耦合中的竞争

当考虑外部策动效应时，振动系统虽然仍然可用二阶微分方程描述，并可化成由两个一阶方程组成的方程组，但这个方程组右端显含时间 t，所以是非自治的。可以增加一维，把非自治方程变成自治方程。

设受迫振动方程为

d2 x dx dx

dt 2 ＋f (x, dt ) dt

＋g(x)＝E(t),

其中 E（t）是策动项，是周期为 L 的周期函数，f 和 g 一般是非线性函数。令 dx ＝y ，可得到两个一阶方程

dt

dx ＝y ，

dt

dy ＝ －f (x，y)y－g(x) ＋E(t), dt

此方程组是非自治的，相轨线可以交叉；再引入一个状态变量 z，令

dz ＝y ，则在增广的三维相空间有自治方程

dt

dx ＝y ，

dt

dx ＝ －f (x，y) y－g( x)＋E( z), dt

dz ＝1. dt

这样的方程代表最重要振动类型——耦合非线性振动。它涉及系统与环境的复杂作用关系，可以解释相当多的自然现象和社会现象。这样的系统一般都是耗散的，但由于系统开放，所以仍能维持精致的结构。

上述耦合振子方程涉及两个振动频率，一个是系统的原有振动频率，另一个是策动频率，所以运动轨道可以用二维环面来讨论。二维环面类似于汽车轮子的内胎，沿着大圆方向的周期为外部策动信号的周期，沿着纵向小圆方向的周期为系统原有振动的周期。

环面研究起来还是不够直观，庞加莱发明了截面法，在环面某一处垂直

设立一个平面，考察轨道每转一大圈后与此平面的交点。此截面叫做庞加莱截面。在此例中截面是二维欧氏平面，实际上它可以是多维的。在保守系统中，N2N 维的相空间和 2N—1 维的等能面，等能面的边界是 2N—2 维的超曲面。

在上述三维自治系统中，环面是二维的，轨道大致沿环面所规定的螺线管运动，轨道不断穿过截面，在截面上留下截点 Po，P1，P2，⋯，于是在庞加莱截面上可定义映射关系

Pn＋1＝TPn ,

映射 T 称为庞加莱映射。

如果运动轨道与截面只相交于有限个点，比如说 m 个点，则可知原轨道运动一定是周期运动，轨道绕大圆转 m 圈后正好闭合。从截面的映射来看， 这 m 个点一定是映射 T 的 m 周期点，也是 Tm 的不动点。因为

P1 ＝TPo , P2 ＝TP1 , , Pm ＝TPm－1 ＝Po ,

或者说 P＝TmP.

如果截面上截点有无限多个，则原来的运动一定是非周期运动。非周期运动不一定是浑沌运动，但浑沌运动一定是非周期运动。拟周期运动（殆周期运动、条件周期运动）是非周期运动。

如何判断运动是否为周期运动呢？可以从环面的两个频率之间的关系考虑，如果有多个频率，可考虑频率的线性组合；只有两个频率则比较简单， 可以直接考虑频率的比值。如果频率比值是有理数，则运动一定是周期的， 如果频率比值是无理数，则运动一定是非周期的。

任何有理数都能表示成 p/q 的形式，其中 p 和 q 都是整数，并且互素（即没有公因子）。而无理数是不可能表示成这种整数比的。

设两个频率分别为ω1 和ω2，对应的周期分别为τ1 和τ2。其中ω1 表示大圆方向的运动，ω2 表示小圆方向的运动，见图 5—5（2）。设ψ1 和ψ2 是两个振子的相角。沿大圆方向的角度变化用坐标ψ1 表示，沿小圆方向的角度变化用坐标ψ2 表示。显然有如下关系：

dϕ1 ＝ω , dt 1

dϕ2

dt

＝ω 2 .

定义转动数（rotation number） R 如下：

R＝ ω 2 ＝ τ1 .

ω1 τ2

R 是庞加莱发明的非常有用的一个量。若 R 为有理数，即

p

R＝ ，其中 p,q 互素，

q

则运动是周期的。这时 R 的含义为，轨道绕大圆 q 周，这期间正好绕小

圆转了 p 周。若 R＝2/3，则说明绕大圆 3 周正好绕小圆 2 周。

如果 R 不能表示成两个有理数之比，R 仍然有物理意义：轨道绕大圆一周时绕小圆转过了多少角度（以 2π为单位）。

再来看庞加莱映射，作一简化，只考虑截面上的椭圆形曲线（闭合的或离散点组成的椭圆），引入极坐标（r，θ），则有二维映射 T；忽略半径 r 的变化，假设 r＝1，只考虑角度，则有一维映射

φn＋1 ＝T(φn )

这就是著名的圆映射（circle map）。著名数学家、浑沌学权威阿诺德（V.I.Arnol’d）曾仔细研究过圆映射，并较早考虑了它在心搏中的应用， 可惜论文发表前他的老师——大数学家柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov）建议他去掉应用部分， 25 年后加拿大科学家格拉斯（L.Glass）把圆映射的理论用于心搏，取得了世界公认的好成果。

