三、孤子、混沌的结合与非线性理论

物理学中一直存在决定论和概率论两套描述体系。二者不仅基本精神相反，而且曾经长期对立，互不相容。可是科学的发展日益表明，这两套体系是互补的。混沌理论的研究更揭示了除广泛存在的外在随机性之外， 甚至确定论系统本身也普遍具有内在的随机性。

决定论和概率论并存的现象，很具体地表现了在非线性理论中同时存在着孤子和混沌。孤子具有不变的形状和速度，具有确定的轨迹，类似经典粒子，是典型的确定论的客体。而混沌完全相反，与统计理论密切相关， 具有内在的随机性。它们一个具有特殊性，是某些非线性方程的特解；一个具有普适性，并且广泛存在于非线性系统中。一个对时间和空间都是稳定的，传播和碰撞时不变；一个不断分岔，直至混沌，并有正序和反序两个方向的对称变化。孤子基本出现于偏微分方程中；而混沌目前主要出现在常微分方程中，偏微分方程的研究才在拉开序幕。但它们都本质地联系于系统的非线性。二者携手并进，取长补短，一定能更好地发展非线性理论。

1983 年，我们提出一种新的孤子方程

ϕ（ϕ xx − ϕ tt ） − a（ϕ ² _x − ϕ ² _t ） + bϕⁿ⁺¹ = 0。

它的孤子解包括孤子形的柯西分布、正态分布和学生氏分布。并且方程可以进一步推广为

ϕ（ϕ xx − ϕ tt ） − a（ϕ ² _x − ϕ ² ） = F(ϕ)

它与很多已知的孤子方程相关，其孤子解包括费米—狄拉克分布。这样就有可能把统计理论和微分方程、物理上的动力学联系起来研究。

为了解非线性方程，数学物理中还取得了一个重要突破，采用了一些巧妙的特殊变换作为傅里叶分析的推广。它们可以称为“非线性迭加原理”，其中最著名的例子就是贝克兰得变换。这一领域的研究方兴未艾。

1985年，我们应用孤子解的方法得到费米子几率密度方程 dρ = aρ(1 − 2ρ)。

dE

然后，推广混沌理论，假定其中周期分岔相应于粒子产生，这样混沌理论就可以应用到新的领域，就可以定量描述高能多重产生和级联簇射。而多重产生和混沌理论的很多性质都是普适的。

“山外青山楼外楼”，一座比一座更加巍峨壮丽的科学高峰还屹立在我们前面，宏伟的科学大厦还等待我们去建造。孤子和混沌的结合与应用， 决定论和概率论的研究与发展等等未知领域，还有待于我们去发现，去开拓。非线性理论的广阔天地才刚刚露出几点瑰丽的醉人奇景，而试看将来的科学，必是非线性的世界！

（张一方）