线性是逻辑先在的，非线性是逻辑派生的。其实线性与非线性无所谓先与后，无所谓好与坏。

简单说，线性是指成直线关系，或呈直线关系，更简单的说法是成比例关系。以投入产出为例，做 2 分工，出 5 克产品，做 4 分工，出 10 克产品，

做 3 分工，则出 7.5 克产品。这太好理解了。

再看弹簧的形变问题。经过长期的实践人们发现，弹簧下面悬挂重物时，弹簧的长度会变长，而且遵守一定的规律。设弹簧不载物时原长 18 厘米（这个数值其实无关紧要），力的单位以“牛顿”记。只研究挂重物平衡后的情况，这时恢复力（F）与重力（G）大小相等方向相反，都作用在弹簧上。经测量有表 3-1：的数据，注意，请不要害怕数据。

由实验可以确定恢复力 F 与伸长量△x 之间的函数关系： F＝－k△x，

其中负号表示恢复力的方向与形变量方向相反。上述公式表达的是一种呈直线的关系，叫做线性关系。其中 k 是系数，称劲度（stiffness）系数， 以前叫做“倔强系数”，在本例中其数值为 20 牛顿/厘米。

我们还发现，恢复力 F 与弹簧长度 L 之间并没有明显关系。

力 F 与形变量△x 的线性关系被称作郑玄-虎克（R.Hooke）定律（东汉经学家郑玄在注解《考工记·弓人》时，先于胡克提出了此定律），初中物理学就讲述此定律。它是弹性力学的基本规律，还可以叙述为：“在小变形情况下，固体中的应力与应变成正比。”我们应当明确此定律并不是永远成立的，其前提是“在弹性限度内”或“小变形情况下”。在一般情况下，这就是其唯一限制了，在严格意义上，即使在弹性限度内，两者也未必呈线性关系。但由于差别不大，通常只承认线性关系。

可是，时间久了，学者们却容易得出一个虚假的结论，力与形变总是呈线性关系的，甚至线性关系才是大自然的本来面目。准确地说，线性关系只是局部关系，只在局域上成立。什么是“局部”？对于不同系统有不尽相同的含义。

其实，投入产出关系也不一定是线性的，学过经济学的都知道“边际收益/效用递减规律”，意思是说，自变量增加时，因变量不是成比例地增加。一亩地施 1 斤化肥增产 10 斤粮食，施 2 斤化肥可能增产 20 斤，但施 3 斤化

肥可能只增产 25 斤，施 100 斤化肥可能减产 100 斤，再下去会怎样？施 200 斤化肥可能颗粒不收。怎么？苗都烧死了！前面做工的例子也一样，开始时线性增加，由于人的工作强度是有限的，用工过多，效率必然下降，投入同样多的劳动，只能多产出一点点。

弹簧的例子也是如此，所挂物体重量达到一定量值，接近或超过弹性限度，力 F 与弹簧形变△x 也不再是线性关系。从图象上看，线是弯曲的。

再抽象一些，可以把线性定义为：系统中变量所满足的函数关系只是线性函数，则变量具有线性关系。只包含线性关系的系统称线性系统。“线性” 与“非线性”更准确的说法可用“算子”表达出来。数学公式有利于明晰， 如果你很讨厌数学公式，可以跳过有关内容，当然你的收获也少些，更大的缺点是，仅仅凭普通语言文字，可能误解作者的用意。

设φ和ψ是任意两个（向量）函数，a 和 b 是任意两个常数，若算子 L 满足如下叠加原理

L（aφ＋bψ）＝aL（φ）＋bL（ψ），

则称 L 是线性算子，否则 L 是非线性算子。包含非线性算子的系统为非线性系统。从功能上看，非线性是通过线性来定义的。从形式上看，非线性在方程中指相关变量含有二次或二次以上的项。

初中数学讲过直线方程：y＝kx （任何直线方程都可以通过平移，化为这种形式）；高中数学讲过抛物线方程：y2＝2px。前者是线性方程，后者是非线性方程。

所谓“叠加原理”也不难理解。用上述两个方程可作完全说明。对于方程而言，可叠加的含义是，两个解加起来后仍然是原方程的一个解。设 x1、y1 和 x2、y2 是上述直线方程的两组解。对于 y＝f（x）＝kx，有

y1＝kx1， y1＝kx2·

我们很容易证明，x1＋x2，与 y1＋y2 也一定是此方程的一个解： f（x1＋x2）＝kx1＋kx2＝k（x1，＋x2）

＝y1＋y2·

非但如此，我们还能证明，对于任意两个常数 m 和 n， （mx1＋nx2， my1＋ny2）也一定是方程的解。

现在看一个稍复杂的例子。大学中一般都学过微分方程，通常只学线性微分方程。二阶齐次线性微分方程的一般形状为：

d² y dy

dx2 ＋P（x） dx ＋Q（x）y＝0.

