二、新的方向

我们知道：从理论上解决湍流问题的重大障碍是流体力学基本方程—

—纳维尔—斯托克斯（Navier－Stockes）公式

∂V + (V·∇)V = − 1 ∇P + v∇² V ①（2）

∂t ρ

的非线性。以前只知道这类方程的定常解不稳定，会出现分岔，至于这以后会发生什么就不清楚了。1963 年，洛伦兹（Lorentz）在电子计算机上进行大气对流的数值实验时，发现一个完全确定的三阶常微分方程组，在

① 式中 V 是流体的速度场、p 是压力、ρ是密度、v 是运动学粘滞系数。

一定的参数范围内给出了非周期的、看起来很混乱的输出。传统的观念根本无法解释洛伦兹的发现。起先他以为随机性来自计算机的误差，在排除了种种随机因素后还是出现了上述现象。面对事实，他冲破了旧的观念， 提出了一种新的湍流发生机制。由于受到当时科学水平的限制，人们没有也不可能意识到这项工作的划时代意义，加之论文登在一本不太出名的杂志上，所以一直过了将近十年，这项工作才被重视起来。人们开始认识到确定论系统的内在随机性——混沌（chaos）是客观事物固有的特性，对它的研究很可能导致湍流问题的突破性进展。

确实，混沌现象的发现是人类认识自然的又一次飞跃。以前，我们把对自然界的描述分为确定论和概率论这二套看起来完全对立的方法，取得了很大的成功。但是对造成它们之间差别的原因，以及它们之间的联系等一系列根本问题，却始终没有得到满意的答复。以致统计物理的奠基人玻尔兹曼（Boltzmann）也为此而苦恼万分，人们对随机性的出现存在两种观点。有文献认为，统计方法只是处理大量粒子体系的一种权宜之计，有朝一日它将要被精确的确定论计算淘汰掉。但是，比较多的人认为：对于大量粒子所组成的复杂系统而言，统计规律是它们本身所特有的，决不能把它还原为力学规律。从确定论到概率论的发展在哲学上常常用来说明量的增加必定导致质的改变。但是对于中间的转化过程，由于缺乏必要的手段， 所以一直没有搞清楚。电子计算机的应用使我们找到了这个问题的答案： 只要确定论的系统稍微复杂一点，它就会出现随机行为，被人奉为确定论的典型——牛顿力学——具有内在的随机性。在确定论和概率论的描述之间存在着由此及彼的桥梁。

混沌理论刚出现就解决了这个百年悬案，所以有人把混沌理论和确定论、概率论并列起来，作为人类认识客观世界的又一套方法论，称为混沌论。在近阶段，混沌理论在哲学上的意义远大于它在一些具体问题上的意义，它标志了人类对客观世界的认识已进入了一个新阶段——不仅对“非此即彼”的明晰形态，而且对“亦此亦彼”的过渡性形态都能进行比较详细的研究。与随机性相关的混沌理论以及与可能性相关的模糊数学都在迅速地发展着，虽然它们研究的对象不尽相同，但是它们所描述的都是客观事物的不确定性。

为了说明什么是混沌现象，我们考察如下的迭代过程：

xn+1 = f ( xn ) = 1 − ax² _n

（3）

如果把参数 a 限制在[0，2]区间内，上式便是从线段 I=[-1，1]到它自身的一个非线性映象。这种映象可以记为 f（xn），它表示经过 n 次迭代所得到的结果。f（x1），f（x2），⋯是对离散时间（n 相当于 tn，△t

＝1）的不可逆演化序列。它所描写的是一个最简单的耗散系统。在参数 a 的增加过程中，迭代将出现多次突变。

当 0＜a＜0.75 时，在 x∈[－1，1]内任选一个初值 x0，迭代过程

将迅速地趋于一个定值x^* 。虽然由x * ＝1－a（x * ） ² 可解出两个根x^* 、x^* ，

A A B

但是在迭代时可以发现只要x0≠x^* ，其结果总是趋于x^* ，可见x^* ，对于迭

代具有吸引性，谓之稳定不动点或吸引子；而x^* 对于迭代过程有排斥性， 故谓之不稳定不动点或排斥子。当 a 变化时，原来的稳定不动点可能失稳， 但同时又会产生新的不动点。

当 0.75<a<1.25 时，迭代结果将趋于两个数值交替出现的状态，我们称它为 2 点周期。a＞1.25 后又会出现 22 点周期，尔后相继出现稳定的 2n 点周期（n=3，4，5，⋯）。当 a＝a∞＝1.40115⋯时迅速达到无穷长周期： n→∞。我们称区间[0，a∞]为倍周期区，随着 a 从小到大它可分为一周期区、二周期区、⋯⋯2n 周期区。在上述过程中，每一个稳定的周期在分岔点上都分为二个稳定的周期，通常称之为倍周期分岔。

