几何代数协奏曲

——用代数方法解几何问题

“几何代数化”这个迷人的课题，多少年来吸引着许多数学家对它作了深入的研究，也取得了一系列辉煌的成就。然而，从现代数学角度来看，它仍然是一个有价值而又不易解决的课题，并构成了基础科学前沿研究中的一个疑难。

我国古代很早就产生了几何代数化方法，它是解析几何的先驱。到了笛卡尔创立解析几何，古代中国的几何代数化真正达到了“化”的地步，但这是立足于初等数学的基础上来谈几何代数化的。数学发展到今天，怎样在现代数学的基础上进一步使几何代数化？不少数学工作者有着这种设想，可面临着一系列巨大的困难，需要十分具体的方法和措施。

首先，必须明确什么叫“几何代数化”。

数学上所谓的“几何代数化”，指的是用代数的方法去解决几何的问题。人们往往有一个错觉，以为几何代数化是化几何为代数。这两个貌似相同的提法，实际上具有极大的差异。化几何为代数或化代数为几何，就目前人们所研究的几何学或代数学，都是远远办不到的；并且实际上这样做也没有多大的科学意义。而用代数的方法来解决几何的问题，则意义极大。

对于什么是几何，人们的看法随着历史和科学的发展而不断地发展和变化。过去，人们比较普遍地认为几何是一种关于实在物理空间形式（点、线、面、体是其基础）的学问。后来，这种观念产生了很大的变化，也就是说，较早的是只在欧几里得几何范围所反映的程度上研究物质世界的空间形式和关系，后来发展到现实世界的只是同空间形式和关系相似的其他形式和关系也成了几何的对象。比如，克莱因提出的厄兰根纲领就认为：几何学是对在给定的对称群下的不变量的研究。而黎曼则把他的非欧几何建立在微分计算的基础上，来代替克莱因所提倡采用的那种群论。而最近，国外又有不少人对什么是几何又进行了讨论，其中有一个很重要的新见解是：认为几何学是数学中形象思维占统治地位的那部分，而代数学则是系统思维占统治地位的那部分。所谓代数方法，是随着代数概念及其内容的不断丰富和变化而一起变化和发展的。自从公元 9 世纪穆罕默德阿里·花刺子模提出解一次及二次方程的一般性法则、16 世纪韦达建立符号代数学之后，代数被看成是关于字母计算、关于由字母构成的公式的变换以及关于代数方程等的科学。后来，由于 18 世纪末 19 世纪初人们把代数方程的

解法问题作为中心问题，并进行了深入探讨，在 19 世纪中叶，代数已被看成是代数方程理论了。而到了本世纪初，代数又被人们看作是以研究各种代数系统为目的，即所谓的公理化的代数或抽象化的代数。考察代数发展的历史，可以看出，代数方法，就是字母计算的方法贯穿在全部的数学中。一是“字母”，二是“法则”。字母可代表数，也可以代表任何其它对象；运算法则或规律有满足有理数规律的，也有满足不同于有理数的运算规律的；有数的运算法则，也有像向量、张量、矩阵等其他运算法则；还有与代数方程解法问题有关的代数工具，如行列式与矩阵的理论、不变量的理

论等。也就是说，一个是用字母表示的各种形式的量，一个是作用于字母的运算所满足的规律，正是这二者，赋予代数方法以十分健全的活动能力。例如，使用字母及字母的表示式按照确定的法则进行变换，可以求解许多具体问题；仅仅依靠作用于字母的那些运算法则，就可进行代数定理的证明。近世代数还能不把自己局限在研究数的运算的性质上，而进一步地去研究更具一般性的元素上运算的性质。可见，代数方法在处理量、量的关系上确实具有它独特的优越性。

