通过归纳，引发猜想

通过对所探讨的问题的部分对象进行研究，归纳出蕴含在部分对象之中的共同特征，最后在归纳的基础上，提出合理的猜想.

例3 已知x＋ 1 = 2cosθ，试求xn ＋ 1 （n∈N）的值.

x xn

这里由于 n 不确定，直接计算很难下手，所以可先考察 n 取特殊值 2，3， 4 时的结果：

  1. n=2 时，有

x2 + 1

x2

= (x + 1 ) 2 − 2 x

= (2 cos θ) 2 − 2 = 2 cos2θ.

  1. n＝3 时，有

x3 + 1 = (x + 1 )[(x + 1 ) 2 − 3]

x3 x x

  1. n=4 时，有

x4 + 1

x4

= (x 2 +

1 )2 − 2

x2

= (2cos2 θ)2 − 2 = 2 cos 4θ,

由此，不难猜想：xn ＋ 1

xn

= 2cos nθ，有了这个结论，就可以将一个

求解题转化为证明题，解题的目标就明确了，用数学归纳法不难证明这个猜想是正确的.