因为方程关于未知函数 y 是一次的，最高阶导数为二阶，所以叫二阶线性微分方程。假设 y1 和 y2 是方程的两个解，设 C1 和 C2 是任意两个常数， 可以证明 C1y1＋C2y2 一定也是方程的解。

d ² d

［ dx2 ＋P（x） dx ＋Q（x）］（C1y1＋C2 y 2 ）

d ² d

＝［ dx2 ＋P（x） dx ＋Q（x）］C1 y1＋

d ² d

［ dx2 ＋P（x） dx ＋Q（x）］ C2 y2 ＝0.

其实，解的这种可叠加性正好可用于求线性微分方程的通解。如果 y1 和 y2 是二阶齐次线性微分方程的两个“线性无关”的特解，则 C1y1＋C2y2 就是方程的通解。注意，“线性无关”与“非线性”可是两个完全不同的概念。

非齐次线性方程的通解可表示为y＝C1y1＋C2y2＋y*，

其中 y*是非齐次线性方程的一个特解，C1y1＋C2y2 是齐次线性方程的通解。

中学和大学物理课都讲过谐振子运动。谐振子运动系统是线性系统，解具有叠加性。如果 x1（t）是在策动力 F1 作用下的运动，而 x2（t）是在策动力 F2 作用下的运动，则在合力 F1 和 F2 联合作用下的运动就是 x1（t）＋ x2（t）。阻尼谐振子的运动方程为：

d² x

dt ²

＋ 1dx ＋ω ²x ＝F. τdt ^{o 1}

它只是我们上面说的二阶线性微分方程的一种特例。如果

d² x 1dx

¹ ＋ ¹ ＋ω ²x ＝F ，

dt ²

d² x

τdt

1dx

0 1 1

2 ＋ 2 ＋ω 2 x

＝F ，

dt ²

τdt

0 2 2

则一定有

d² y

dt ²

＋ 1dy ＋ω² y ＝F ＋F ，，y＝x ＋x .

τdt 0 1 1 2 1 2

在数学中线性与非线性是好区分的。方程中只要变量之间不互相乘除，

就不会出现非 1 次的项，因而就没有非线性。变量所构成的项只要有 2 次、

3 次以及非整数幂次，则一定是非线性方程。大学有门课程叫“线性代数”， 因为那里讨论的基本上都是线性方程。

应当注意的是，在物理世界情况比较复杂，“线性”与“非线性”不是绝对分明的。特别是在“非线性现象”这一叫法中，有许多模糊之处。对于某些复杂现象，在一定条件下，既可以把它视为非线性现象也可以把它视为线性现象，这与人们看问题的角度和所关心的变量的时空尺度有关。

即使从数学上看，线性与非线性也可以转化。一些非线性方程也可以通过变量替换等等技巧，化成线性方程，然后对线性方程求解，求解后再代回去，间接求得原来非线性方程的解。另一方面，当非线性非常弱时，非线性影响较小，在处理过程中，可以忽略非线性项。过去用得最多的是，对非线性问题强制作“线性化”处理，这是一种“危险的”的方法，但常常是不得已的办法。实践证明“线性化”技术“常常”奏效。对于“常常”在后文要做适当修正，实际情况是“不常常”。

在非线性科学大规模涌现之前，人们自觉或不自觉地普遍持有一种过分乐观的想法，以为任何问题都可以线性地获得圆满解决。现在看来，非线性是普遍存在的，多数问题不能通过线性的办法或线性化的办法解决，因而直接面对非线性是不可避免的。（当然，直至今日也还有一些人认为研究非线性是不必要的！）

非线性系统比线性系统更普遍。如果说线性是动物中的大象，则非线性则是非大象动物。