在理解“什么是几何”和“什么是代数方法”的同时，我们可以明显地看到用代数方法解决几何问题的好处：当人们用代数式来表达几何特征，用代数式间的代数关系来表达几何关系时，空间形式的研究就可以归结为比较成熟也容易驾驭得多的数量关系的研究，这就给几何学的研究带来了很多方便。那么，能不能把几何都代数化呢？探讨这个问题，并非简单地回答“能”或“不能”。这里有两类问题需要研究：1．几何代数化究竟能达到什么程度，如何把几何代数化提到更高的水平？2．都用代数的方法去研究几何问题，数学上有没有这种必要？对于这两类问题的深入研究，也是对这一课题进行研究的科学意义所在。

对于上述第一类问题，我们提出以下几点浅见：

在一定的意义下，几何代数化的程度取决于代数新概念、新思想和新方法的出现。

总结出代数运算、代数系统的一般概念，这是近世代数的重要成果。近世代数从运算的一般概念出发，即给出元素的某个系统 s，并给出一个规则，对于 s 中取一定顺序的 m 个元素 a1，a2，⋯，am，在 s 中确定唯一的一个元素 a，这时，就说在 s 中给出了一个 m 元运算，并说元素 a 是施行这个运算于元素 a1，a2，⋯，am 上的结果。定义了一个或者若干个运算的元素的集合，叫做一个代数系统。现代著名数学家 R·柯朗指出，关于集的运算的研究形成了“集合代数”，它和数的代数在形式上有许多相似之处，同时也有所不同。代数方法能用于研究像集这样的非数值对象，这个事实说明了现代数学的概念具有很大的普遍性。近些年来，已清楚地显示了集合代数能用以阐明像测度论、概率论这样的许多数学分支；它也有助于系统地把数学概念归结到它们的逻辑基础上。由于一般集合论的发展使得被代数所研究的元素的系统得到扩展，并且也导出代数运算概念本身的推广，这就大大地提高了几何代数化的水平，其典型的例子就是拓扑学。按照本世纪的理解，拓扑学分为点集拓扑和组合拓扑。就拿组合拓扑来说，在这里，几何图形可以被看作是由一些基本构件所组成，然后采用代数方法去组合这些构件，并研究图形在微分同胚变换下的不变性质。组合方法对于近代拓扑学的价值是巨大的，这个方法开辟了应用代数方法来解决拓扑问题的途径。几何代数化的这种水平对现代数学发展起着不小的影响作用。在近世代数中，群、环、域是很重要的基本概念，群论以及环、域的理论是近世代数很重要的三种代数系统。就拿群论来说，它的产生使得几何代数化的水平得到了惊人的提高。英国数学家 Newman 提到，Nielsen 在研究曲面的自映射的不动点时，运用了曲面的基本群，并认为基本群与其它同伦群的运用将促使不动点理论得到实质性的发展。在群论主要是作为变换群的理论而发展的时期内，著名数学家菲利克斯·克莱因就提出，无限的变换群，即具有无限多个元素的群，可以用来对几何进行分类，每种

几何都可由变换群来刻划，每种几何都可以看作在这个变换群下的不变量来研究。比如，在著名的厄兰根纲领中，克莱因提出：“作为几何的推广，就这样提出下列一般性问题：**给了一个流形和这个流形的一个变换群，以在这个变换群的变换之下其性质保持不变的观点研究这个流形的实体。**⋯⋯还可以这样来表达这个一般性问题：**给了一个流形和这个流形的一个变换群，建立关于这个群的不变性理论。**这便是一般性问题，即不仅囊括了通常的几何学，并且也囊括了我们必需一一考虑的现代几何学方法，以及任意维流形的各种研究方式。”这种用新的代数方法来研究几何的观点，是几何代数化的一个转折，它为统一各种几何学提供了一个很好的方案。除了上面所提到的集合代数、群、环、域等新的代数概念、理论之外，还有同态理论、自由系统以及自由并理论、直并理论、根理论等等，它们都已在或将在几何代数化上作出贡献。

