二、猜想的发展

人们毕竟不能用对于特殊情况的考察来代替对于一般情况的研究。所以，从考察特殊情况出发而提出的猜想未必是正确的。例如：当 n 表示正整数时，我们将形为2²n + 1的数称为费尔马（Fermat）数，并把它记为F

_n。容易看出 F1=5，F2=17，F3＝257，以及 F4=65537 都是素数。1640 年 8 月，费尔马在给弗兰涅克尔（Frenicle de Bessy）的信中提出，他相信一切 Fn 都是素数。1659 年 8 月他在给卡尔卡维（Carcavi）的信中进一步指出：可以用“递降法”来证明这一猜想。著名数学家梅森尼（Mersenne， F．M．）、哥德巴赫等都曾表示过相信这个猜想是对的。但是，在 1732 年欧拉却发现 F5=232+1=641×6700417 是一个合数。这一事实立即否定了费尔马关于费尔马数的猜想。不过，人们在否定了旧时的猜想后又提出了一个关于费尔马数的新猜想：是否存在无穷多个 n，使得 Fn 都是素数；以及{Fn}中是否存在无穷多个合数。这两个猜想至今尚未解决。

从上述例子可以看出猜想并非是一成不变的，随着研究工作的深入， 人们会使猜想更加可信。这方面的另一个例子是关于完全数的猜想：如果一个正整数 n 的所有真除数（即能够整除 n 又不等于 n 的正整数）的和等于 n，则 n 称为完全数。例如 6=1+2+3，而 1，2，3 是 6 的仅有的三个真除数，可见 6 是第一个完全数。究竟有多少个完全数以及完全数有什么性质

呢？大约在公元 100 年尼科马修斯（Nicomachus）得到前四个完全数：6， 28，496 和 8128。这四个数分别在 1，10，100，1000 和 10000 所形成的四个间隔之中。欧几里得早就证明了当 p=1+2+22+⋯+2n 是一个素数时，2np 是一个完全数。而尼科马修斯得到的四个完全数恰巧是这个数在 n=1，2， 3 及 4 的情形。于是，他断言：(一)完全数的末位数是 6 与 8 交替地出现， (二)可以用欧几里得的方法得到一切完全数。以下简称这两个断言为完全数猜想(一)和(二)。在公元 283 年至 330 年雅勃利修斯（I-amblichus）不

但重复了上述猜想，而且进一步猜测在每两个 10 的相继幂次数所形成的区间（即 10n 与 10n+1 之间）中有而且仅有一个完全数（以下我们将这个猜想称为完全数猜想(三)）。后来，很多数学家重复过上述断言，有人甚至还由此导出一些错误的结论。直到 1536 年雷杰乌斯（Regius H ．）给出了第五个完全数 33550336，立即推翻了完全数猜想( 三)。1588 年加太地

（Cataldi）给出第六个完全数 8589869056，由此可见完全数猜想(一)也是错误的，1644 年梅森尼研究了形如（2n-1）的数，由欧几里得的方法知道如果 2n-1 是素数，2n-1（2n-1）就是完全数。人们称形如 2n-1 的素数为梅森尼数。这样一来，我们已经把完全数和梅森尼数联系起来了。1849 年欧拉证明了每一个偶完全数都是形如 2n-1（2n-1）的数，其中2n-1 是素数。这实际上证明了偶完全数一定可以用欧几里得方法得到。此后，关于完全数的猜想就改为：存在奇完全数；存在无穷多个梅森尼数，即存在无穷多个完全数。于是，人们的注意力也就转向寻找更多的梅森尼数以及研究奇完全数的其他性质。

有些猜想被人们所证实以后，又会诱导出一些更为深刻的猜想。前节

中所提到的素数定理被哈达玛和泊桑证实以后，人们进一步讨论以下问题：既然高斯曾经提出当 x 充分大时，可以用 1/logx 表示素数在 x 附近的密度，那么在多长的区间中一定有素数存在呢？换句话说，如果素数分布是均匀的，当 x 充分大时，在和 x+logx 之间就应该有素数了。但是这个结论是不成立的。人们自然要问 x 和什么样的数之间一定有素数？在前节中我们曾介绍过关于相继素数差的杰波夫猜想以及应用黎曼猜想所得到的结果。1936 年克莱默（Cramér，H．）进一步提出猜想：当 x 充分大时，在 x 和 x+clog2x 之间一定有素数（这里 c 是常数）。杰波夫猜想至今尚未证实， 克莱默的猜想当然尚未得证。