6 猜想提问，培养学生思维的独创性

思维的独创性是指打破常规解决问题的一种创造能力.教师运用猜想提问可鼓励、引导学生敢于打破常规，标新立异，大胆猜想，从而培养学生自觉的独创精神.

a ² + 2

例6 已知数列｛a

｝满足a = a = 1，a = ⁿ⁺¹ .求证：对一切自

然数n，a n 都为整数.

n 1 2 n＋2 an

大多数学生很快可以算出a 1 = 1，a 2 = 1，a3 = 3，a 4 = 11，a 5 = 41，a 6

= 153，但对怎样证明束手无策，怎么办呢？猜想提问：能否假设an＋ 2 = p an＋1＋qa n 成立？（p、q为整数）并引导学生用待定系数法求得p = 4，q =

- 1. 因此an＋2 = 4a n＋1 - an ，再用数学归纳法可证明该等式成立，则问题易

证下面用数学归纳法证明an＋2 = 4a n+1—an .

证明 （1）n = 1时，a 3 = 3， 4a 2 - a1＝4×1- 1 = 3，

∴a3 = 4a 2 - a1，∴n = 1时，等式成立.

（2）假设当 n=k（k∈N）时，等式成立，即

ak＋ 2 = 4a k＋1 - ak，

a ² + 2

由题设知，对任何n∈N，a

n＋2

＝ n+1 ，

an

a² + 2

∴ ak+2

= k+1 , ②

ak

a ² + 2

a = k+ 2 .

k+ 3

ak +1

由①、②联立消去ak 得

a （4a —a ） = a ²

＋2，

k＋ 2 k＋1 k＋ 2 k +1

展开移项得 a²

＋2 = 4a

k +2 ·a k+1 - a2 ，

a ² + 2 4a ⋅ a − a ²

∴ a = k +2 = k +2 k+1 k+1 ，

k+ 2

a k+1

= 4a k+2 - a k+1.

a k +1

∴ a（k +1）＋ 2 = 4a （k+1）＋1 - a k +1，

即 n=k+1 时，等式成立.

综合（1）、（2）可知：等式a n＋ 2 = 4a n＋1 - an 对任何n∈N都成立.

“没有大胆的猜想，就做不出伟大的创造”（牛顿语）.在教学时应鼓励学生大胆猜想，并引导他们在充分理解题意的基础上提出有新意、有创造性的解法，从而逐步培养学生创造性思维的能力.

总之，善于运用提问技巧，多角度、多层次、多形式地提出问题，引导、启发学生们辨析、讨论、分析、联想等，可以有针对性地培养学生思维的严密性、深刻性、灵活性、广阔性、批判性、独创性，从而培养学生良好的数学思维品质.当然，提问技巧在培养学生对基本概念的理解、对基本技能的掌握上也有着很好的运用效果.