代数上新概念、新思想的出现往往伴随产生着新的方法，几何代数化的水平在很大程度上取决于新方法对几何学的渗透。例如，在拓扑学中，拓扑空间的连续性与连通性，可以通过引进如贝蒂数、欧拉特征数等一些数或同调群、同伦群等代数系统来表达，而对这些数和代数系统则可以用代数方法进行分析，分析的结果可以了解到拓扑空间几何性质，代数拓扑学正是沿着几何代数化的这种思想方法而建立起来的。对于整个学科来讲，几何代数化可达到如此高的程度；而对学科中的某一具体问题来讲，几何代数化的水平也往往要由代数方法对几何领域渗透的程度来决定。比如，在数学史上，不动点理论的发展可以说有两个阶段：先研究了某一空间 x 的自映射 f 的全体不动点的指数和的问题，即代数个数的问题，属于不动点有无问题的范围；后来在有无问题的研究成果基础上，提出并研究了 f 的不动点的（几何）个数的问题。细心的读者马上就会发觉，这两个阶段正是人们处理各式各样数学方程的两个步骤。可见，代数方法的渗透既有具体技巧方面的，也有指导思想方面的。

不论几何被看成是在给定对称群下的不变量的研究，或看成是数学中形象思维占统治地位的那部分，还是看成建立在微分计算基础上的科学，人们用代数的方法去解决几何问题的主要杠杆有三；一是字母符号，二是运算法则，三是渗透于其中的思想方法。也就是说，若想把几何代数化，就应当衡量一下这些杠杆是否都适用，是否已完备，是否有必要再创立新字母符号、新符号系统、以及建立新的法则，或是要对代数方法本身加以改进，增添新杠杆，赋予新形式。其实，人们已经都在有意或无意地进行着这些方面的工作。比如，创立新的符号和建立新的法则，已为许多进行第一流数学研究的数学家所重视。现代法国著名数学家让·迪多内说： “常常是由于缺乏能够说清楚真正实质的符号，数学的某个领域就得不到发展。典型的例子就是代数学：为了写出一般的代数方程式 a0xn+a1xn-1+⋯

+an=0，从丢番图到维耶特和莱布尼茨用了整整三个世纪；⋯⋯为了使无穷小的计算获得一个确定的形式，用了整整一百年。⋯⋯好的符号往往伴随着易于使用它们的算法。”我们不难发觉，为了推动数学发展，新符号及其算法比比皆是。自古至今，符号就有较先进与较不先进之分。在我们看来，有力地推动数学发展的先进符号，至少应同时具备这么三个特色：确定性——表达的意思很明确，尽量不要一个符号有多种含义：简单性—— 一般说来，形式愈简单愈好；系统性——便于构成科学的符号系统。这就

是说，几何代数化的程度也取决于一般性代数运算的水平，尤其是字母符号和运算法则的水平。

几何代数化的程度还与代数方法的产生同几何学的发展是否“同步”或“超前”有关。因为我们必须以动态的观点来看待几何代数化，在把代数方法看成是不断丰富和发展的同时，也要把几何学看成是不断丰富和发展的。当一个几何问题出现时，人们能否及时地提供有力的代数方法，较快且成功地解决它，这对生产、生活以及科学本身的发展有着重大的意义。在几何代数化的历史上，有一些几何代数问题被代数方法延搁了很多年，如欧氏几何早在公元前约三百年就已诞生，而坐标思想在古希腊就有了萌芽，14 世纪法国僧侣尼哥拉·奥莱斯姆也有对坐标的丰富想法，但是，一直等待到韦达符号代数学的建立，再经笛卡尔的努力，才较圆满地用代数的方法解决了初等几何的问题；也有一些代数方法促进了几何发展甚至导致产生新的几何分支，如群论方法对几何研究的促进等，它成了几何、物理、化学等科学研究的重要工具。近世代数及其方法，更直接地影响了代数几何学这门学科的发展。数学发展史证明，如果代数方法能够同步或超前于相应的几何学的发展，则几何代数化便可望有较理想的进展。

