第十四章 焦循的思想

第一节 戴派的数学研究和焦循在数学上的成就

戴派的哲学思想是和戴派的数学研究有关系的。我们在第十一章第一节已经指出过戴震哲学的观照论和他的数学研究之间的联系。戴学的赞成者与继承者，如钱大听、程瑶田、焦循，都在数学天文学上课有研究。和以上诸人相契而专门研究历算的学者更有李锐、汪莱、凌廷堪，是焦循的谈天三友

（据焦循子廷琥所述“事略”）。戴震继承了梅文鼎的“算法”研究，仅把他的西洋算法，与中国“周辟”结合，“从西人三角即古人句股，乃易其弦切割线为矩分引数诸名，⋯⋯以求合于古所云者”（焦循“释弧”钱大昕叙），并“务为简奥，变易旧名，恒不易了”（“释弧”卷上）。他的后继者，不但批判了戴震的研究（“句股割圆记”三篇），而且由“算法”侧重于“算理”。这一发展，影响于他们的治学方法甚巨。

关于戴震的数学研究，钱大昕最早不满于并抑梅文鼎而进江永。他给戴震的信，说：“宣城（文鼎）能用西学，江氏则为西人所用而已。⋯⋯当今学通天人者，莫如足下，而独推江无异辞，岂少习于江，而特为之延誉耶？ 抑更有说以解僕之惑耶？”（“潜研堂文集”卷三十三“与戴东原书”）

凌廷堪（江藩谓其“声音训诂，九章八线，皆达其极而抉其奥”）是服膺戴震哲学的人。他把戴震所讲的“自然之分理”归结于礼论，并从人性的关系方面抽释出进步的平等思想，但对于戴震的数学。却甚不以为然，尤其不满于他把译名改为难懂的古名。他说：

戴氏“句股割圆记”，惟斜弧雨边夹一角，及三边求角用矢较， 不用馀弦，为补梅氏所未及。其馀皆梅氏成法，亦即西洋成法，但易以新名耳。如上篇即平三角举要也，中篇即堑堵测量也，下篇即环中黍尺也。其所易新名，如角曰“觚”，边曰“矩”，切曰“（外） 矩”，弦曰“内矩”，分割曰“径引数”，同式形之比例日“同限互权”，皆不足异。（以下批评其经纬倒置）⋯⋯“记”中所立新名，懼读之者不解，乃托吴孝思以注之，如“矩分今日正切”云云。夫古有是言而云今日某某，可也；今戴氏所立之名皆后于西法，是西法古而戴氏今矣，而反以西法为今，何也？凡此皆窃所未喻者。

（焦循“释轮”附凌廷堪书）

戴震的治学方法受雨种基石学问的影响，一即音韻文字学，一即数学。前者为段玉裁、阮元诸人所专门发展，后者为焦循、汪莱诸人所专门发展。关于数学的研究，在戴震以后颇盛极一时。虽与戴震之学不走一途的汪中亦重视之，以己所不能为憾事。江藩说：

藩弱冠时，即与君（汪中）定交，日相过从。尝谓藩曰：“予于学无所不窥，而独不能明九章之术。⋯⋯子年富力强，何不为此绝学？”以梅氏书见赠。藩知志位布策，皆君之教也。（“漠学师承记“卷七“汪中传”）

由此可知当时以天文数学为学者所不可缺少的学问。阮元为戴学的最后重镇，他有一段话讲到数学的重要，今绿于下：

数为六艺之一，而广其用则天地之纲纪，群伦之统系也。

天与星辰之高远，非数无以效其灵；地域之广轮，非数无以步

其极；世事之纠纷繁颐，非数无以提其要，通天地人之道日儒， 孰谓儒者而可以不知数乎？自汉以来，如许商刘歆郑康成贾 逵何休韦昭杜预虞喜刘焯刘炫之徒，或步天路而有验于时，或 著算术而传之于后，凡在儒林类能为算。后之学者，喜空谈不 务实学，薄艺事而不为，其学始衰。降及明代，浸以益微，⋯⋯ 我国家（清朝）⋯⋯为学之士，甄明度数，洞晓几何者，后先辈 出，享门名家则有若吴江王■闇（锡阐）、淄川薛仪甫（凤祚）、 宣城梅征君（文鼎），儒者兼是则有若吴县惠学士（士奇）、婺源 江慎修

