分水岭与吸引域

在单摆运动中引入阻尼，但暂时不引入外部驱动，上面介绍的相图将发生变化。由于有阻尼，系统不再是保守的，而是耗散的。相体积在演化中收缩。

考虑了阻尼后，可以推断，无论摆开始时具有多少机械能，最后都消耗干净，摆会停止在 O 点处。从相图上看，A 和 B 点仍然是鞍点，但 O 点变成了稳定焦点。

更为重要的变化是，分界线发生了巨变。原来有两条分界线直接连接 A 和 B，此时不复存在。但“分界线”一词还可以用，确实，分界线仍然存在。

请看图 5—2，图中阴影区和白区分别代表不同性质的运动区域，如果初始状态点取在中间的白区，则可以确定地预言，随着时间的变化，状态点最终直接演化到了中央的 O 点。图中画出的白色区域叫“吸引域”（basin of attraction），其实叫“吸引盆”更恰当。它像一个汇水盆地一样，把处于

山坡上的雨水都集中起来，使之流向盆底。如果初始状态点取在左侧的阴影区域，则随后的状态点演化只能在此阴影区内。如果初始状态点取在右侧的阴影区域中，则状态点最后被吸引到右侧吸引盆中。

我们再次看到，分界线起到分界作用，而且起着分水岭的作用，雨水不可能在山坡的一侧流了一阵子后自动爬上山脊，跑到别一个汇水盆地的山坡上。因此分界线的意义非常明显，只要确定了初始点相对于分界线的位置， 就可以准确地预言状态的演化了。

简单说，吸引子是动力学系统中状态演化的极限集合。在这样的耗散系统中，点 O 是一个吸引子。它是点吸引子，也叫不动点吸引子。吸引子有许多类型，其实也不很多，至少已经认识清楚的不很多。

吸引域并不总像这个词直观上所表达的含义那样。对于复杂系统，吸引域具有分形边界，不同性质的吸引域初始点是紧密交织在一起的，你中有我，我中有你。这意味着什么？意味着你没法预测运动的归宿。假设从初始点北京天安门广场国旗杆下出发，你最终被吸引到上海；但是，如果你开始仍然从北京出发，但地点不是天安门，而是海淀区，则你可能被吸引到广东省某地。

再精确一些如何呢？比如开始时从景山出发如何？这也不能保证最后吸引到上海，可能到了杭州，也可能更惨，直接到了乌鲁木齐。

再精确一些，比如开始时从天安门广场的人民英雄纪念碑下出发。这样你可能正好被吸引到上海（这种可能性并不比其它可能性更大），也可能是美国、日本、东北，也可能还在北京某地。

有这么玄吗？确实这样，甚至比这还玄。即使也从国旗杆下出发，只要仍然还有一米、一厘米、一毫米甚至一微米的差别，最后你也到不了上海。当然也可能偶然到了上海。为什么说“偶然”呢？这是说两个不同的初始点类别是一样的，都属于同一个吸引域。你马上明白了，同类的初始点却不一定靠得最近！完全正确。这也解释了：从北京郊区某处出发，也极可能顺利到达上海。

这就是浑沌与分形的世界，某种程度上令人恐怖，有时又极富魅力。