既然几何代数化具有显著的优点，并且，随着代数方法和几何学的发展又可以把几何代数化推向更高的水平，那么，有没有必要对所有的几何问题都采用代数方法去解决呢？我们认为，代数方法固然有许多长处，但它亦并非没有短处，在数学王国中，不能说它就是最好的数学方法了。因此，如果一味人为地硬要用代数的方法去解决几何问题，或硬要用几何的方法去解决代数问题，效果都是不好的。代数方法与几何方法各自都有对方所不能代替的优点。比如，采用几何方法，可以利用几何图形直观地反映函数或方程中的变量之间的关系，有时还能从几何形象中对解决问题的途径得到提示。正如我国著名数学家吴文俊教授所指出的：不仅几何学由于代数化而获得了有力的武器，而且代数学（以及分析学）也往往由于借用了几何术语，运用几何类比而得到了新的生命力，促进了它们的发展。例如，早在 18 世纪中，法国数学家拉格朗日就把时间因素作为与三个空间坐标并列的第四个坐标而引入了四维空间，推动了力学的研究。同样，力学家与物理学家往往把各种物理参数作为不同坐标而引进了高维的相空间等概念，使几何方法得以在物理学中发挥作用。⋯⋯现代数学中还有一个常用的方法，即把一个个函数看作一个个“点”，而把某类函数的全体看作一个“空间”，函数间的相异程度看作“点”之间的“距离”，由此得到了各种无穷维的函数空间。一个微分积分方程组的求解，往往归结为相应函数空间中一个几何变换的不动点问题。这样，不仅分析的问题具有了几何“直观”的意义，而且可以运用近代几何拓扑以及抽象代数学的有力方法。拉格朗日说得十分好：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从而以快速的步伐走向完善。”

当今，不管是几何或代数，其抽象程度都在大大地加强。几何学已远远超过了欧氏几何范围，它已抽象地研究几何内部形成的独特的几何分支，出现了各种新而又新的“空间”；代数也已远远地超出了对代数方程的研究，它已考察比数具有更普遍得多、更抽象得多的性质“量”和“量的运算”，出现了一连串新而又新的“代数系统”。从原则上说，抽象程

度越高，其应用范围就越广泛；但在实际上，愈是抽象的东西也愈难以把握。因此，人为地硬要用抽象的代数方法去解决几何问题，势必弄巧成拙，事倍功半，这并不是我们所提倡的。我们所提倡的，是要从几何与代数的相互渗透、相互联系中，发现并采用其中有科学方法论价值的东西。比如，连续性与不连续性向来就是一对矛盾，但二者又是辩证统一的。代数方法擅长于注意并处理不连续（离散）关系，它能把问题分成几部分，然后分别精细地研究这些部分，从而达到对于连续性问题的解决，把几何问题作圆满处理。这是把某个代数方法和某种几何都看成是隶属于某类连续与不连续范畴来加以处理的思想方法。在相互渗透、相互联系中，特别有价值的是它们的交叉点。这往往是用代数方法处理几何问题，或用几何方法处理代数问题的最好用武之地。著名数学家丸山哲郎在评价克莱因时指出： “克莱因思想方法的一大特征，在于相互渗透的各学科间的融合。⋯⋯把几何学、代数学、函数论、群论等融合为一，堪称是一曲曲深刻关系而支配着的旋律谱成的交响乐。”19 世纪末叶出现了用公理化思想整理几何，本世纪 20 年代又出现了代数学的公理化，这崭新的公理化的数学思想，亦是用代数方法处理几何问题或用几何方法处理代数问题的重要法宝。现代数学的前沿研究，光有高等微积分、高等代数、高等几何还不行，还必须要有近世代数、拓扑学和泛函分析等众多学科。这一事实也表明了，在现代数学研究中，代数方法仍居重要地位。如应用十分广泛，于本世纪出现和得到迅猛发展的泛函分析，它就是分析课题加几何观点再加代数方法的综合产物。因此，代数方法以及几何代数化的前景，将在数学各学科相互交叉、相互渗透的联系中，越来越广阔。

（郭金彬郑榕英）