（永）、休宁戴庶常（震），莫不各有撰远，流布人间。⋯⋯ 江都焦君里堂，⋯⋯湛深经学，长于三“札”，而于推步数术尤 独有心得，比辑其所著“加减乘除释”八卷、“天元一释”二卷、“释弧”三卷、“释轮”二卷、“释椭”一卷，总而缘之，名“里堂学算记”。⋯⋯元尝稽考算氏之遗文，泛览欧逻之述作，而知夫中 之与西，枝条虽分，而本于则一也。⋯⋯中之与西不同者其名， 而同者其实。乃疆生畛域，安所习而毁所不见，何其陋欤！里 堂会通雨家之长，不主一偏之见。⋯⋯里堂之歌算，不屑屑举 夫数， 而数之精意无不包，简而不遗，典而有则，所谓扶以文 义，润以道术者非耶？（“里堂学算记”总叙）

我们读了阮元的这一段话，知道当时的学者把数学的演绎法作为学术的基本知识。他又说明了算理比算术更为重要。例如“焦氏遗书”所刊阮元“里堂学算记叙”（与“揅经室三集”卷五中所刊“里堂学算记序”，前后增删， 有很多不同。）中即说到：“夫不明其旨则易地致惑，深究其理则后起可推。”关于焦循的数学，江藩曾说：

焦君里堂，厉节读书，综经研传，约深致远，复精推步，稽 古法之九章，考西术之八线（即三角学），穷弧矢之微，尽方圆 之变，与凌君仲子（廷堪），季君尚之（锐）齐名。（“释椭”序）

黄承吉认为当时数理的研究是学术的发展，而焦循的成就是颇高的。他说：

求之古先，盖论法者居多，言理者绝少。即间有之，亦与法相淆，而于举纲挚领之要，未尽合也。今之为是学（算）者，吴县李尚之（锐），歙县汪孝婴（莱），吾邑焦里堂（循）。⋯⋯孝婴之学主于约，在发古人之所未发而正具误，其得也精：尚之之学主于博，在穷诸法之所由立而求其故，其得也贯：里堂则以精贯之旨， 推之于平易。以为理本自然，取刘徽注“九章算术”之意，著“加减乘除释”八卷。凡弧矢之相求，正负之相得，方员凸凹之异形， 齐同比例之殊制，靡不先列其纲，次疏其目。⋯⋯夫由疏之密，今古非有殊途，困难而易，中西本无二辙。虽称名举类，优绌互形， 正其权舆，一言可解。古人好学深恩，必曰心知其意，里堂之书， 殆“周髀”以来诸书之统纪。⋯⋯（“加减乘除释”序）

焦循的学算记各篇，是当时数学研究中的代表作品，凡经学家与数学家都一致承认他的成就。他依据了数理形式来讲哲学的根本问题。他有两句话， 即“名起于立法之后，理存于立法之先”，可以概括他的哲学观点。他应用了这一哲学观点，从文字上与数学上得出一种形式的演绎法，支配他的思想系统。他曾以“说文”与“九章算术”并论，说：

刘氏徽之注“九章算术”，犹许氏慎之撰“说文解字”。士生千百年后，欲知古人仰观俯察之旨，舍许氏之书不可，欲知古人参天雨地之原，舍刘氏之书亦不可。⋯⋯循谓古人之学期于实用，以乂百工，察万品，而作书契，分别其事物之所在，俾学者按形而得声。若夫声音之间，义蕴精微，未可人人快悟其旨趣，此所以主形而不主声也。惟算亦然，既有“少广”、“句股”，又必指而别之， 曰“方田”，曰“商功”：既有“衰分”、“盈不足”、“方程”， 又必明以示之，曰“粟米”，曰“均输”，亦指其事物之所在，而使学者人人可以案名以知俯也。然名起于立法之后，理存于立法之先。“理”者何？加减乘除四者之错综变化也。而四者之亲于九章， 则不啻六书之声亲于各部，故同一今有之术，用于“衰分”，复用于“粟米”：同一齐同之术，用于“方田”，复用于“均输”：同一弦矢之术，用于“句股”，复用于“少广”。（“加减乘除释自序”）

焦循的哲学理论，在于“名主其形，理主其数”。他根据了数学的理论还元，以为“理”是错综变化的抽象形式，是先天存在的，故派生出数先形后之说，他的理论便走向符号的形式主义的泥沼。他说：

