第二节相关分析的步骤和方法

相关表相关图 相关分析的第一个步骤，就是要知道现象之间有没有关系，如果有的话，是什么样的关系，这是相关分析的出发点。

那么，怎样才能判断现象之间有没有关系，或者这种关系表现为直线还是某种曲线呢？最简单的方法，就是把调查来的原始资料，编制成相关表，或画成相关图。

编制相关表，必须具备若干个自变量与因变量的对应资料，而且这类资料要有一定的数量，如果有全面的资料则更好。为了避免计算上的麻烦和容易把问题说清楚，我们举一个简单的例子：（见下页）

下面这张相关表，是一张简单相关表。通过这张简单相关表，说明某种机床的使用年限和它的维修费之间，确实存在着相关关系，即随着使用年限的，维修费有所增多，但趋势还不够明显。这时，就需要绘制相关图。

这张相关图，叫做散布图，或者叫做相关点图。它是将原始资料的对应数值在座标图上用点画出来，这样，就可以用来表明相关点的分布状况。一般地讲，X 轴代表自变量，Y 轴代表因变量。通过这幅相关图，我们不仅可以看出，机床使用年限和维修费和关系比较密切，而且还表现为直线相关的趋势。像这种情况，就要用直线相关的方法来进行分析。

机床使用年限与维修费的相关表

表 9 — 1

序号	机床使用年限（ X ）	年维修费（ Y ）
1	2	400
2	2	540
3	3	520
4	4	640
5	4	740
6	5	600
7	5	800
8	6	700
9	6	760
10	6	900
11	8	840
12	9	1,080

{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !06300720_0194_1.bmp}

如果原始资料很多，就要把这些资料进行分组；否则，编制出来的相关表就会很长，使用起来很不方便。而且，由于相关点太多，相关图也不好画。下面这张相关表，就是一张单变量分组表：

商品销售额与流通费用率的分组相关表

表 9 — 2

按销售额分组（万元）	商店数	平均流通费用率（%）
4 以下	18	9.85
4 —— 8	24	7.70
8 —— 12	35	6.65
12 —— 16	46	6.20
16 —— 20	65	6.00
20 —— 24	60	5.90
24 —— 28	42	5.80
28 —— 32	36	5.70
32 —— 36	20	5.65
36 以上	14	5.60

根据这张单变量分组表，可以绘制成下面这幅相关图。从下图中可以看出，随着商品销售额的增加，商店的流通费用率相应地降低。起初下降较快，随着商品销售额的增加，下降渐趋平缓，所以，最终两者表现为曲线关系。如果其他条件不变，根据商店销售额的多少，大致可以判断出它的流通费用率是多少。

{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !06300720_0196_1.bmp}

相关系数 相关分析的第二个步骤，就是要确定相关关系的密切程度，这就需要计算相关系数。相关系数是在直线相关条件下，说明两个现象之间相关关系密切程度的一个统计分析指标。计算相关系数，先要计算三个指标：

第一个指标，是自变量数列的标准差。

σ x = =

式中：σx 代表自变量数列的标准差；

x 代表自变量及其变量值 x1,x2,x3,⋯xn；

x代表自变量数列的平均值x = Σ x ；

n 代表自变量数列的项数。

第二个指示，是因变量数列的标准差。

σ y =

= Σ(y - y) ²

式中：σy 代表因变量列的标准差；

y 代表因变量及其变量值 y1，y2，y3，yn；

y代表因变量数列的平均值y = Σy ；

n 代表因变量数列的项数。第三个指标，是两个数列的协方差。

σ² = Σ(x - x)(y - y) = 1 Σ(x - x)(y - y)

xy n n

式中：σ²

代表两个数列的协方差；

x - x代表自变量数列各项变量值与平均值的离差； y - y代表因变量数列各项变量值与平均值的离差。

有了这三个指标，就可以用来计算相关系数了。相关系数，通常用 r

来代表，其计算公式如下：

r = xy =

σ x σ y

n Σ(x − x)(y − y)

这个的分子和分母都有 1n，在计算过程中，这个数值将会抵消掉。所以，上公式又可简化为：

r = Σ(x − x)(y − y)

现在，我们还是用前面举过的例子来说明相关系数的计算过程。计算相关系数，先要一张计算表：

相关系数计算表

表 9 — 3 （机床使用年限与维修费用的相关）

序号	机床使用年限 x	维修费(元)y	x − x	y − y	(x − x)2	(y − y)2	(x − x) (y − y)
1	2	400	— 3	310	9	96100	930
2	2	540	— 3	170	9	28900	510
3	3	520	— 2	190	4	36100	380
4	4	640	— 1	— 70	1	4900	70
5	4	740	— 1	30	1	900	— 30
6	5	600	0	— 110	0	12100	0
7	5	800	0	90	0	8100	0
8	6	700	1	— 10	1	100	— 10
9	6	760	1	50	1	2500	50
10	6	900	1	190	1	36100	190
11	8	840	3	130	9	16900	390
12	9	1080	4	370	16	136900	1480
合计	60	8520	—	—	52	379600	3960

这张计算表，包括两栏原始资料和五栏需要计算的材料（即：两栏离差，两栏离差平方，一栏两个离差的乘积）。根据这张计算表，我们可以按下列步骤进行计算：

第一步，先计算两个数列的平均值。

机床平均使用年限：

x = Σx = 60 = 5 年

n 12

平均每台机床维修费：

y = Σy = 8,520 = 710 元

n 12

第二步，根据两个平均值，计算出表中的各栏数值，并作出合计。

第三步，计算自变量数列的标准差：

σx =

= = 2.0817

第四步，计算因变量数列的标准差：

σy = n

Σ(y - y) ² =

= 177.8576

第五步，计算两个数列的协方差：

σ² = 1 Σ(x - x)(y - y) = 1

×3,960 = 330

^xy n 12

第六步，根据协方差和两个数列的标准差，计算相关系数：

r = xy

σx σ

= 330

2.0817×177.8576

= 330

370.25

= 0.8913

如果用简化后的公式计算，则后四个步骤可以合并。这样，就可以直接将计算表中的数字代入公式：

r = Σ(x - x)(y - y)

Σ(x - x)²

3,960

第二节 相关分析的步骤和方法

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