第九章 相关分析

第一节 相关分析的意义

相关分析的意义 在人类社会生活和自然界，许多现象之间都存在着相互联系、相互依存、相互制约的关系。例如，人体身高与体重之间，农作物的产与施肥量之间，劳动生产率与成本和利润之间，商品的价格与销售量之间，等等，都存在着一定的依存关系，而且这种关系都可以通过数量把它们反映出来。如果再进一步加以考察，则可以发现，这些现象之间的相互关系又可区分为两种不同的类型：

一、确定性关系

变之间的确定性关系，就是我们所熟悉的函数关系。这种关系的主要特点是，某一变量发生变化，另一变量就有一个确定的值与之相对应。例如， 圆的面积与半径之间的关系，就可以用一个确定的公式反映出来：

在这里，S 是圆的面积，π是一个常数，约等于 3.1416，R 是圆的半径， 只要 R 的值发生变化以后，就有一个确定的圆面积的值和它相对应。也就是说，圆的面积是随着半径的大小而变动的。

二、相关关系相关关系的主要特征是，某一变量发生变化，另一变量也随之而发生变化，但它们之间的关系值并不是固定的。例如，每亩耕地的施肥量与亩产量之间，存在着一定的依存关系。在一般条件下，施肥量适当增加，亩产量便相应地提高。但是，亩产量与施肥量增长的数值之间，并不存在严格的依存关系。因为，对每亩耕地的产量来说，除了施肥量多少这一因素以外，还受到种子质量、土壤条件、灌溉状况、耕作深度、密植程度、管理情况等其他因素的影响，即使在施肥量相同的条件下，其亩产量也并不完全相同。

但是，相关关系和函数关系也有联系。函数关系是一种理论关系，在实际工作中，由于观察或测量误差等原因，函数关系往往通过相关关系表达出来；而我们在研究相关关系时，又要使用函数关系的形式来表现它，以便找到相关关系的一般数量表现形式。由此可见，相关关系是指现象之间确实存在的、但其关系值不是确定的那么一种相互依存关系。而相关分析则是研究现象之间相关关系的一种数理论统计方法。它可以帮助我们判断现象之间有没有关系，有什么样的关系，密切程度如何，哪些因素是主要的，哪些因素是次要的，一个变量发生变化，另一变量将会发生什么样的变化等等，从而提高人们对于现象之间相互关系的认识。在实际工作中，它广泛应用于经济预测、产品质量控制、因素分析、数据处理以及自然科学研究中一些数学模型的制定等。因此，它是一种很有用的统计分析方法。为了研究问题方便起见，在这里，我们需要搞清楚两个名词。这就是在具有相互依存关系的两个变量之中，作为发生变化根据的那个变量叫做自变量（X），而把发生对应变化的那个变量叫做因变量（Y）。例如：

应该指出，有时候，这两个现象是可以互为根据的。例如，身高是体重的根据，也可以体得是身高的根据。在这种情况下，就需要根据研究的目的来确定哪个自变量，哪个是因变量。

相关关系的种类 相关关系，从各个不同角度出发，可以有各种不同的分类方法，这和后面讲的研究方法有关系。现分别阐述如下：

一、单相关和复相关

从相关关系涉及的因素多少来讲，可分为单相关和复相关两种：

（一）单相关。

在研究问题时，只涉及一个自变量和一个因变量，象这种相关关系就叫做单相关。例如，身高和体重，商品的价格和销售量，等等。

（二）复相关

在研究问题时，涉及二个或二个以上的自变量和一个因

变量，象这种相关关系就叫做复相关。例如，同时研究施肥量、浇水量、密植量、耕作深度与亩产量之间的关系，就叫做复相关。在相关关系中，单相关是复相关的基础。只要懂得了单相关，再有了必要的高等数学知识，复相关不难理解的。所以，我们在这里主要向大家介绍单相关。

二、直线相关和曲线相关

从相关亲系的表现形态来讲，可分为直线相关和曲线相关两种：

（一）直线相关。

相关关系是一种数量关系不严格的相互依存关系，如果这种关系近似地表现为一条直线，称为直线相关。

（二）曲线相关。

如果现象间的相关关系近似地表现为一条曲线，称为曲线相关。而曲线相关还有不同的种类，如指数曲线、抛物线、双曲线，等等。一般地讲，在社会经济统计中，直线相关用得比较多一些，所以，我们在这里主要向大家介绍直线相关。

三、正相关和负相关

直线相关按照它所变化的方向来讲，可以为正相关和负相关两种：

（一）正相关。

如果自变量（X）的数值增加，因变量（Y）的数值也相应地增加，这就叫做正相关。例如，身高增加，体重也增加；施肥量增加，亩产量也增长， 等等。（二）负相关

如果自变量（X）的数值增加，因变量（Y）的数值相应地减

少；或自变量（X）数值减少，因变量（Y）数值相应增加，这就叫做负相关。例如，商品销售额扩大，商品流通费用率直线降低；或商品价格降低， 商品销售量直线上升，等等。