利用一题多解或多题一解组织思维热点

一题多解或多题一解在一定程度上可吸引学生多角度观察、联想，获得多种解题途径，充分展示思维的广阔性、深刻性和灵活性，使学生感受到数学的美妙与情趣，有利于学生思维品质的提高.如题目：已知函数

f（x） = 1＋x² ，试比较│f（a）－f（b）│与│a－b│的大小.可以有以

下解题途径：

① 按证明绝对值不等式的常规方法，经过平方去绝对值符号，作差比较，利用配方法证明.

② 用商比法，利用共轭根式有理化分子，再用放缩法证明.

③ 注意函数f（x） = 1 + x² 表示双曲线y ² －x ² = 1的上支， |f(a) − f (b)|

|a − b|

是双曲*线上两点（a,f（a））与（b,f（b））连线斜率的绝对值，于是问题转化为双曲线上支任一弦所在直线斜率的估计问题，而双曲线的渐近线斜率为±1，问题即可得证.

④ 注意函数f（x） = 1 + x² 的结构特征，用三角代换令x = tgθ，转化

为三角不等式证之.

⑤ 观察函数f（x） = 1 + x² 的特点，联想到复数的模，可构造复数z

=1＋xi，利用复数不等式证明.

一题多解或多题一解能很好地吸引学生，不断掀起学生思维的浪花，培养他们发散思维和集中思维的能力.