一、孤子（soliton）

从1834 年8 月司各特·罗素观察到河面上稳定的孤峰兀立的水波，1895年柯特维格和德弗里导出 KDV 方程及其孤子解以来，已经许多年了，但引起人们对它的普遍关注却还是本世纪六七十年代的事。对此，国内外已经有了很多综述和若干专著。在短短的二十年中，从天文学到“基本”粒子，从浅水波传播、流体力学到晶格理论、非线性光学、等离子体物理、固体物理、凝聚态物理、超导物理、弹性力学、统计力学、声子、位错、工程学、材料科学、气象学、海洋学、高分子理论、分子生物学，甚至气功、经络等等，孤子这一新的概念得到了极其广泛地应用。

非线性方程中导致解不稳定的非线性和色散效应相结合，获得了稳定的孤立波，即孤子。孤子解是应用一些技巧得到的某些非线性偏微分方程的一类特解。它具有若干有意义的性质。孤子解是一种单峰行进波，它传播时波形不变且为常速，碰撞后形状和速度仍然保持不变。

人们广泛地研究了具有孤子解的各种方程：KDV 方程

ϕ t + αϕϕx + ϕxxx = 0

及其推广；正弦—戈登（SG）方程

ϕ xx − ϕtt

= sinϕ；

黑格斯（Higgs）ϕ⁴ 场方程

ϕxx − ϕtt + m² ϕ − f ² ϕ³ = 0；

非线性薛定谔方程

ϕ xx + iϕt + a｜ϕ｜ ²ϕ = 0；

广田（Hirota）方程

iϕt + 3ix｜ϕ｜ ²ϕ x + pϕ xx + iσϕxxx + s｜ϕ｜² ϕ = 0；

马布西尼斯（Boussinesq）方程，非线性格点方程；玻恩—英费尔德方程；自透射方程；非线性 LC 网络方程等，并将这些方程应用于多种多样的领域。人们采用了各种数学理论，如散射反演方法，无穷多个守恒律，贝克兰得（B■cklund）变换等。方程的解也从孤子推广为反孤子、呼吸子、碰撞解及扭结解、涡旋解、瞬子解、磁单极子解等。

初期，大家仅限于研究经典的孤子理论。1977 年，弗里德伯格和李振道把它推广为量子的，并得到结论：对任何一种玻色子场系统，只要经典孤子存在，则总存在相应的量子孤子解，至少在弱耦合的情形时如此。他们把所有孤子解分为两大类：拓扑性孤子和非拓扑性孤子。巴丁等的 SLAC 袋模型就是基于ϕ 4 场方程的孤子解，并由此讨论了夸克的禁闭问题。同

时，由孤子理论可以得到夸克所需要的分数电荷。

我们从对称性破缺的拉氏量得到耦合的非线性方程组，由它们的孤子解可以获得粒子的盖尔曼—大久保（GMO）质量公式及其更精确的公式

M=M0+AY+B[I（I+1）-Y2/2]

并且进一步展开了讨论。

粒子物理中为什么可以应用孤子？我们认为一方面普遍存在的粒子系统是相互作用耦合的，其场方程一般是非线性的。这些方程的一类有意义的解就是孤子解。另一方面，粒子是稳定的或平稳定的，这正好相应于孤子。第三方面，因为由平面波选加得到的波包必然要扩散，这是量子力学中的老问题，所以如果波一粒二象性始终成立，粒子也只能是孤子。由此推广，我们相信并预言，所有存在相互作用的体系，只要其中有相对稳定的客体，孤子理论都大有用武之地。因此，孤子及其数学方法必将进一步发展，必将更加深入地应用到各个领域。