大胆假设，小心求证

——数论中的猜想一、猜想的来源

在科学研究中常常发生这样的情况，尽管人们还不知道某些问题的结论是否正确，但是却坚信这些“结论”应该成立。这就是人们常说的“猜想”。人们在不断地解决旧的猜想和提出新的猜想的过程中丰富了自己的知识，促进了科学的发展。

既然不知道“结论”是否成立，向来尊重客观的科学工作者为什么要像预言家那样提出猜想呢？他们又是凭什么提出猜想的呢？

提出猜想的背景之一是对于一些特殊事物的考察。例如著名的素数定理是研究不超过 x 的素数的个数π（x）的性质。1808 年勒让德（Legendre， A．M．）考察了π（x）的数值：当 x 增加时，π（x）的数值也增加。当x 很大时，π（x）数值的增加呈现出一定的规律性。勒让德研究这种规律性并指出：对于充分大的 x，π（x）渐近地等于 x/（logx－1.08366）（所谓渐近地等于是指：这两个数之商在 x 趋于无穷大时所得的极限值为 1）。高斯（Gauss，C．F．）考察了以 1000 个连续正整数为单位时在每一个单位中素数的个数。他在 1876 年提出以 1/logx 来表示 x 充分大时素数分布的平均密度（即单位区间中素数所占的比例），这两个猜想都可以归结为下式成立

li m

x→8

π(x) = 1 x

log x

这就是著名的关于素数个数的猜想。这一猜想已于 1896 年被哈达玛

（Hadamard，J．）和泊桑（de la Vallée Poussin）分别独立地证明。此后，关于素数个数的猜想被称为“素数定理”。

人们之所以相信猜想是正确的，往往是基于对大量的特殊情况的考察和研究。例如 1742 年 6 月 7 日哥德巴赫（Chr．Gold－bach）给欧拉（Euler，

L．）的信中提出这样的猜想；每一个大于 6 的数一定是三个素数之和。欧

拉在同年 6 月 30 日给哥德巴赫的复信中表示，尽管他还没有证明这一结

论，但他相信这个猜想是正确的。欧拉还将它修改为：“任意一个大于 6 的偶数都可以表为两个素数之和。”这就是现代广为流传的哥德巴赫猜想。1770 年华林（Waring，E．）在叙述哥德巴赫猜想时增加了“每一个奇数或是素数或是三个素数之和。”1775 年欧拉证明了形状为 4n+2 且不超过110 的偶数一定可以表为两个素数之和。1855 年杰波夫（Desboves，A．）证实了从4 到1000 的每一个偶数至少可以用两种方式表示为两个素数之和或者表示为某个素数的两倍（在杰波夫的论证中将 1 也称为素数）。1894

年康托（Cantor，G．）对于小于 1000 的正整数证实了哥德巴赫猜想。1896

年奥伯利（Aubry，V．）证实了在 1002 到 2000 的整数之间，哥德巴赫猜想成立。同年，荷斯纳（Haussner，R．）证明哥德巴赫猜想一直到一万都是成立的。1905 年玛利特（Maillet，E．）证明了在不超过 9×106 的正整数中至多除去 14 个数，哥德巴赫猜想都成立。由此可见，人们总是先对某

一命题的特殊情况进行研究，并由此得到“命题是正确的”这样一个信念。只有产生了这种信念，人们才把这个命题称为“猜想”。

对于一些具有较高理论价值的猜想的研究，人们常常能够导出许多性质。倘若导出的性质不合理，则猜想就是错误的；倘若导出的性质是合理的，在客观上就增强了人们证明猜想正确性的信心。黎曼（Riemann，

∞

B．）猜想就是一个范例。我们考察当s是复数时级数∑

1 的收敛情况。当s

n=1 n

的实部 Res＞1 时，这个级数是收敛的，其和记为ζ（s）。用复变函数论的方法我们可以将ζ（s）延拓为全平面除去 s=1 外处处解析的函数。这个函数称为黎曼ζ函数，仍记为ζ（s）。但是从解析延拓理论并没有得到ζ

在 Res＜1 时的具体表达式。这为黎曼ζ函数的研究造成了很大的困难。在数论的研究中，黎曼ζ函数的零点（即使得ζ（s）＝0 的那些 s）在复平面上的分布情况有着广泛而重要的应用。1859 年黎曼提出关于黎曼ζ函数的六个重要猜想之一为：除去一些人们熟知的平凡的零点外，ζ（s）的零点都满足 Res=1/2。由于其余五个猜想都已陆续被证实，人们就将这一个猜想称为黎曼猜想。一百多年来，人们在黎曼猜想成立的前提下导出了一系列结论，而那些结论又是合理的。例如在“相继素数差”问题中杰波夫曾经猜测在 n2 与（n+1）2 之间一定有素数。希思—布朗（D．R．Heath

－Brown）和因凡涅斯（Iwaniec，H．）在 1979 年得到：当 x 是充分大的数时，x 与 x+x■之间一定有素数，而θ＞0.55。1984 年笔者和姚琦得到θ＞6/11。应用黎曼猜想可以得到在 x 与 x+

x·log² x之间一定有素数。与上述猜测和近期进展相比较，用黎曼猜想

所得到的结果看来是合理的。

猜想产生的背景之二是对于一些重要性质或猜想之间关系的研究。著名的孪生素数猜想是指存在无穷多个素数 p 使得 p+2 也是素数。1973 年海斯雷（Hensley）和理查德（Richards）证明了下列结果：如果不等式

π（x+y）≤π（x）+π（y）(1)

成立，则孪生素数猜想不成立。由于许多数学工作者都认为孪生素数猜想是正确的，因而人们猜测：(1)式是不成立的。这就形成了一个新的猜想。

人们在研究猜想的过程中不断地丰富了自己的知识。同时，随着知识的不断积累，有一些从表面看起来似乎和猜想关系不大的结果却会对猜想的解决起推动作用。例如哥德巴赫关于奇数的猜想：每一个大于或等于 9 的奇数都可以表示为三个奇素数之和。1937 年爱斯脱尔曼（Estermannn， T．）证明了每一个大的奇数都能表示成形如 p1+p2+p3p4 的和数，这里的 p1， p2，p3，p4 都是素数；以及每一个大的整数都是两个素数与一平方数的和。爱斯脱尔曼的结果虽然已经很接近哥德巴赫关于充分大奇数的猜想，但用他的方法还是克服不了其中的主要困难。维诺格拉托夫（Виногра одв，И．М．）在早些时候所研究的关于素变数三角和估计式的成果正好克服了这个困难。于是，在同年维诺格拉托夫就证明了关于充分大素数的哥德巴赫猜想，也就是著名的“三素数定理”。1984 年，单叶函数论中的比伯巴赫（Bieberbach L．）猜想出人意料地被德布朗吉斯（Louis deBranges）解决了。虽然这个猜想的证明思路在本世纪二十年代已经形

成，但它的最后解决是依靠德布朗吉斯发现的一个不等式。