霍甫（Hopf）分岔——准周期的道路

由于分岔次数的差别它又分为二种情况： (1)朗道（Landau）—霍甫道路

霍甫分岔描述的是在二维以上的相空间中，当某个不动点在参数变化的过程中由稳定而失稳时，新的稳定状态往往是围绕着原有不动点的周期运动，并产生频率为 f1 的振荡。控制参数继续增大，极限环又失稳出现了另一个新频率 f2，运动扩充以到二维环面。只要 f1、f2 之比为无理数时，运动就有准周期的性质：在充分长的时间内，系统所经历的状态可以与事先给定的一种状态任意地接近。随着参数的增大，新产生的频率越来越多，当频率数变得充分大时，导致了发达的湍流。

但是，在其后的几十年中，无论是理论研究还是实验观察都否定了上述机制。然而，他们对这个问题考虑的精华部分却被后人所接受。

罗埃尔—泰肯斯（Tankens）道路

1971 年他们提出，不动点经过三次霍甫分岔后，只要所产生的三个频率是不可约的就可能失稳而进入湍流状态。1978 年他们认为只需要经过二次分岔，即二维环面上的准周期运动就可能失稳而导致湍流。但是，在实验室中和计算机上都发现了具有三个不可约频率的准周期运动的系统仍未进入混沌的情况。看来准周期道路应理解为不动点经过有限次分岔后就会失稳而进入混沌状态，具体情况须视系统的本身、参数的选择以及环境的影响而决定。

郝柏林等人在微分方程所描述的强迫布鲁塞尔振子参数空间的不同截面方向上已经观察到了上面所介绍的各种通向湍流的道路。看来湍流的发生机制可能是多方面的，一条道路只反映了一个侧面。“条条道路通湍流” 并非说说而已。

实践是检验真理的唯一标准。我们采用了分频采样、功率谱、彭加勒

（Poincare）截面和直接观察的方法，引进了吸引子的维数、李亚普诺夫

（Lyapunov）指数以及各种不同定义的熵来刻划混沌运动。无论是解析讨论还是实验室里的实验都有大量的报导。作为混沌现象的重要研究手段，计算机实验的报导更是屡见不鲜。下面，我们仅介绍流体力学实验中所看到的湍流形成机制。

首先，考虑夹在二块无限大平板之间的流体在上、下底面温度差变大的过程中所出现的对流花样变化，最终形成对流湍流的实验。Libchaber 等人以液氦为工作物质的实验中，在功率谱上看到了倍周期分岔，以及随着雷诺数的增加从层流演化到湍流的过程，中间还看到了阵发混沌的现象。Giglio 等用水做工作物质，直接测量了至 n＝4 的分岔点及相应的δ，得到了δ1～2，δ2～3.3，δ3～3.53，δ4～4.3，从趋势上来看与理论相吻合。Swinney 选用水银做工作物质时，在功率谱上看到了具有两个不可约频率的准周期运动及其失稳进入混沌状态的过程，表现为罗埃尔的道路。

剪切湍流最常见，对它的研究也最有实用价值。通常是测量在两个可以独立转动的同轴圆筒之间所盛的工作流体随着雷诺数的增加而产生的状态变化，人称泰勒不稳定性。在外圆筒静止的实验中已观察到倍周期分岔和准周期到混沌态的过渡，而且得到了和计算机实验较为一致的结果。在两个圆筒都旋转的实验中还观察到了阵发混沌的现象。流体力学的实验证实由于参数选择的不同，甚至达到参数的过程不同，流体从层流到湍流的过程呈现不同的道路。

对于奇怪吸引子维数的测定也已有实验报导。在模拟因地球自转而引起的大气层对流的实验中测到的奇怪吸引子维数为 7～12。在有温度梯度的泰勒圆筒实验中，当系统处于准周期状态时为 2～3 维，进入混沌状态后增加到 11 维；没有温度梯度时，准周期阶段的维数为 2，当雷诺数 R=1.3Rc 时增加到 4～5 维。可见，这些有无限多个自由度系统的弱湍流状态完全可以用低维的奇怪吸引子来描述。但是要藉此来讨论发达的湍流恐怕还有一段距离。

从混沌现象着手考察湍流的发生机制已经受到越来越多的科学家和工程师们的关注。在研究流体中所发生的实际情况的基础上建立新的统计模型，有希望在探求湍流过程的共同特性上取得进一步的了解。最近阶段，上述研究将有助于我们得到关于湍流统计模型较为合理的多种假设，改善控制不稳定性的技术，提高我们利用和控制湍流的能力，改进各种和湍流有关产品的设计和制造以及加强对大气和海洋这一类大尺度无序的预报能力。

由于非线性是自然现象的普遍规律，所以在有物质流、能量流、信息流的地方均可能出现混沌现象。目前的报导不仅在自然科学、工程技术诸领域中，而且已经延伸到社会科学。钱学森同志认为系统工程得以上升为系统理论的基础就是“突变”理论。菲金堡姆常数可以作为系统理论定量

化的一个出发点。湍流问题不应局限于流体力学而应成为自然科学、社会科学以至各行各业共同关心的一个横断学科。

对混沌现象研究的背后蕴含着物理学的又一次革命，本世纪初的物理学革命找到了接近光速的高速系统和尺度为原子大小的微观系统的规律，而对由大量客体组成的“复杂”系统则知之甚少。虽然玻尔兹曼 1887 年就提出了 S∝lnW 的关系，普朗克则把它进一步推广为 S＝klnW，并在得到普朗克常数的同时得到了 R 的值。但是统计问题的复杂性，以及当时其它学科的迅速兴起吸引了人们的注意力，使得统计物理的奠基问题拖了将近一个世纪。现在，混沌理论能够很好地描述系统从简单到复杂的演化过程，但要解决上面的问题尚有大量的工作要做，很可能还是以“熵”作为问题的突破口。可以预料，这次革命的意义必定超过以前的任何一次革命。

混沌理论将有助于我们从整体上去认识现实世界多样性和复杂性的进化。西方的经典科学片面地强调了组成物质的单元，习惯于把研究对象分解为各种简单的要素来处理，以致有时忽视了我们所面临的是这些单元复杂而有机的结合，它们要随着时间的流逝而发生演化（在众多的物理学定律中唯有热力学第二定律涉及了这个论题）。为了全面、准确地认识这个世界还需要从整体上去进行考察。对此，中国古代的哲学有其独到之处，阴阳五行相生相克，充分体现了整体的协调和协作，这一点正为越来越多的西方科学家所注目。把东西方传统的哲学结合起来，建立新的自然哲学将有力地推动新的科学革命，这种哲学是建立在人和自然统一的自然观之上的。混沌理论涉及了这二个问题的基础，显示了事物随着时、空的演化过程及其越来越丰富的结果，而决不是“热寂”。可以预料，混沌理论必将在人类历史长河的这一个转折点上发挥重要的作用。

（陈瑞熊）