联想提问，培养学生思维的广阔性

思维的广阔性即思维的广度，是探索问题的能力.教学时，运用联想提问可引导学生横向联系，数形结合，拓广思路，从而培养学生思维的广阔性， 提高发散性思维能力.

例4 已知a、b、c、d都是实数，求证：a ² ＋b² ＋c² ＋d ² ≥（a－c）² ＋

（b－d）² .

提问：该题有哪些证法？引导学生们讨论、联想.

证法 1 （分析法）

欲证 a ² ＋b² ＋

只需证a² ＋b ² ＋c² ＋d ² ＋2

≥a ² ＋c² －2ac＋b² ＋d ² －2bd.

只需证只需证

(a² ＋b ² ) ＋(c² ＋d ² )≥－（ac＋bd），

(a² ＋b ² ) ＋(c² ＋d ² )≥│ac＋bd│，

只需证 （a² ＋b ² ）（c² ＋d² ）≥（ac＋bd） ² ，

只需证 a² c² ＋b² c² ＋a ²d ² ＋b²d ²

≥a ² c² ＋b²d ² ＋2abcd

只需证 （bc－ad）² ≥0.

最后的不等式恒成立，因此，原不等式成立.

联想到不等式中

a ² ＋b² ，

c² ＋d ² ，

(a－c)² ＋(b－d)² 可写成

(a－0) ² ＋(b－0) ² ，

(c－0) ² ＋(d－0)² ，

(a－c)² ＋(b－d) ² 等距离形式

，提问：能否运用* 距离的有关性质证明呢？又联想到不等式中

a ² ＋b² ， c² ＋d ² ， （a－c） ² ＋（b－d） ² 均可看作复数z = a＋bi，z

= c＋di，z3 = （a—c）＋（b—d）i的模的形式，提问：能否运用复数模的

性质证明呢？由此引导同学们得到下面证法.

证法 2 如图 1，建立直角坐标系，设 O（0，0）、A（a，b）、B

（c，d），则│OA│ = a² ＋b² ，│OB│ = c² ＋d ² ，│OC│ =

在△ABC中由三角形三边之间的关系知

a ² + b² ＋

c ² ＋d² ≥

图 1

（当 A、O、B 三点共线时等号成立）

证法3 设复数z1 = a＋bi，z2 = c＋di，则z1－z2 = （a－C）＋（b－d）i，

∵ │z1│＋│z2│≥│z1－z2│，

∴ a²＋b²＋c²＋d²

≥（a－c）²＋（b－d）².

这里运用联想提问，引导学生们运用代数知识、解几知识、复数知识来解题，加强了各知识间的联系，培养学生形成多角度、多层次的立体思维.