当 a＞a∞后，多数迭代结果看起来象是分布在一定区间内的随机数， 这就是混沌现象，区间[a∞，2]叫做混沌区。在混沌区内，根据随机数在 x

∈[-1，1]区间内分布区域的多少我们就说有几个混沌带。随着 a 从小到大，混沌区可分为一带区、二带区、⋯⋯2n 带区，当 a 趋向 a∞时 n→∞。此外，在混沌区中还嵌套着许许多多周期窗口。关于这个迭代更细致的结构，无论从计算机实验还是从严格的解析理论中都发现了下面几个重要的性质。

（1）M．S．S．规则：上述映射的周期结构（包括周期数、循环方式） 在参数轴上的排列具有相同的顺序，对任意周期 P，在参数增大的方向上， 按顺序有 2p，4p，8p，⋯，2np，⋯的倍周期序列。周期区和混沌区内均存在倍周期序列。

（2）萨可夫斯基（Sarkovskii）定理：混沌区内一带区中主要周期窗口随着参数的减小依次（不相连接）为 3，5，7，⋯，类似地 2n 带区中主要周期窗口为 2n×3，2n×5，2n×7，⋯，混沌区内主要周期窗口的排列也是有章可循的。

（3）D．G．P．内部相似定律：对任一周期 p，在它的右边必定存在一个区间，这个区间内的结构与整个参数区间内的结构相似，但是它的周期为后者的 p 倍。

定律显示了混沌区内存在着无穷嵌套的自相似几何结构，同一种行为在越来越小的尺度上重复出现。这样的图象颇具我国古代所刻划的混沌—

—“气似质具而未相离”的风格。

1977 年菲金堡姆（Feigenbaum）用一个可编程序的计算器配合几何作图的方法证明了：单峰映射相邻的倍周期分岔点之间的距离当 n→∞时， 存在着一个普适常数

δ = lim δ

= lim

a n − a n+1

n→∞

ⁿ n→∞ a

n+1

• a n+ 2

=4.6692016091029⋯⋯。

在无穷嵌套的自相似几何结构中，相邻二个结构之间的标度变换因子，当n→∞时也将趋向一个常数

a＝2.5029078750957⋯。

郝柏林在 1981 年发现，参数从小到大靠近分岔点时，迭代将发生临界慢化现象——达到定态的时间τ趋向无穷大

τ = an

2 ⁿ ｜a − an ｜^∆

（4）

其中慢化指数△=1，恰好与相变现象的平均场理论一致。所不同的是这里呈现为“单边”慢化，它发生在从低阶分岔状态往高阶分岔状态接近的过程中。

上述各种普适性和标度律，对于相当多的一维映射都成立。由微分方程所描述的复杂的实际过程往往可以化为高维映射。实践表明高维映射也具有这样的性质。法兰斯西尼（V．Frances－chini）等人报导过纳维尔— 斯托克斯方程的演化过程中所看到的倍周期分岔序列和混沌区域，以及它们的普适常数和标度变换因子。虽然这些讨论仅限于少自由度系统的时间演化过程，尚未同时涉及到空间分布，但是它至少显示了流体力学的基本方程中也有内在的随机性。人们越来越有信心在这个方程的框架内，用混沌的观点来说明流体从层流到湍流的演化过程。

定量关系的发现使人们自然地把包括了分岔和混沌的“突变”现象和物理中已经研究得很透彻的“相变”现象进行更深刻的类比。这方面工作的蓬勃开展有三个背景。首先，体系远离平衡态的失稳（突变）和体系从一种热力学的平衡态转变到另一种平衡态（相变）有许多类似的地方。在定量规律发现以前已经有不少人从事这一方面的工作。其次，数学家托姆

（Thom）在 70 年代初创立了“突变论”（catastrophetheory），使得“突变”和“相变”处于同一个数学理论的框架之下，从数学上提供了开展这项工作的保障。第三，恰逢威尔逊（Wilson）用重整化群方法处理了相变

（这是个牵涉到无穷维自由度的难题），并取得了很大成功，再者，菲金堡姆用简单的设备所发现的如此重要的规律性，也颇具传奇色彩，它给人以科学的源泉永远不会枯竭，人类的认识永远不会穷尽的启迪。广大科学工作者看到了解决湍流问题的新方向。