普适常数与周期窗口

由图 6—2 和图 6—3 可见， LOgistic 映射通过周期倍化分岔通向浑沌区，但是在浑沌区中还有无数个周期窗口，其中最宽的周期窗口为周期 3 窗口。

在周期窗口区右侧，系统又通过周期倍化再次通向浑沌。毕业于美国康奈尔大学、工作于洛斯阿拉莫斯国立实验室的费根鲍姆（M. Feigenbaum） 利用手持计算器，发现了一维映射分岔中存在普适常数δ和 a。

以 a∞之前周期倍化通向浑沌为例：费根鲍姆发现分岔过程中，参数间距之比收敛到一个常数。以 an 记第 n 次周期倍化分岔时的参数值，有下述关系式

δ＝ lim

n→∞

＝4.6692016 .

此外，从纵轴方向看，分岔结构重复出现，并且按照一定的标度缩小， 当 an 趋近 a∞时，标度因子 a 成为第二个普适常数

a＝－2.502907⋯，

其中负号表示反射一下。a 的存在表明分岔过程中存在各种层次的自相似性。

更为特别的是，普适常数δ和 a 不但出现在第一次通向浑沌的过程中， 而且对于浑饨区中周期窗口处的周期倍化分岔也同样成立。

对于周期 3 窗口应多说几句。1975 年李天岩和约克（J.Yorke）发表在

《美国数学月刊》上的浑沌论文题目就叫“周期 3 蕴含浑沌”。许多人觉得

似乎有些不对头。李-约克说有周期 3 就有浑沌，而我们从图 6—2、图 6—3

和图 6—4 看到周期 3 窗口处恰恰没有浑沌。其实没有矛盾，但有些概念应当澄清一下。

首先，李-约克的浑饨不讲稳定与否，在周期 3 窗口处有李-约克意义下

的浑饨，但计算机图谱上见不到。数学上可以证明在周期 3 窗口处，当参数取某一个特定值时（比如 a＝3.83），系统确实有各种各样的周期轨道，而且除了周期 3 轨道以外其它轨道全部不稳定！这也印证了辛格定理：单峰映射最多有一条稳定周期轨道。

其次，李-约克定理及萨柯夫斯基定理都是针对垂直方向而言的，即讨论参数 a 取定时系统的定态行为。而以三位科学家命名的 MSS 序列是针对图中的横轴而言的，即讨论参数连续改变时 MSS 序列（也叫 U 序列）的结构与排列顺序。本书不展开讲 MSS 序列，这将涉及符号动力学的一大套东西，读者可以参考郝柏林的英文专著《初等符号动力学》。

第三，在周期 3 窗口附近，从ｆm 产的图象上可以清楚地看到“锁相”、

“同步”过程。我们计算了ｆ18 的图象，如果没有计算机，想得到ｆ18 根本不可能。在快要进入周期 3 窗口时，ｆ18 的图象上已显示有锁相的迹象，到

达周期 3 窗口时，锁相过程变成完全的同步，当向右走出窗口时，周期倍化分岔相当于锁相的反过程——周期运动变成非周期运动，可叫做“解锁”过程。

从ｆ3 的图象上可以看到通过周期 3 窗口时，曲线ｆ3 与 45°线的相对关系的变化。曲线ｆ3 中间部位开始一点一点靠近 45°线，然后正好相切，最后越过 45°线与之相交。一些文章用这种机制解释物理世界中的“阵发”（间歇）现象，其实用它解释“锁相”与“解锁”现象更合适。