自一至九，数也；加减乘除，错综此数者也。乘而后有幂，再乘而后有体。有冪有体，则数已成形。故平方立方纵方生于加减乘除，而加减乘除所生而致者实尽乎此。句股者，生于形者也，形复生形，而非数无以驭，则加减乘除又为句股之所用也。句股为用形之始，故为众形之所从生。盖有句股而复用从割圆，则圆之形成： 有句股而化之为锐钝，则三角之用著；鼈臑（楔之一种）为句股之立者，规之即成立圆，又弧三角之弦切所集也。西人萨几理得（即欧氏）“几何学原本”一书，精于说形，梅勿巷明以句股之理。⋯⋯学者由数以知形，由形以用数，悉诸加减乘除之理，自可识方圆冪积之妙。（“加减乘除释”卷三）

据焦循看来，一切万事万物的变化，析其理由，都是“理之一”或“数之约”。他说：

九章之术，方田、少广、商功、句股，其原出于自乘；粟米、均输、盈不足、方程，其原皆出于差分。⋯⋯盖有共数，有分数， 有差数。由共而分，由分而差。以乘东者，以除而复；从分来者， 以合而复。其理本一，其数本约。析之从至于■，变之以成其异。得其理之一，自仍归于数之约也。故隐其中等，而举其分数及差数以问其共数，则为盈朒（即盈不足）；隐其乘得之数而举其共数及差数以问其分数，则为差分：和其等数而举其差数以周其共数，则为双套之盈朒；和其等数而举其共数以问差数，则为贵贱之差分。

（同上卷八）

因此，他的方法论更强调抽象的数学“通约”，并依此以研究“易经”。例如他用数的变化诅明齐同之理，他说：

同者，同其所不同；齐者，齐其所不齐。何为不同？如云三人赐五鹿，七人赐九鹿，三人七人，所谓不同也：以三七相乘，均得二十一，则同其所不同矣。惟不同，故不齐，母既同矣，子可以齐， 故互乘之，而不齐者齐。（同上卷六，焦循所讲的“齐同”和中国

古代的齐同定义专指分数，是不尽相合的。关于中国古代“齐同” 专用于分数的道理，见李俨“中算史论儼”第一集，二九——三○ 页。）

当时数学家研究“天元一”，即借根法，是从纯粹理论的形式方面去抽绎的。焦循著“天元一释”一书，明白说到他欲“通其理”以概括一切自然和社会的规律。他说：

“天元一”之名，不著于古籍，金元之间，李仁卿学士作“测圆海镜”、“益古演段”两书，以畅发其旨趣。宋末秦道古“数学九章”，赤有立天元一法，而术与李异。⋯⋯终明之世，此学遂微。国朝梅文穆公（瑴成），悟其为欧逻巴借根法之所本，于是世始知“天元一”之说。⋯⋯循习是术，因以教授子弟。⋯⋯因会通其理， 举而明之，（“天元一释”自序）

焦循由数学所引伸出的哲学是均衡论，即由抽象形式的变化或抽象数字的还元，来规定一切事物，否定了事物内部的质的不同。例如他解释“易” 理说：

绘句股割圆者，以甲乙丙丁等字，指识其比例之状。按而求之， 一一不爽。义存乎甲乙丙丁等字之中，而甲乙丙丁等字则无义理可说。于此言“密云不雨，自我西郊”，于彼亦言“密云不雨，自我西郊”，⋯⋯则无义理可说也。若执云、雨、西郊传会于阴阳、方位，皆是望文生意。圣人之言至实，炎者以空虚说之，遂视为庄生之寓言、佛氏之禅语矣。⋯⋯读“易”者当如学算者之求其法于甲乙丙丁。⋯⋯夫甲乙丙丁指识其法也，⋯⋯“易”之辞指识其卦爻之“所之”，以分别“当位”“失道”也。（“易话”上“学易叢言”）

这样，焦循把真理抽象地还元于符号之间的“所之”的“比例”关系。所以他又说：

算法之甲乙丙丁皆是借用，而“易”辞有借用，亦有实指。⋯⋯ 不拘一例，随在以为引申，故灵妙不可臆度也。说四声者，不曰平上去入而曰天子圣哲，其妙颇似“易”辞。盖天子圣哲四字自成文理，实平上去人之假借，“易”辞各自成文理，而其实各指其“所之”。（同上）

懂得了以上数理符号的运用，才能够明白戴派后起者，尤其焦循的理论根据。焦循的方法论可以用“引申比例”四字包括。他也说“学‘易’十许年，悟得比例引申之妙。”（“易话”下“周易用假借论”）王引之说焦氏“易”学“至精至实，要其法，‘比例’二字尽之。⋯⋯使株守漠学而不求是者爽然自失，”（“雕菰楼易学”附王氏手札）