一维圆映射虽然十分简单，但它仍然能说明有阻尼的驱动摆的许多振动问题，正如北京大学朱照宣先生所言：“同步或锁相相当于圆的微分同胚中不动点和周期点问题。”在现代非线性动力学中讲到非线性耦合振子问题则一定要提到圆映射。三维到一维，这是科学史上绝妙的合理简化方法的典范。在现代动力系统理论中仍然采用此类方法，连续微分方程通常不易研究，数学家则直接研究离散的微分同胚，在微分同胚上发现并证明定理，然后把它再翻译回微分方程。由微分方程到微分同胚，相当于由“流”到截面上的“映射”。

对于庞加莱映射φ ＝T(Tnφ)＝Tn＋1φ，我们把它具体化为一个正弦圆

映射

φn＋1 ＝φn ＋Φ＋K sin(φ n )

通常作变量替换φn ＝2πθn ，Φ＝2πΩ则有

θ ＝θ ＋Ω＋ K sin(2πθ ),

n＋1 n 2π n

此系统有两个参数 K 和Ω.K 代表耦合强度。K 小于 1 时映射是一对一的， K 大于 1 时映射是二对一的。从 K 等于 1 开始，系统向浑沌转化。

这里仍然涉及两个频率，但用一个数Ω表示出来。Ω的含义是在没有非线性耦合时固有频率与驱动频率的比值Ω＝ω2/ω1＝τ1/τ2，在这里它只是个数，并不具有频率的单位。因为我们关心的只是两个频率的比，所以只留一个作变量就行了。

对于圆映射同样可定义一个类似“转动数”的量——旋转数（winding number）。圆映射的旋转数 W 的含义是单位时间里位相的平均增加量。

W＝ lin  fn(θ1 )－θ1 ＝ lin  θn －θ1  ,

n→∞

  

n  n→∞ n 

此式（在想象中）仍然能表达“大圆转 n 圈时小圆所转的圈数”的含义。

对于变量φ，可以直接引入“转动数”R：

R＝2πρ＝ lim Tn(φ1 )－φ1 

 

n→∞ n 

＝ lim φn －φ1  ,

 

n→∞ n 

这里的ρ相当于 W.我们看到，“转动数”与“旋转数”只相差一个 2π： W（K，Ω）＝ρ（K，Φ），

其中Φ＝2πΦ.在没有非线性耦合时，K＝0，旋转数 W＝ρ＝Φ.当 K 不等于 0 时，W＝ρ≠Φ.

旋转数若能表示成 p/q 的形式，则运动是周期的；若 W 为无理数，则运动是拟周期的；若 W 无法确定，则运动是浑沌的。

周期运动附近也有一些非周期运动被“锁相”到周期运动，因此在某一个有限区域内旋转数都取同一有理数 p/q.这样的有理区域呈尖角状，叫“阿诺德舌头”（Arnol’d tongues）。类似的舌头有许多，理论上有无数个， 它们每一个都严格对应于一个特定的有理数，并且舌头的相对宽度也与有理数的性质有关。以旋转数 W 为纵坐标、频率比Ω为横坐标作图，可以看到前面说过的“魔鬼阶梯”。阶梯不是一条 45 度的直线，而是带有无数个小平台、而平台宽度不等的怪梯。严格说是分形梯，因为放大来看，梯子上任意两级台阶之间还有无数个类似的、宽度不等的台阶。

舌头区域也叫锁相区、同步区或共振区。这种共振叫做“参数共振”， 阿诺德很早就研究了这种现象。能产生参数共振的一般运动方程为

dx ＝F(x, t), F(x, t＋T)＝F(x, t). dt

其中 x 是 n 维向量，T 为周期。化成方程组，则有

 dx1 ＝x , dt 2

dx

 2 ＝－ω2 x ,

 dt 1

ω(t＋T) ＝ω( t).



以两个频率为例，从物理上看，锁相（同步）是两个频率协同、竞争的一种结果。两个频率竞争可以导致三种可能的结局：

  1. 拟周期运动。两频率比接近整数比，但不是整数比。表现为遍历运动，即轨道在环面上一点一点扫过相空间的每一区域。

  2. 周期运动。即锁相（共振）。两个频率相互配合，以一定的韵律协调运动。

  3. 浑沌运动。两个频率不相上下，宏观上看系统步调紊乱，功能失调。

系统自身运动方向只是偶然与外部策动运动方向一致，多数情况下是不合拍的。

在电信行业中，常讲锁相环（PLL＝phase－locked loops）技术，据说PLL 一词最早由贝勒席兹（De Bellescize）于 1932 年提出。在这里，“锁相”的含义略有不同，“锁相就是相位同步的自动控制”，不过，本质上是一回事。这种定义的好处是可以用于“同步浑沌”和“浑沌控制”。

锁相（同步）概念能说明日常生活中碰到的许多现象。反过来，日常生活接触的大量实例也有助于弄懂科学概念。一百多年前德国幽默大师布舒

（Wilhem Busch）关于农夫杰克与狐狸的故事就可以说明同步问题。杰克想用斧子砍狐狸，但不能达到合适的捕捉相位，结果狐狸未被击中，却与杰克交换了一下位置。这个生动的例子已被拜斯特（R.E.Best）写进《锁相环原理、设计及其应用》一书。